finantial

Доведення. З метою технiчного спрощення припустимо, що S0 = = 1. Запишемо розклад за формулою Тейлора

ln(1 + x) = x − x2 + λ(x) · x2, 2

де |λ(x)| ≤ λ(α, β) при −1 < α ≤ x ≤ β, i λ(α, β) → 0 при α, β → 0.

Тепер запишемо SN(N ) у виглядi добутку

YN

SN(N ) = (1 + Rk(N )),

k=1

причому всi множники в ньому додатнi, i застосуємо вищезгадану формулу Тейлора до цього добутку:

i права частина є обмеженою, оскiльки PN – мартингальна мiра, тобто EPN Rk(N ) = rN , i

283

Таким чином, ΛN → 0 в середньому, а значить, i за ймовiрнi-

стю, отже, достатньо довести, що

вiдносно мiри PN слабко збiгається до логнормального розподiлу

з параметрами, вказаними в умовi теореми.

Позначимо (N ) (N ) − 1 (N ) 2

ξk := Rk 2 Rk

i перевiримо, що для цих випадкових величин виконуються умови теореми 3.3.1. Умова а):

284

Перший доданок в правiй частинi (3.3.2) прямує до σ2T в силу

умови 5. Покажемо, що iншi доданки прямують до нуля. Розгля-

оскiльки αN βN → 0, а вираз у дужцi обмежений. Остаточно,

XN

DPN ξ(kN ) → σ2T , N → ∞, k=1

При побудовi дискретної моделi ми нiде не припускали, що модель є бiномiальною. Подивимося тепер, як спростяться умови 1–5 для бiномiальної моделi.

Приклад 3.3.4. Припустимо, що на кожному кроцi Rk(N ) приймають лише два значення, −1 < aN < bN , причому цi значення

мають вигляд

√ √

aN = e−σ δ − 1, bN = eσ δ − 1,

σ > 0 задане, rN = rδ, δ = T /N .

285

Це стандартне (хоча i не зовсiм реальне) припущення про те, що цiна акцiї йде або “вгору” або “вниз”,

iпри цьому (1 + aN )(1 + bN ) = 1. Порiвняємо aN , rN i bN :

√√

aN −σ δ, bN σ δ при N → ∞,

а це означає, що −1 < aN < rN < bN для достатньо великих N . Будемо розглядати лише такi N , при цьому модель буде безар-

бiтражною i повною, значить, iснує єдина еквiвалентна мартингальна мiра PN . Обчислимо її:

прямують до 1, то

XN

DPN Rk(N ) → σ2T ,

k=1

тобто умову 5 теж виконано, i для такої бiномiальної моделi має мiсце теорема 3.3.3.

286

3.3.2Формула Блека-Шоулса справедливої цiни Європейського деривативу в моделi

з неперервним часом

Нехай розглядається модель фiнансового ринку з дискретним часом, що задовольняє умови 1) – 5), нехай також f : R → R+ – обмежена вимiрна функцiя, C = f (SN(N )) – платiжне зобов’яза-

ння, значення якого залежить лише вiд цiни акцiї в останнiй момент часу T . Оскiльки для послiдовностi випадкових величин SN(N ) має мiсце теорема 3.3.3, а в силу теореми Лебега про

мажоровану збiжнiсть, яка має мiсце i за умови слабкої збiжностi послiдовностi випадкових величин, має мiсце збiжнiсть справедливих цiн:

де математичне сподiвання в лiвiй частинi береться вiдносно граничної мiри, тобто такої мiри, вiдносно якої випадкова величина ST має логнормальний розподiл з параметрами ln S0 + (r −

− σ2/2)T та σ2T .

Зокрема, рiвнiсть (3.3.3) є вiрною для Європейського опцiону продажу, оскiльки в цьому випадку f (x) = (K − x)+, x ≥ 0, тобто

0 ≤ f (x) ≤ K.

Позначимо через x початкову цiну S0 акцiї, i нехай πput(x) –

це справедлива цiна Європейського опцiону продажу на акцiю з початковою цiною x. Тодi з (3.3.3)

πput(x) = lim EP (K − S(N ))+e−rT .

N →∞ N N

Тепер скористаємось пут-колл паритетом для неперервного часу, згiдно з яким

πcall (x) − πput(x) = x − Ke−rT

(множник e−rT вiдповiдає дисконтуванню з вiдсотковою ставкою r за перiод часу T ). Отже,

287

Обчислимо πcall (x) в лiвiй частинi (3.3.4) з урахуванням теоре-

ми 3.3.3.

Теорема 3.3.5. (Формула Блека-Шоулса справедливої цiни Єв-

ропейського опцiону купiвлi.) Нехай цiна акцiї S в момент T n √ o T

має вигляд ST = x exp σ T ξ + (r − σ2/2)T , де ξ N (0, 1).

Тодi справедлива цiна Європейського опцiону купiвлi на цю акцiю дорiвнює

= xΦ(d+(x, T )) − e−rT KΦ(d−(x, T )).

3.3.3Залежнiсть цiни Блека-Шоулса вiд параметрiв моделi. Грецькi символи

Як видно з формули Блека-Шоулса (3.3.5) та рiвностей (3.3.6) i (3.3.7), справедлива цiна Європейського опцiону купiвлi в логнормальнiй моделi насправдi залежить вiд значень параметрiв x, T , K, r, σ. Проаналiзуємо деякi з цих залежностей.

288

1. Залежнiсть вiд x. Початкову цiну S0 = x ще називають

спотовою, тобто миттєвою, цiною (детально спотовi цiни i ставки вивчено в роздiлi 1). Вiзьмемо першу похiдну по x вiд π(t, x):

Вправа 3.3.6. Довести рiвнiсть (3.3.8).

Ця перша похiдна називається Дельтою опцiону. Очевидно, вона додатна для всiх x i не перевищує 1. Отже, π(t, x) зростає по x.

Вiзьмемо другу похiдну по x вiд π(t, x), або першу похiдну вiд (t, x). Ця похiдна називається Гаммою опцiону:

де ϕ – щiльнiсть стандартного нормального розподiлу. Гамма, як i Дельта, додатна для всiх x, звiдки π(t, x) є опуклою вниз за x. Зауважимо, що з нерiвностi 0 < (t, x) < 1 випливає, що |π(t, x) − π(t, y)| < |x − y|, тобто змiна справедливої цiни опцiону

менша за змiну спотової цiни акцiї. З iншого боку, зi строгої опуклостi вниз справедливої цiни випливає, що її функцiя нахилу строго зростає, тобто для 0 < y < z i t > 0

Це означає, що вiдносна змiна справедливих цiн опцiонiв бiльша за вiдносну змiну цих акцiй. Цей факт називають ефектом кратностi опцiону (ефект кратностi в iншому контекстi обговорювався в прикладi 3.2.35).

289

2. Залежнiсть вiд T . Замiнимо T на t, щоб пiдкреслити мо-

жливу змiну дати виконання опцiону. Похiдна справедливої цi-

Вправа 3.3.7. Довести формулу (3.3.9).

Очевидно, Θ(t, x) > 0, що пiдтверджує факт зростання спра-

ведливої цiни опцiону при збiльшеннi дати його виконання.

3. Рiвняння Блека-Шоулса. Якщо t > 0, то величини , i Θ

задовольняють таке спiввiдношення

290

Вправа 3.3.10. Довести рiвнiсть (3.3.12).

Вега опцiону теж є додатною величиною, тобто за σ цiна

опцiону також зростає.

Символи , , Θ, ρ i V називають грецькими символами, або

просто Греками (Greeks), хоча V не є лiтерою грецького алфавиту.

3.3.4Рiвняння Блека-Шоулса як результат аналiзу змiни портфеля iнвестора

Розглянемо бiльш загальну ситуацiю, коли фiнансовий iнвестор тримає портфель, загальна вартiсть якого дорiвнює V , i

який може складатися з довiльного числа фiнансових деривативiв на одну i ту ж акцiю, цiна якої в момент t дорiвнює St.

Таким чином, V = V (t, St ), де V = V (t, x) є функцiєю часу t ≥ 0 i x ≥ 0. Припустимо, що V C1(R+) × C2(R+). Вважаємо, що цiна

акцiї St = x exp{(µ− σ22 )t+σWt }, тобто моделюється геометричним броунiвським рухом. Запишемо формулу Iто (A.2.7) для V (t, St)

+1 σ2 w t ∂2V S2dt,

2 0 ∂x2 t

або, в диференцiальнiй формi,

Тепер припустимо для простоти, що V є цiною одного опцiону,

а портфель iнвестора складається з цього опцiону i деякого числа z акцiй, поки що невизначеного. Значення капiталу такого

портфелю дорiвнює

Π = V + zS = V (t, St) + zSt .

291

Змiна у значеннi цього портфеля за малий промiжок часу дорiвнює dΠ = dV + zdS, якщо опустити аргумент t. Пiдставимо значення dV i одержимо:

Якщо в одержаному рiвняннi покласти z = −∂∂Vx , тобто z дорiв-

нює значенню похiдної в початковий момент перед змiною часу dt, то ми одержимо

Тепер вiдзначимо, що це змiна лише частини капiталу, вкладеного у ринковi активи. За умови безарбiтражностi вона дорiвнює змiнi того ж капiталу, вкладеного у безризиковий актив з вiдсотковою ставкою r > 0, тобто величинi dΠ = rΠdt. Отже, ми

одержуємо рiвняння

Тепер врахуємо той факт, що в останньому рiвняннi S i x можна позначити одним i тим самим символом, наприклад, S. Це можна зробити тому, що можна записати V = V (t, S), де S – одно-

часно i друга змiнна, i цiна акцiї. Тодi рiвняння набуде вигляду

292