IX. ДВИЖЕНИЕ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ В

ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

1. Кинематические условия на подвижной границе раздела при

взаимном вытеснении жидкостей

Задачи о движении границы раздела двух жидкостей в пористой среде представляют большой теоретический и практический интерес. Так при разработке нефтяных месторождений в условиях водонапорного режима наблюдается стягивание контура нефтеносности под напором грунтовых вод. Аналогичная задача о движении границы раздела двух жидкостей с различными физическими свойствами (вязкостью и плотностью) возникает в некоторых случаях и при разработке газовых месторождений c активной краевой или подошвенной водой.

Строгое гидродинамическое решение задачи о движении границы раздела двух жидкостей, пригодное для практических расчетов, отсутствует. Исследованы лишь отдельные, частные случаи; разработаны некоторые приближенные методы. Основная трудность точного решения задачи о движении границы раздела двух жидкостей в пористой среде заключается в том, что на границе раздела двух жидкостей происходит преломление линий тока.

Пусть кривая I-I (рис. 56) является границей раздела двух жидкостей с вязкостями ₁ и ₂ и пусть ₂>₁ (нефть-2 вытесняется водой-1).

Рис. 56

Рассмотрим произвольную точку М границы I-I и проведем через нее касательную и нормаль к границе раздела жидкостей. Рассмотрим нормальную и касательную составляющие скорости фильтрации в точке М, считая проницаемость среды постоянной по обе стороны границы раздела. Согласно условию неразрывности потока массы элементарные расходы обеих несжимаемых жидкостей через элемент граница раздела, включающей точку М, должны быть равны между собой. Отсюда следует, что нормальные составляющие скоростей фильтрации обеих жидкостей будут равны, т.е. . Давление в пласте в точке М также должно быть одинаково для обеих жидкостей, так как при малых скоростях разрыва давления в сплошном потоке быть не может. Касательные составляющие скоростей фильтрации обеих жидкостей будут определяться по закону Дарси:

. (9.1)

Так как ₂>₁, то из (9.1) следует, что . Поэтому результирующий вектор скорости фильтрации , касательный к линии тока АМ, будет больше вектора , касательного к линии тока нефти МВ.

Следовательно, линии тока АМ и МВ, проходящие через точку М, будут иметь излом в точке М. Учет этого преломления линий тока на границе раздела жидкостей и составляет главную трудность в точном решении задачи продвижения границы раздела. Линии тока не будут преломляться только в двух случаях: при прямолинейно-параллельном и плоско-радиальном движениях границы раздела, когда . Эти задачи и будут рассмотрены ниже. При этом жидкости (нефть и вода) принимаются несжимаемыми, взаимно нерастворимыми и химически не реагирующими одна с другой и с пористой средой. Вытеснение нефти водой предполагается происходящим полностью - так называемое поршневое вытеснение (полное вытеснение).

2. Прямолинейно-параллельное вытеснение нефти водой.

При поршневом вытеснении нефти водой в пористой среде плотность нефти и воды будем считать одинаковыми. Это позволит рассматривать плоскость контакта нефти и воды вертикальной; при этом вязкости нефти и воды различны. Рассмотрим прямолинейное движение контура нефтеносности к прямолинейной батарее скважин в полосообразном пласте (рис.57).

Рис. 57

Принимаем: на контуре питания и на галерее поддерживаются собственно постоянные давления Р_К и Р_Г ; начальное положение контура нефтеносности Х₀ параллельно галерее и контуру питания; коэффициент пористости m = const; площадь сечения пласта . Обозначим:

Р_В, Р_Н - соответственно давление в любой точке водоносной и нефтеносной части пласта;

Р(t) - давление на границе вытеснения Х_В(t);

L_K - расстояние от контура питания до галереи.

Ранее отмечалось, что в случае прямолинейно-параллельного потока одной жидкости распределение давления Р(х) и скорость фильтрации описывались уравнениями (3.12) и (3.15):

или ; (9.2)

. (9.3)

При этом изобарами являются линии, параллельные галерее и каждую изобару можно рассматривать как контур питания или как галерею.

На основании формул (9.2) и (9.3) для водоносной области можно записать :

, ; (9.4)

. (9.5)

Принимая за контур питания изобару, совпадающую с границей раздела жидкостей, для нефтеносной области можно записать :

; (9.6)

. (9.7).

Найдем давление Р(t) на границе раздела.

Вследствие несжимаемости жидкостей и неразрывности потока линии тока будут параллельны оси Х и не имеют преломления, а скорость фильтрации во всех точках пласта одинакова; поэтому приравниваем (9.5) и (9.7) , т.е. имеем

откуда давление на границе раздела будет

(9.8)

Далее определим основные характеристики фильтрационного потока нефти и воды.

1) Распределение давления в водоносной и нефтеносной областях. Для этого подставим (9.8) в (9.4) и (9.6):

(9.9)

(9.10)

Из уравнений (9.9) и (9.10) видно, что давление в пласте зависит не только от координаты Х, но и от положения границы раздела Х_В, которая перемещается , т.е. Х_В(t) растет; поэтому давление в водоносной области Р_В(t) падает, а в нефтеносной Р_Н (t) растет (рис.58). Пьезометрическая линия на границе раздела имеет излом.

Рис. 58

2) Найдем выражение скорости фильтрации. Подставим (9.8) в (9.5) и в (9.7); получим:

(9.11)

3) Расход жидкости (дебит галереи) Q.

(9.12)

Как видно из (9.11) и (9.12) скорость фильтрации и расход Q жидкости также изменяются со временем. Следовательно, несмотря на постоянство депрессии движение жидкости будет неустановившимся. При , как видно из этих же формул, скорость фильтрации и дебит Q галереи увеличиваются с течением времени, т.е. по мере продвижения контура нефтеносности. Это легко объясняется физическими явлениями: со временем область нефтеносности (область высокого фильтрационного сопротивления) уменьшается, поэтому скорость фильтрации V и расход Q увеличиваются.

4) Градиент давления. Продифференцируем выражения (9.9) и (9.10) по координате х:

(9.13)

. (9.14)

Как видно из (9.13) и (9.14), градиенты давлений в водоносной и нефтеносной областях со временем ( Х_В(t) растет) увеличиваются (линии на графике становятся более крутыми); при этом легко видеть из (9.13) и (9.14), что в нефтеносной области градиент давления больше, чем в водоносной во столько раз, во сколько _Н больше _В.

5) Закон движения границы раздела Х_В(t) находим из соотношения скорости фильтрации и средней скорости движения:

откуда

Проинтегрировав в пределах: от 0 до t и от Х₀ до Х_В, получим

(9.15)

Найдем время Т полного вытеснения нефти, полагая в (9.15) . Получаем

. (9.16)

Решая квадратное уравнение (9.15), находим закон движения границы раздела:

. (9.17)

Если подставить из (9.17) в (9.11) и в (9.12), можно получить выражения для скорости фильтрации V и расхода жидкости Q во времени. В частности

(9.18)