Нелинейные системы. Нелинейная модель системы фапч.

Обращение к нелинейной модели необходимо, когда возникают вопросы захвата и срыва слежения. Типичной нелинейной системой является система ФАПЧ, которая может находиться в нелинейном режиме работы при любой начальной подстройке. Так как нелинейная модель описывается нелинейным дифференциальным уравнением, то стараются по возможности эту систему упростить. Поэтому при составлении нелинейной модели учитывают нелинейные свойства одного элемента и динамические свойства наиболее узкополосных элементов (обычно одного или двух).

Для удобства математического описания будем считать дискриминационную характеристику фазового дискриминатора синусоидальной.

Нелинейная модель:

Составим дифференциальное уравнение системы. Оно будет иметь наиболее простой вид, если в качестве независимой переменной используется входная переменная нелинейного типа.

Полоса удержания Ω_У - максимальное отклонения частоты перестраиваемого генератора.

Систему ФАПЧ называют идеализированной, если К_ФНЧ(р) = 1 и дифференциальное уравнение идеализированной системы ФАПЧ:

Методы анализа нелинейных систем.

Универсального метода анализа нелинейных систем нет, поэтому метод выбирается в соответствии с решаемой задачей.

Группы методов:

1. точные аналитические (используются редко);

2. приближенные аналитические:

1. использование аппроксимации характеристики нелинейного элемента, позволяющей решить дифференциальное уравнение (кусочно-линейная аппроксимация);

2. использование аппроксимации решения (методы гармонического баланса);

3. графо-аналитические методы (методы пространства состояний или фазового пространства);

3. числовые методы (аналоговое и цифровое моделирование).

Фазовый портрет идеализированной системы фапч.

Фазовый портрет представляет собой качественное решение нелинейного дифференциального уравнения. Оно изображается в декартовой системе координат, по осям которой откладывается искомая величина φ и ее производная dφ/dt. В любой момент времени состояние системы характеризуется определенными значениями, текущей разностью фаз φ и мгновенной расстройкой dφ/dt, и на фазовой плоскости отображается точкой, которая называется изображающей. С течением времени φ и dφ/dt изменяются и изображающая точка движется по фазовой плоскости. След от этого движения называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий, построенных для различных начальных условий, называется фазовым портретом. Уравнение фазового портрета совпадает с дифференциальным уравнением системы (по форме). Для идеализированной системы ФАПЧ оно имеет вид:

Направление движения изображающей точки определяется по формальному правилу:

Если производная функции положительна, то функция возрастает и наоборот, если производная отрицательна, то функция убывает.

Точки, в которых сходятся несколько фазовых траекторий, называются особыми точками. Особые точки соответствуют установившемуся состоянию равновесия в системе. Если траектории входят в особую точку, то она называется устойчивой, если выходят – неустойчивой. Соответствующим будет и режим.

По фазовому портрету можно определить:

1. устойчивость системы;

2. статические характеристики;

3. переходные процессы.

Для нелинейных систем различают устойчивость в малом и устойчивость в большом, в зависимости от начальных условий. Система считается устойчивой в малом, если при снятии малого возмущения она возвращается в исходное положение. По фазовому портрету эта устойчивость определяется так: если в фазовом портрете существуют устойчивые особые точки, то система устойчива в малом. Устойчивость в большом определяет диапазон начальных условий, в пределах которого система будет устойчива в малом. Начальные условия: φ_Н, Ω_Н.

Ω_Н - начальная расстройка.

При любой начальной разности фаз изображающая точка будет стремиться к устойчивой особой точке и система будет устойчива в малом.

При изменении начальной расстройки линии, соответствующие фазовым траекториям, перемещаются по вертикали. Если начальная расстройка Ω_Н будет дольше полосы удержания Ω_У, то фазовая траектория пройдет над осью φ и особых точек не будет, значит условие устойчивости в большом: |Ω_Н| < Ω_У.