§5. Нормальный закон распределения.

Говорят, что случайная величина Х имеет нормальное распределение, если плотность распределения вероятностей этой случайной величины имеет вид:

Нормальное распределение зависит от двух параметров aи σ, гдеа– математическое ожидание, σ – среднеквадратическое отклонение (σ > 0).

График плотности распределения вероятностей выглядит следующим образом:

Нормированной нормальной случайной величинойназывается нормальная случайная величина с математическим ожиданием, равным 0, и среднеквадратическим отклонением, равным 1. Обозначаетсяφ(х)

График плотности распределения вероятностей нормированной нормальной случайной величины имеет вид:

Для нахождения вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал используется следующая формула:

,

где - функция Лапласа, значение которой находится по таблице. Она обладает следующими свойствами:

1) - функция нечетная;

2) если , то.

Для нормальной случайной величины характерно свойство, называемое «правилом трех сигм»: вероятность того, что значение нормально распределенной случайной величины отклониться от математического ожидания не более, чем на 3σ, примерно равна единице.

Доказательство: