- •Ргр «Математический анализ» з а д а ч а 1
- •Контрольные варианты к задаче 1
- •З а д а ч а 2
- •Контрольные варианты к задаче 2
- •З а д а ч а 3
- •Контрольные варианты к задаче 3
- •З а д а ч а 4
- •Контрольные варианты к задаче 8
- •З а д а ч а 9
- •Контрольные варианты к задаче 9
- •З а д а ч а 10
- •Контрольные варианты к задаче 10
- •З а д а ч а 11
- •Контрольные варианты к задаче 11
- •З а д а ч а 12
- •З а д а ч а 15
- •Контрольные варианты задачи 15
- •З а д а ч а 16
- •Контрольные варианты задачи 16
- •Образец выполнения контрольной работы
- •Образец выполнения контрольной работы
- •«Графики функций»
- •Задача №27. Построить графики функций, заданных параметрически,
- •Указания к выполнению
- •Образец выполнения контрольной работы
Ргр «Математический анализ» з а д а ч а 1
Правило 1. Чтобы вычислить , нужно вместо переменной х поставить её предельное значение.
Если то
Если то.
Если то- неопределенность.
Правило 2. Чтобы раскрыть неопределенность в алгебраическом выражении, надо в числителе и знаменателе выделить множитель, который стремится к нулю, и на него под знаком предела сократить.
Правило 3. Если в числителе и знаменателе стоят многочлены, то чтобы получить множитель , нужно многочлены разложить на множители.
Пример 1
Вычислить предел .
.
Найдем корни многочленов
.
Контрольные варианты к задаче 1
Вычислить пределы функции:
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
З а д а ч а 2
Пример 2
Вычислить предел .
В числителе и знаменателе получаются нули за счет сомножителя , который стремится к нулю при. Разложим многочлены на множители, разделив их на
.
-
-
.
-
-
-
-
.
Замечание. При разложении многочлена в числителе можно было применить способ группировки и вынесения общего множителя, а в знаменателе найти корни, решив биквадратное уравнение.
Контрольные варианты к задаче 2
Вычислить пределы функций:
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. . |
. |
. | |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
28. . |
. |
. |
З а д а ч а 3
Если в числителе или знаменателе стоят иррациональные выражения, то для получения сомножителя умножим числитель и знаменатель на сопряженные им выражения.
Пример 3
Вычислить .
Контрольные варианты к задаче 3
Вычислить пределы функций:
1. |
. |
2. |
. |
3. |
. |
|
| ||
4. |
. |
5. |
. |
6. |
. |
| |||
7. |
. |
8. |
. |
9. |
. |
| |||
10. |
. |
11. |
. |
12. |
. |
| |||
13. |
. |
14. |
. |
15. |
. |
| |||
16. |
. |
17. |
. |
18. |
. |
| |||
19. |
. |
20. |
. |
21. |
. |
|
| ||
22. |
. |
23. |
. |
24. |
. |
| |||
25. |
. |
26. |
. |
27. |
. |
| |||
28. |
. |
29. |
. |
30. |
. |
|
З а д а ч а 4
Пример 4
Вычислить
Контрольные варианты к задаче 4
Вычислить пределы функций:
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
8. |
. |
|
. |
|
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
З а д а ч а 5
Если при и, то отношениепредставляет собой неопределенность. В этом случае рекомендуется числитель и знаменатель разделить почленно на старшую степень переменной х.
Пример 5
Вычислить предел .
.
Контрольные варианты к задаче 5
Вычислить пределы функций:
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
|
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. | |
. |
З а д а ч а 6
Пример 6
Вычислить предел .
Здесь старшая степень при n – вторая и - степень, поэтому
Контрольные варианты к задаче 6
Вычислить пределы числовых последовательностей:
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. | |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
З а д а ч а 7
Если при и, то разностьпредставляет собой неопределенность. Чтобы раскрыть такую неопределенность, надо привести её к видуили.
Пример 7
Вычислить предел .
Умножим и разделим на сопряженное выражение , тогда
Здесь старшая степень - первая, поэтому
Контрольные варианты к задаче 7
Вычислить пределы функции:
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. | |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. | |
. | |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
З а д а ч а 8
Две бесконечно малые функции приилиназываются эквивалентными, если предел их отношения равен единице. Эквивалентность бесконечно малых функций записывается в виде~.
Таким образом, если , то~.
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций
~ . |
~ . |
~ |
~ . |
~ . |
~ . |
~ . |
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если одну или обе бесконечно малые заменить им эквивалентными, т. е. если ~и~, то
Заметим, что с помощью эквивалентных бесконечно малых раскрывают неопределенность
Пример 8
Вычислить предел
Пример 9
Вычислить предел
Пример 10
Вычислить предел