- •Введение
- •Печенкина
- •Вопросы теории и практики
- •1 Теоретические основы
- •1.2 Способы проецирования
- •1.2.1 Центральное проецирование
- •1.2.2 Параллельное проецирование
- •1.2.3 Ортогональное проецирование
- •1.2.4 Образование двух- и трёхкартинного комплексного чертежа
- •1.2.4.1 Конкурирующие точки
- •1.3 Ортогональные проекции геометрических объектов и позиционные
- •1.3.1 Изображение прямой линии на комплексном чертеже
- •1.3.1.1 Прямые частного положения
- •1.3.1.2 Следы прямой линии
- •1.3.1.3 Определение натуральной величины отрезка прямой
- •1.3.1.4 Взаимное положение двух прямых
- •1.3.1.5 Теорема о проецировании прямого угла
- •1.3.2 Изображение плоскости на комплексном чертеже
- •1.3.2.1 Главные линии плоскости
- •1.3.2.2 Взаимопринадлежность (инцидентность) точки и плоскости
- •1.3.2.3 Следы плоскости
- •1.3.2.4 Плоскости частного положения
- •1.3.2.5 Параллельность прямой и плоскости
- •1.3.2.6 Параллельность плоскостей
- •1.3.2.7 Перпендикулярность прямой и плоскости
- •1.3.2.8 Пересечение прямой линии с плоскостью
- •1.3.2.9 Пересечение двух плоскостей
- •1.3.3 Кривые линии
- •1.3.3.1 Проекционные свойства плоских кривых
- •1.3.3.2 Ортогональная проекция окружности
- •1.3.4 Образование, задание и изображение поверхностей
- •1.3.4.1 Линейчатые поверхности
- •1.3.4.2 Коническая и цилиндрическая поверхности
- •1.3.4.3 Поверхности вращения
- •1.3.4.4 Поверхности вращения второго порядка
- •1.3.4.5 Пересечение поверхности с плоскостью
- •1.3.4.6 Конические сечения
- •1.3.4.7 Пересечение поверхностей
- •1.3.4.7.1 Общий алгоритм решения задачи
- •1.3.4.7.2 Примеры пересечения поверхностей
- •1.3.4.7.3 Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка
- •1.4 Преобразование комплексного чертежа
- •1.4.1 Способ замены плоскостей проекций
- •1.4.2 Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций
- •1.4.3 Способ плоскопараллельного перемещения
- •1.4.4 Способ вращения
- •1.4.4.1 Способ вращения вокруг проецирующей оси
- •1.4.4.2 Основные задачи, решаемые способом вращения
- •1.5 Построение разверток
- •1.5.1 Развертка поверхностей многогранников
- •1.5.1.1 Развертка поверхности призмы
- •1.5.1.2 Развертка поверхности пирамиды
- •1.5.2 Развертка развертываемых кривых поверхностей
- •1.5.2.1 Развертка цилиндрической поверхности
- •1.5.2.2 Развертка конической поверхности
- •2. Геометрические модели в параллельных аксонометрических проекциях
- •2.1 Аксонометрические проекции
- •2.2 Стандартные аксонометрические системы
- •2.3 Аксонометрическая проекция окружности
1.3.2.5 Параллельность прямой и плоскости
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Так, прямая l параллельна прямой b, расположенной в плоскости в соответствии с рисунком 1.3.20, следовательно,
l|| (прямая l параллельна плоскости ).
На комплексном чертеже это условие обеспечивается параллельностью соответствующих проекций прямой l и прямой b в соответствии с рисунком 1.3.21. Так, l1||b1 и l2||b2, следовательно, l||.
Рисунок 1.3.20 – Параллельность прямой и плоскости
Рисунок 1.3.21 – Комплексный чертёж параллельных прямой и плоскости
1.3.2.6 Параллельность плоскостей
Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Так, пересекающиеся прямые с и d плоскости (рисунок 1.3.22 а) параллельны пересекающимся прямым с’ и d’ плоскости , следовательно, плоскость параллельна плоскости (||).
Рисунок 1.3.22 – Параллельность плоскостей
На комплексном чертеже это условие обеспечивается параллельностью соответствующих проекций прямых с и d плоскости и прямых с и d плоскости . Так, с||с’ и d||d’, следовательно, || в соответствии с рисунком 1.3.22 б.
1.3.2.7 Перпендикулярность прямой и плоскости
Из элементарной геометрии известно, что прямая f2, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости.
На заданной плоскости в качестве двух пересекающихся прямых удобно выбирать линии уровня – горизонталь или фронталь. В этом случае можно воспользоваться свойствами проекций прямого угла.
Теорема. Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.
Задача. Построить проекции перпендикуляра l, опущенного из точки D(D1,D2) на плоскость общего положения Σ(АВС) (рисунок 1.3.23).
Решение:
В плоскости Σ(АВС) проведем горизонталь h(h1,h2) и фронталь f(f1,f2).
Выполним условия перпендикулярности прямой и плоскости. Для этого из точки D1 проведем горизонтальную проекцию перпендикуляра l1 таким образом, чтобы l1┴ h1, а из точки D2 проведем l2, чтобы l2 f2.
3) Прямая l в этом случае перпендикулярна плоскости Σ(АВС), так как она перпендикулярна двум пересекающим прямым этой плоскости (h∩f). Таким образом l1 h1 и l2 f2 , следовательно l Σ(АВС).
Рисунок 1.3.23 – Перпендикулярность прямой и плоскости
1.3.2.8 Пересечение прямой линии с плоскостью
Это есть позиционная задача, т.к. в ней определяется общий элемент данных геометрических объектов, т.е. их точка пересечения, что соответствует рисунку 1.3.24.
Алгоритм решения задачи основывается на следующем способе:
1) через прямую линию проводят вспомогательную проецирующую плоскость-посредник;
2) находят линию пересечения вспомогательной плоскости с данной
плоскостью;
3) отмечают точку пересечения полученной линии с данной прямой;
4) определяют видимость прямой относительно даной плоскости.
Через прямую а, которая пересекает плоскость общего положения, заданная треугольником АВС, в соответствии с рисунком 1.3.24 проведена вспомогательная фронтально проецирующая плоскость (2), обозначенная на чертеже 2а2.
Линией пересечения b плоскости с заданной плоскостью треугольника АВС является прямая линия. Эта линия строится с помощью точек 1 и 2. Первоначально отмечаем фронтальные проекции 12 и 22 этих точек в пересечении следа 2 плоскости с фронтальными проекциямиА2В2 и А2С2 соответствующих сторон треугольника АВС. Затем по свойству принадлежности определяем горизонтальные проекции точек 1 и 2 на горизонтальных проекциях этих сторон.
Пересечение линии b1 c линией a1 определяет горизонтальную проекцию К1 искомой точки К. Фронтальная проекция К2 точки К получается в пересечении линии связи, проведённой из точки К1 с линией a2.
Видимость прямой а относительно плоскости треугольника АВС определена с помощью конкурирующих точек 1, 1 и 3, 3.
Рисунок 1.3.24 – Пересечение прямой линии с плоскостью