finantial
.pdf
В силу означення 3.2.39 самофiнансованої стратегiї, рiвностi (3.2.7) i леми 3.2.41, капiтал Vt дорiвнюватиме
Xt
V0 = ξ01 + ξ1 · X0, Vt = V0 + ξk · (Xk − Xk−1) k=1
тодi i тiльки тодi, коли стратегiя є самофiнансованою, з початковим внеском V0 = ξ00 = ξ01 + ξ1 · X0. В загальному випадку рiзниця Vt − Gt є нетривiальною, i її можна iнтерпретувати як втрати, або додатковi позики, накопиченi до моменту t.
Означення 3.2.109. Процесом коштiв C стратегiї ξ називається рiзниця мiж капiталом V i процесом прибуткiв i втрат G, тобто
Ct = Vt − Gt , t T.
Далi припускаємо, що F0 = {0, }, FT = F, VT = H , тоб-
то ми розглядаємо лише тi стратегiї, якi реплiкують (вiдтворюють, хеджують, породжують) платiжне зобов’язання H . Ми
не виключаємо зараз наявностi арбiтражних можливостей, хоча найбiльш цiкавим є випадок, коли мартингальнi мiри iснують. Зробимо ще потрiбнi припущення щодо квадратичної iнтегровностi.
Припущення 3.2.110. Припустимо, що i дисконтоване платiжне зобов’язання H i дисконтований цiновий процес X є квадратично iнтегровними: EH 2 < ∞ i EXt2 < ∞, t T.
Означення 3.2.111. Узагальнену стратегiю ξ, капiтал i процес прибуткiв i втрат якої задовольняють вимоги VT = H P-м.н.,
EVt2 < ∞, EGt2 < ∞, t T, назвемо L2-допустимою стратегiєю.
Тепер введемо квадратичний критерiй для помилки хеджування L2-допустимої стратегiї.
Означення 3.2.112. 1. Процес локального квадратичного ризику L2-допустимої стратегiї ξ – це процес вигляу
Rtloc(ξ0, ξ) := E((Ct+1 − Ct )2 | Ft ), t = 0, . . . , T − 1.
253
2.L2-допустиму стратегiю b = (b0, b) називають такою, що
ξξ ξ
мiнiмiзує локальний (квадратичний) ризик, якщо
Rt (b |
, b) ≤ Rt ( |
|
, |
|
) P |
, t = 0, . . . , T − 1 |
|
loc ξ0 |
ξ |
loc |
ξ0 |
|
ξ |
|
-м.н. |
для всiх L2-допустимих стратегiй (ξ0, ξ).
Далi слово “квадратичний” будемо опускати.
Означення 3.2.113. L2-допустима стратегiя називається самофiнансованою в середньому, якщо її процес коштiв C є P-мартин-
галом, тобто
E(Ct+1 − Ct | Ft ) = 0 P-м.н., t = 0, . . . , T − 1.
Означення 3.2.114. 1. Умовною коварiацiєю вiдносно мiри P та
σ-алгебри G двох випадкових величин Y та Z з EY 2 < ∞, EZ2 < ∞
називається випадкова величина
cov(Y , Z | G) = E(Y Z | G) − E(Y | G)E(Z | G).
2. Умовною дисперсiєю випадкової величини Y вiдносно мiри P та σ-алгебри G називається випадкова величина var(Y | G) := cov(Y , Y | G) = E(Y 2 | G) − (E(Y | G))2.
Означення 3.2.115. Два узгодженi процеси A = At i B = Bt називаються сильно ортогональними вiдносно мiри P i фiльтрацiї {Ft , t T}, якщо умовнi коварiацiї їхнiх приростiв нульовi, тобто
cov(At+1 − At , Bt+1 − Bt | Ft ) = 0 P − м.н., t = 0, . . . , T − 1.
Далi, якщо ми розглядаємо два сильно ортогональнi процеси, то, як правило, один з них, наприклад, Bt , є Ft -мартингалом. У
цьому випадку умовна коварiацiя набуває вигляду
cov(At+1 − At , Bt+1 − Bt | Ft ) = E((At+1 − At)(Bt+1 − Bt ) | Ft ).
Нам буде потрiбний такий допомiжний результат.
Лема 3.2.116. Умовна коварiацiя cov(Y , Z | G) не змiниться, якщо до однiєї або обох випадкових величин додати G-вимiрну
квадратично iнтегровну випадкову величину. Зокрема, умовна дисперсiя var(Y | G) = var(Y + Y1 | G), якщо Y1 – G-вимiрна,
EY12 < ∞.
254
Доведення. Нехай EY12 < ∞, EZ12 < ∞, Y1, Z1 G-вимiрнi. Тодi
cov(Y + Y1, Z + Z1 | G) =
=E((Y + Y1)(Z + Z1) | G) − E(Y + Y1 | G)E(Z + Z1 | G) =
=E(Y Z | G) + Y1E(Z | G) + Z1E(Y1 | G) + Y1Z1 − E(Y | G)E(Z | G)−
−Y1E(Z | G) − Z1E(Y | G) − Y1Z1 =
= E(Y Z | G) − E(Y | G)E(Z | G) = cov(Y , Z | G).
Тепер дамо характеризацiю стратегiй, що мiнiмiзують локальний ризик.
Теорема 3.2.117. L2-допустима стратегiя мiнiмiзує локаль-
ний ризик тодi i тiльки тодi, коли вона самофiнансована в середньому, i її процес коштiв є сильно ортогональним до цiнового процесу X.
Доведення. Процес локального ризику будь-якої L2-допустимої
стратегiї можна записати у виглядi суми двох невiд’ємних доданкiв
E((Ct+1 − Ct )2 | Ft ) = |
(3.2.22) |
= var(Ct+1 − Ct | Ft ) + (E(Ct+1 − Ct | Ft ))2.
Зауважимо, що
Ct+1 − Ct = Vt+1 −Vt − ξt+1 · (Xt+1 − Xt ),
i в силу леми 3.2.116
var(Ct+1 − Ct | Ft ) = var(Vt+1 − ξt+1 · (Xt+1 − Xt) | Ft ).
Другий доданок в правiй частинi (3.2.22) можна переписати у виглядi
(E(Vt+1 | Ft ) −Vt − E(ξt+1 · (Xt+1 − Xt ) | Ft ))2.
255
Тепер застосуємо метод зворотної iндукцiї. Справа в тому, що одночасно мi-
VT = H нам вiдоме. Нехай t = T − 1, i ми хочемо |
0 |
|
|
нiмiзувати обидва доданки в (3.2.22) по таких стратегiях (ξ |
, ξ), |
||
що VT = H . Для цього треба одночасно мiнiмiзувати |
|
|
|
var H − ξT · (XT − XT −1) | FT −1 |
|
|
|
за ξT i |
|
|
|
E(H | FT −1) −VT −1 − E(ξT · (XT − XT −1) | FT −1) 2 |
|
|
|
за ξ i VT −1. Перший вираз є квадратичною формою вiдносно ξT , i її мiнiмум досягається при тому значеннi ξT , яке є розв’язком
лiнiйного рiвняння (можливо, не єдиним)
cov VT − ξT · (XT − XT −1), XT − XT −1 | FT −1 = 0.
Мiнiмум другого доданку досягається тодi i тiльки тодi, коли вiн обертається в нуль, тобто при
VT −1 = E(H | FT −1) − ξT −1 · E(XT − XT −1 | FT −1).
Тепер, аналогiчним чином, вважатимемо, що Vt+1 вже вiдоме.
Тодi мiнiмум обох доданкiв в правiй частинi (3.2.22) досягається тодi i тiльки тодi, коли
|
cov(Vt+1 − ξt+1 · (Xt+1 − Xt ), Xt+1 − Xt | Ft ) = 0, |
(3.2.23) |
||
|
Vt = E(Vt+1 | Ft) − ξt+1 · E(Xt+1 − Xt | Ft ). |
|
(3.2.24) |
|
Рiвнiсть (3.2.24) означає, що |
E(Ct+1 − Ct | Ft ) = 0 |
, тобто стратегiя |
||
0 |
|
|
|
|
(ξ |
, ξ) самофiнансована в середньому. Якщо додати до першого |
|||
доданку в (3.2.23) Vt, а результат вiд цього не змiниться, то ми
одержимо, що в (3.2.23) мiнiмум досягається тодi i лише тодi,
коли cov(Ct+1 − Ct , Xt+1 − Xt | Ft) = 0 P-м.н. Це i означає силь-
ну ортогональнiсть процесу коштiв i цiнового процесу, а тодi з урахуванням того, що мiнiмум в (3.2.24) досягається тодi i лише тодi, коли стратегiя самофiнансована в середньому, ми одержуємо доведення. 
256
Явнi формули для стратегiй, що мiнiмiзують локальний ризик, в одновимiрному випадку
В загальному випадку рiвняння (3.2.23) – це рiвняння деякої випадкової гiперплощини в Rd . Розглянемо випадок d = 1, коли розв’язок (3.2.23) єдиний для кожного t, але при цьому ще треба простежити, щоб одержана стратегiя була L2-допустимою.
Почнемо з моменту t = T i будемо рухатися в напрямку зменшення t. Зауважимо, що рiвняння (3.2.23) – (3.2.24) фактично є рiвняннями лiнiйної регресiї. Отже, в момент t = T
cov(VT − ξT · (XT − XT −1), XT − XT −1 | FT −1) = 0,
або
E((VT − ξT · (XT − XT −1))(XT − XT −1) | FT −1) − (E(VT | FT −1)− −ξT · E(XT − XT −1 | FT −1))E(XT − XT −1 | FT −1) = 0.
Позначимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.2.25) |
|
Xt |
:= Xt −Xt−1, |
2 |
|
|
|
i припустимо, |
|||||
2 |
|
σt := var( Xt | Ft−1) |
|
||||||||
що σt |
6= 0 P-м.н. для всiх t T. Тодi з (3.2.25) |
|
|
||||||||
|
ξT = |
1 |
cov(VT , |
XT ) = |
1 |
cov(H , |
XT ), |
||||
|
|
σ2 |
|||||||||
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
T |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
VT −1 = E(H | FT −1) − |
1 |
|
cov(H , |
XT )E( |
XT | FT −1). |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
σT2 |
|
|||||||||
Цiлком аналогiчно можна одержати формули для ξt i Vt−1 в
будь-який момент часу
ξt |
= |
|
1 |
cov(Vt , Xt | Ft−1), |
(3.2.26) |
|
|
|
|||||
σt2 |
||||||
Vt−1 = E(Vt | Ft−1) − |
1 |
cov(Vt , Xt | Ft−1)E( Xt | Ft−1). |
(3.2.27) |
|||
|
|
|||||
|
σt2 |
|||||
Зауваження 3.2.118. Неважко перевiрити, що var( Xt | Ft−1) ≥ 0, так само, як i варiацiя будь-якої квадратично iнтегровної випадкової величини. Якщо ξ ≡ const, то var(ξ | F) = 0 для будь-
якої σ- |
алгебри |
F |
. Навпаки, якщо |
X |
– |
P |
-мартингал i |
Xt |
6= 0 |
||||
2 |
|
|
Xt) |
2 |
|
|
|
||||||
P-м.н., то σt |
= E(( |
|
| Ft−1) > 0 P-м.н. |
|
|
|
|
||||||
257
Тепер сформулюємо умови, за яких формули (3.2.26)–(3.2.27) дають L2-допустиму стратегiю.
Теорема 3.2.119. Нехай виконується умова
iснує 0 < δ < 1 таке, що для всiх t = 1, . . . , T |
P-м.н. |
|
(3.2.28) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
(E( |
Xt |
|
| Ft−1))2 |
≤ δ · E(( |
|
Xt )2 | Ft−1) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Тодi стратегiя |
|
|
= (ξ0 |
, ξ |
), де ξ |
|
задається рiвнянням (3.2.26), |
|||||||||||||||||||
ξ |
t |
t |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ξ0 визначається з рiвностi ξ0 |
+ξ X = V , а V задовольняє (3.2.27), |
|||||||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t t |
|
t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
є L2-допустимою. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< ∞ |
|
|
|
|
< ∞ |
|
|
|
|||||
Доведення. Треба |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
EVt |
i |
EGt |
для всiх |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
перевiрити, що |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t T. Почнемо з EVt : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| F − |
|
|
|
|
|
| F − |
|
|
|||||||
|
− |
|
|
|
| F − − σt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
EV 2 |
= E E(V |
|
t 1 |
) |
|
|
|
cov(V , |
X |
t 1 |
)E( |
|
X |
|
|
1 |
) . |
|||||||||
t 1 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
t t |
|
|
||||||
Оскiльки EH 2 < ∞, i ми можемо застосовувати зворотну iндукцiю, то можна вважати, що E(E(Vt | Ft−1))2 < ∞. Тому залиша-
ється довести, що
|
|
E |
|
|
|
|
σt2 |
|
|
|
|
|
|
| F − |
|
|
| F − |
|
2 |
∞ |
|
||||||||||||
|
|
|
:= E |
|
|
1 |
cov(Vt , |
Xt |
|
t 1)E( Xt t |
1) |
|
< . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Але, iз застосуванням нерiвностi Кошi-Буняковського |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cov(Vt, |
Xt t−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
E ≤ E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Ft−1) ≤ |
||||||||||||||||
E(( |
|
Xt)2 |
|
|
t−1) |
− |
| F |
t−1))2 |
E( |
Xt |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
(E( Xt |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
δ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| F |
|
|
|
|
|
| F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
E |
E(Vt |
|
Xt |
|
t−1) |
|
E( |
|
Xt Ft−1)E(Vt |
|
t−1) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| F |
− |
|
| |
|
|
| F |
|
≤ |
|||||||||
1 |
− |
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(E(( |
Xt)2 |
|
t−1))1/2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
δ2 |
|
|
|
E |
|
(E(Vt2 |
Ft−1))1/2(E(( Xt)2 |
|
t−1))2 |
+ |
|
|
||||||||||||||
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| F |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 − |
δ |
|
|
|
|
(E(( |
Xt)2 | Ft−1))1/2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ E(Vt |
|
Ft−1)(E(( |
Xt) |
2 |
| Ft−1)) |
1/2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Xt)2 | Ft−1))1/2 |
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(E(( |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ2 |
|
|
|
|
|
|
| Ft−1)2) < ∞. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
· 2(EVt2 + E(Vt |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 − δ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
258
Тепер, щоб довести нерiвнiсть EGt2 < ∞, достатньо довести, що
E(ξt Xt)2 < ∞ для кожного t = 1, 2, . . . , T . Врахуємо, що ξt є Ft−1-
вимiрною випадковою величиною:
|
E(ξt Xt)2 = E(ξtE( Xt | Ft−1))2 = |
|
||||
|
σt2 |
| F − |
| F − |
|||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
= E |
|
|
cov(Vt, Xt |
t 1)E( Xt |
t 1) |
, |
а скiнченнiсть цього виразу нами вже встановлено. Теорему доведено. 
Зауваження 3.2.120. Якщо виконується умова (3.2.28), то iснує C > 0 таке, що
(E( Xt | Ft−1))2 ≤ Cσt2. |
(3.2.29) |
Справдi, достатньо покласти C = δ/(1 − δ). (Див. доведення те-
ореми 3.2.140). Очевидно, умови (3.2.28) i (3.2.29) еквiвалентнi.
Означення 3.2.121. За виконання умови σ2t 6= 0, t = 1, . . . , T
P-м.н., передбачуваний процес
Zt := Xt 12 (E( Xk | Fk−1))2, t = 1, . . . , T
k=1 σk
називається процесом середньо-дисперсного вiдношення процесу X, а умова (3.2.28) (або (3.2.29)) – це умова обмеженостi
середньо-дисперсного вiдношення.
Приклад 3.2.122. Розглянемо модель ринку, що складається з безризикової облiгацiї Bt = (1 + r)t, r > 0, i ризикового активу St з початковою вартiстю S0 = 1 i дисконтованим цiновим процесом
вигляду
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
1 + Rk |
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
X = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
t |
|
|
|
1 + r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де |
{Rk, 1 |
≤ k ≤ T } |
– незалежнi |
в сукупностi |
однаково розподi- |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||
ленi величини доходiв, ERk |
< |
∞, ERk |
= m, DRk = |
σ |
. У цьому |
|||||||||
прикладi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
E( X |
|
) = X |
E |
Rk − r |
= X |
m − r |
, |
|
|
|||
|
|
k | Fk−1 |
|
k−1 |
|
|
1 + r |
k−1 1 + r |
|
|
||||
259
|
k |
|
|
|
|
k |
| Fk−1 |
|
|
|
− |
k−1 |
1 + r |
|
|
|
|||||
σ2 |
= E(( |
X )2 |
|
) |
|
X2 |
m − r |
|
2 |
= |
|
||||||||||
k−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
k−1 |
1 + r |
|
− |
|
|
1 + r |
|
k−1 |
|
(1 + r)2 |
|
||||||||||
X2 |
E |
Rk − r |
|
2 |
X2 |
|
m − r |
2 |
= X2 |
|
|
σ2 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Звiдси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m − r)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(E( |
X |
|
|
|
))2 |
= |
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
σk2 |
|
k | Fk−1 |
|
|
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
||||||
тобто виконано умови (3.2.28) i (3.2.29), середньо-дисперсне вiдношення обмежене, i стратегiя, що мiнiмiзує локальний ризик, iснує.
Умова iснування стратегiї, що мiнiмiзує локальний ризик, в термiнах розкладу платiжного зобов’язання H
Повернемося до загальної моделi ринку зi скiнченним числом дисконтованих ризикових активiв Xt = (Xt1, . . . , Xtd ), t T.
Теорема 3.2.123. 1. Стратегiя, що мiнiмiзує локальний ризик, iснує тодi i тiльки тодi, коли платiжне зобов’язання H
допускає розклад виду
T |
|
|
|
X e |
P-м.н., |
(3.2.30) |
|
H = c + |
ξk · Xk + LT |
||
k=1
де Xk = Xk − Xk−1, ξ = {ξt , t T} – такий d-вимiрний передбачуваний процес, що E|ξk · Xk|2 < ∞ для всiх k, а LT – фiналь-
|
|
|
|
|
деякого квадратично iнтегровного |
|
-мартингала |
|||
не значення |
|
e e |
|
|
P |
|
||||
|
Lt , t |
|
T |
, сильно |
ортогонального до |
X |
, з нульовим середнiм. |
|||
{ |
|
|
e |
|
|
|
||||
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
||
2.Якщо вказанi умови виконано, то стратегiя (b0, b), що
ξξ
мiнiмiзує локальний ризик, задається формулами
|
|
|
ξ ξ |
ξ0 |
|
|
0 |
|
t |
b = e, |
b0 |
= c, |
(3.2.31) |
b |
= c + |
X e |
|
e |
|
|
ξt |
ξk · |
Xk + Lt − ξt · Xt , t = 1, . . . , T . |
|
|||
k=1
3. Розклад (3.2.30) єдиний в тому розумiннi, що мартингал L i стала c визначаються єдиним чином.
260
Доведення. 1), 2) Якщо стратегiя (b0, b), що мiнiмiзує локаль-
ξ ξ
ний ризик, iснує, то за теоремою 3.2.117 вона самофiнансована в середньому, тобто процес коштiв Ct є квадратично iнтегровним P-мартингалом, i вiн строго ортогональний до X. Тобто
Vt −V0 − |
kt =1 ξk · |
Xk =: Lt – квадратично iнтегровний мартингал, |
||||||||
ортогональний до |
X |
, |
L0 = 0 |
. В момент |
t = T |
одержимо |
||||
сильно P |
b |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X b |
Xk + LT , |
|
|||
|
|
VT = H = V0 + |
ξk · |
|
||||||
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
i залишається покласти ξk |
|
:= ξk. Очевидно, E|ξk · Xk|2 < ∞ |
||||||||
оскiльки, за умовою iснування стратегiї, що мiнiмiзує локаль-
|
2 |
|
допустимою, тобто |
|
2 |
|
, |
2 |
|
|
, i те |
||||
ний ризик, вона є L |
- |
|
e |
b |
|
EV |
|
< |
e |
EL |
t |
< |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
∞ |
|
|
|
|||
саме вiрне для приростiв |
Vt i |
Lt. Навпаки, нехай H допускає |
|||||||||||||
розклад виду (3.2.30). Тодi покладемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X e |
Xk + Lt |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Vt := c + |
ξk · |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b |
b |
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а стратегiю (ξ0 |
, ξ) задано формулами (3.2.31). Для такої страте- |
||||||||||||||
гiї процес коштiв Ct = Lt +c, тобто вiн є квадратично iнтегровним
мартингалом, сильно ортогональним до . Значить, стратегiя
b |
b |
|
(ξ0 |
, ξ) мiнiмiзує локальний ризик. |
|
|
3) Для доведення єдиностi, припустимо, що iснує iнший роз- |
|
клад |
|
|
|
T |
|
|
X e |
|
|
H = c + |
ξk(1) · Xk + LT(1). |
k=1
Тодi, по-перше, обидвi стратегiї, за пунктом 1), мiнiмiзують локальний ризик, а значить, в момент T −1, за формулою (3.2.24),
e |
|
|
|
T −1 |
| FT −1) = c + LT −1 |
+ |
X e |
||
VT −1 = E(H | FT −1) − E(ξT · XT |
ξk · Xk, |
|||
|
|
|
|
k=1 |
|
T −1 |
|
|
|
|
X e |
|
|
|
VT −1 = c + LT(1)−1 + |
ξk(1) · Xk, |
|
|
|
k=1
261
звiдки |
T −1 |
|
|
|
X e e |
|
LT −1 − LT(1)−1 = (ξk − ξk(1)) · Xk. |
|
k=1 |
Застосовуючи зворотну iндукцiю разом iз (3.2.24) на кожному її кроцi, одержимо, що
(1) Xt e e(1)
Nt := Lt − Lt = (ξk − ξk ) · Xk. k=1
Таким чином, Nt є квадратично iнтегровним мартингалом, сильно ортогональним до X, тобто
|
|
|
|
E((ξt − ξt(1)) · |
|
Xt ) Xti | Ft−1) = 0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
i |
d. e |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t,i |
ξ(1) |
|
для всiх |
|
|
Домножимо кожну з цих рiвностей на ξ |
|
|||||||||||||
i додамо: |
≤ ≤ |
E(((ξt |
|
ξ(1)) |
|
Xt )2 |
|
t |
|
1) = 0. |
|
e |
|
−et,i |
|||
|
Nt |
|
Nt−1 |
= 0 e |
− |
e |
· |
|
| F |
L0 = L0 = 0 |
|
L = L |
|
||||
c = c. |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
Тому |
|
|
|
P-м.н., а оскiльки |
|
|
|
, то |
|
|
|
i |
|||||
e
Розклад Кунiта-Ватанабе для квадратично iнтегровних мартингалiв з дискретним часом
Нехай (Ω, F, P) – ймовiрнiсний простiр з фiльтрацiєю {Ft, t T = {0, 1, . . . , T }}, X = {Xt , Ft , t T} – квадратично iнтегровний P-мартингал. Доведемо, що будь-який iнший квадратично iнтегрований P-мартингал можна розкласти на двi складовi, одна
з яких буде дискретною версiєю стохастичного iнтеграла вiдносно процесу X, а друга – ортогональною до X. Спочатку доведемо
два допомiжнi результати.
Лема 3.2.124. Нехай M = {Mt , Ft , t T} та N = {Nt , Ft , t T} –
два квадратично iнтегровнi мартингали. Тодi наступнi твердження еквiвалентнi:
1)процеси M та N сильно ортогональнi;
2)добуток MN є мартингалом вiдносно цiєї ж фiльтрацiї.
262