finantial

Достатнiсть. Нехай має мiсце рiвнiсть (3.37). Тодi

At − At−1 = −E[(Lt − Lt−1)(Mt − Mt−1) | Ft−1].

Але за побудовою, At − At−1 = E(Xt − Xt−1 | Ft−1). Отже,

EP (Xt − Xt−1 | Ft−1) = E[Zt (Xt − Xt−1) | Ft−1] = = E[(Zt − Zt−1)(Xt − Xt−1) | Ft−1]−

−Zt−1E[(Lt − Lt−1)(Mt − Mt−1) | Ft−1] =

=Zt−1E[(Lt − Lt−1)(Xt − Xt−1) | Ft−1]−

=Zt−1E[(Lt − Lt−1)(Mt − Mt−1) | Ft−1] =

=Zt−1E[(Lt − Lt−1)(At − At−1) | Ft−1] = 0;

тут ми використали рiвнiсть Zt − Zt−1 = Zt−1(Lt − Lt−1), яка ви-

пливає з теореми 3.2.132, а також той факт, що

E[(Lt − Lt−1)(At − At−1) | Ft−1] =

= (At − At−1)E(Lt − Lt−1 | Ft−1) = 0).

3.2.14Характеризацiя мiнiмальної мартингальної мiри

Використаємо тепер розклад Дуба процеса X за мiрою P: X + M + A для характеризацiї мiнiмальної мартингальної мiри. Нагадаємо, що процес X квадратично iнтегровний.

Лема 3.2.137. Якщо X – квадратично iнтегровний процес, то i P-мартингал M iз розкладу Дуба теж є квадратично iнте-

гровним.

Доведення. За побудовою, At − At−1 = E(Xt − Xt−1 | Ft−1) i права

частина квадратично iнтегровна. Тому за iндукцiєю легко довести, що процес A, а значить i M – квадратично iнтегровнi.

273

Теорема 3.2.138. Нехай P P, i E (dP /dP)2 < ∞. Мiра P буде

мiнiмальною мартингальною мiрою тодi i тiльки тодi, коли P-мартингал L iз зображення (3.2.34), побудованого для

в свою чергу, допускає зображення у виглядi дискретного стохастичного iнтегралу вiдносно P-мартингала M з розкладу X =

= M + A:

Xt

k=1

де η – деякий передбачуваний d-вимiрний процес.

Доведення. Достатнiсть. За означенням 3.2.129, треба довести, що будь-який квадратично iнтегровний P-мартингал N , строго ортогональний до X, буде P -мартингалом. Нехай

E(Nt − Nt−1 | Ft−1) = 0, E[(Nt − Nt−1)(Xt − Xt−1) | Ft−1] = 0.

Згiдно з лемою 3.2.131, треба довести, що NtZt – P-мартингал. Цей процес є узгодженим i вiн iнтегровний, оскiльки N i Z, за

умовою, квадратично iнтегровнi. Запишемо рiвнiсть

NtZt − Nt−1Zt−1 = Zt−1(Nt − Nt−1) + Nt−1(Zt − Zt−1)+ +(Nt − Nt−1)(Zt − Zt−1).

Оскiльки N i Z P-мартингали, то достатньо довести, що

E[(Nt − Nt−1)(Zt − Zt−1) | Ft−1] = 0.

Запишемо тепер рiвностi

Zt − Zt−1 = Zt−1(Lt − Lt−1) = Zt−1ηt−1(Mt − Mt−1) = = Zt−1ηt−1(Xt − Xt−1) − Zt−1ηt−1(At − At−1).

274

З них випливає, що для будь-якого c > 0 на множинi {ω : kηt−1k ≤ c} Ft−1

E[(Nt − Nt−1)(Zt − Zt−1) | Ft−1] =

= Zt−1ηt−1E[(Nt − Nt−1)(Xt − Xt−1) | Ft−1]−

−Zt−1ηt−1(At − At−1)E(Nt − Nt−1 | Ft−1) = 0.

Спрямовуючи c → ∞, одержимо, що

E[(Nt − Nt−1)(Zt − Zt−1) | Ft−1] P-м.н.

Необхiднiсть. Запишемо розклад за теоремою Кунiта-Ватана- бе вiдносно квадратично iнтегровного мартингала M (див. лему 3.2.137) та мiри P:

Xt

де Λt – квадратично iнтегровний P-мартингал, строго ортогональний до M. Одночасно вiн буде строго ортогональним до X,

позаяк

E[(Λt − Λt−1)(Xt − Xt−1) | Ft−1] = = E[(Λt − Λt−1)(Mt − Mt−1) | Ft−1)+ +(At − At−1)E(Λt − Λt−1 | Ft−1) = 0.

Тому, за означенням мiнiмальної iнтегральної мiри, Λ – P -мар- тингал. Тодi за лемою 3.2.131, ΛtZt P-мартингал. Але

Xt

при цьому Λ P-мартингал, i в силу строгої ортогональностi Λ до M, другий доданок в правiй частинi (3.2.40) теж є P-мартингалом (iнтегровнiсть його випливає з того, що ζk(Mk − Mk−1) L2(P)).

275

Отже, Λ2t – мартингал, а тодi його математичне сподiвання ста-

ле, тобто EΛ2t = Λ20 = 0, звiдки Λt = 0 P-м.н. для всiх t T. Це

означає, що розклад (3.2.39) насправдi має вигляд

Xt

Zt = 1 + ζk(Mk − Mk−1) + Λt ,

k=1

а тодi

Lt+1 − Lt = Zt−1(Zt − Zt−1) = ζtZt−1(Mk − Mk−1),

i можна покласти в (3.2.38) ηk := ζkZt−1.

Наслiдок 3.2.139. Мiнiмальна мартингальна мiра, якщо iснує, то лише одна.

Доведення. Нехай P i P – двi мiнiмальнi мартингальнi мiри,

Lt i Lt – вiдповiднi P-мартингали з розкладу (3.2.34), записаного для Lt i L0t, вiдповiдно. Тодi, з одного боку, з (3.2.38) випливає,

що

Xt

Lt − L0t = ηk(Mk − Mk−1) k=0

для деякого передбачуваного d-вимiрного процесу η, з iншого боку, згiдно з теоремою 3.2.136, процес A з розкладу X = M + A,

одночасно дорiвнює

Xt

At = − E[(Lk − Lk−1)(Mk − Mk−1) | Fk−1] =

k=1

Xt

= − E[(L0k − L0k−1)(Mk − Mk−1) | Fk−1],

k=1

звiдки

E[((Lk − L0k) − (Lk−1 − L0k−1))(Mk − Mk−1) | Fk−1] = 0,

276

тобто Lt −L0t строго ортогональний до M. Тодi на множинi {kηkk ≤ ≤ c} для довiльного c > 0 отримуємо:

ηk · E[{kMk − Mk−1k2 | Fk−1}] = 0,

отже, Lt = L0t P-м.н. для всiх t T.

3.2.15Iснування та єдинiсть мiнiмальної мартингальної мiри в одновимiрному випадку

Нехай d = 1. Тодi за виконання умови теореми 3.2.119 та

деякої додаткової умови мiнiмальна мартингальна мiра iснує i єдина.

Теорема 3.2.140. Нехай на фiнансовому ринку iснує єдиний дисконтований ризиковий актив {Xt , Ft , t T}, що задовольняє двi умови: нерiвнiсть (3.2.29) з деяким δ > 0, умову

(Xt − Xt−1)E(Xt − Xt−1 | Ft−1) < E[(Xt − Xt−1)2 | Ft−1] (3.2.41)

та умову P{ω Ω : σ2t = var(Xt − Xt−1 | Ft−1) 6= 0} = 1.

Тодi iснує єдина мiнiмальна мартингальна мiра P , щiль-

нiсть якої задається формулою

Доведення. Якщо X = M + A – розклад Дуба процесу X вiдносно мiри P, то, за побудовою, Ak − Ak−1 = E(Xk − Xk−1 | Fk−1). Отже,

E[(Mk − Mk−1)2 | Fk−1] = E[(Xk − Xk−1)2 | Fk−1]− −[E(Xk − Xk−1 | Fk−1)]2 = var(Xk − Xk−1) = σ2k.

277

= 1−δδ , то, нарештi, E[(ηk · (Mk − Mk−1))2 | Fk−1] ≤ C P-м.н. Тому

є P-м.н. додатним. Ясно з доведеного вище, що це квадратично iнтегровний мартингал. Тому за теоремою 3.2.138 Zt = E[dP /dP|Ft ],

At − At−1 = E(Xt − Xt−1 | Ft−1) =

=−ηt · σ2t = −ηtE[(Mt − Mt−1)2 | Ft−1] =

=E[−ηt · (Mt − Mt−1) · (Mt − Mt−1) | Ft−1] = = −E[(Lt − Lt−1)(Mt − Mt−1) | Ft−1],

278

що, згiдно з теоремою 3.2.136 означає, що P – еквiвалентна

наслiдку 3.2.139.

Приклад 3.2.141. (Продовження прикладу 3.2.122.) Нехай, в позначеннях прикладу 3.2.122, ERk = m i DRk = σ2. Перетворимо

умову (3.2.28) або еквiвалентну умову (3.2.29):

Нерiвнiсть (3.2.43) еквiвалентна iснуванню мiнiмальної мартингальної мiри. Якщо m > r, то умова (3.2.43) перетворюється на

279

3.3Фiнансовi ринки з неперервним часом

3.3.1Перехiд вiд моделi з дискретним часом до неперервного часу

Розглянемо спочатку модель фiнансового ринку з дискретним часом. Нехай початковий момент – це t = 0, а момент виконання деякого Європейського платiжного зобов’язання – це T .

Мiж цими двома моментами часу насправдi може вiдбутися дуже багато перiодiв торгiв, а тодi обчислення навiть у найпростiшiй бiномiальнiй моделi стають дуже складними. З iншого боку, з iмовiрнiсної теорiї наближень розподiлiв вiдомо, що бiномiальний розподiл при збiльшеннi числа випробувань добре наближається нормальним. Тобто можна сподiватися, що при збiльшеннi числа перiодiв ми одержимо простiшу формулу цiни Європейського платiжного зобов’язання, якщо перейдемо у бiномiальнiй моделi до границi при необмеженому збiльшеннi числа перiодiв. Опишемо математично вiдповiдну модель, яка дає можливiсть граничного переходу.

Математичнi умови на модель з дискретним часом, якi дають можливiсть граничного переходу

Нехай зараз T означає дату подання платiжного зобов’язання до виконання, а вiдрiзок [0, T ] розбито на N операцiйних перiодiв довжиною δ = T /N , тобто операцiї здiйснюються у моменти

0, δ, 2δ, . . . , (N − 1)δ, T .

Вважатимемо, що ринок складається з одного безризикового й одного ризикового активу, цiни яких позначимо B(N ) i S(N ),

причому

Bk(N ) := Bk(Nδ ) = (1 + rN )k,

N →∞

280

Ця умова еквiвалентна такiй:

lim N rN = rT .

N →∞

процес

5. Дисперсiї DPN (Rk(N )) задовольняють умову

За виконання умов 1–5 доведемо слабку збiжнiсть, тобто, в даному випадку, збiжнiсть за розподiлом, цiни ризикового активу SN(N ) в момент T . Для цього використаємо наступний варiант

центральної граничної теореми.

281

Теорема 3.3.1. Нехай {ξ(kN ), 1 ≤ k ≤ N , N ≥ 1} – незалежнi в

сукупностi випадковi величини, що задовольняють умови:

а) iснує числова послiдовнiсть {aN , N ≥ 1} така, що

max |ξ(kN )| ≤ aN

1≤k≤N

з iмовiрнiстю 1 i aN → 0, N → ∞;

б) iснує послiдовнiсть мiр {PN , N ≥ 1}, еквiвалентних до мiри P i таких, що математичне сподiвання

Зауваження 3.3.2. Твердження типу теореми 3.3.1 називаються теоремами в схемi серiй, оскiльки кожний набiр {ξ(kN ), 1 ≤ k ≤

≤N , N ≥ 1} – це певна серiя випадкових величин.

Тепер сформулюємо основний результат.

Теорема 3.3.3. Нехай {Bk(N ), Sk(N ), 1 ≤ k ≤ N , N ≥ 1} задоволь-

де ξ N (0, 1).

282