Мысал 1.

.

Бул теңлемени аналитикалық түрде шешип, төмендеги нәтийжеге ийе боламыз:

_.

Енди бул мәселени MatLab орталығында шешип көремиз.

1. Теңлемени дәслеп аналитикалық жол менен шешемиз.

_{>> dsolve ('D3y-2*D2y-Dy+2*y=0')}

_{ans =}

_{C1*exp(t)+C2*exp(2*t)+C3*exp(-t)}

2. Буннан кейин теңлемени санлы шешиў ҳәм оның графигин сызыўды көрейик.

Теңлемени биринши туўындылардан ибарат үшинши тәртипли теңлемелер системасы ушын Коши мәселесине келтиремиз (яғный басланғыш шәртлерди киритемиз). Сондай-ақ интеграллаў ҳәм графигин сызыў интервалында анықлаймыз. Теңлемелер системасының оң тәрепиндеги функцияларды анықлаўшы

• m.-файл дүземиз ҳәм теңлемениң шәртлерин киритемиз.

• Интеграллаў шегараларын, басланғыш шәртлерди киритемиз ҳәм есаплаўды әмелге асырамыз. Оның ушын MatLab орталығында мына программаны жазамыз

_{>> y0=[1 1 1 ];}

_{>> tspan=[0 20];}

_{>> [T,Y]=ode45('ex21',tspan,y0);}

_{>> plot(T,Y)}

_{Алынған шешим графиги төменде көрсетилген}

_{Мысал 2}

_.

Бул теңлемени аналитикалық түрде шешип, төмендеги нәтийжеге ийе боламыз:

.

Енди бул мәселени MatLab орталығында шешип көремиз.

1. Теңлемени аналитикалық шешемиз.

>> dsolve('D3y-7*D2y+15*Dy-9*y=0')

ans =

C1*exp(t)+C2*exp(3*t)+C3*exp(3*t)*t

2. Теңлемени санлы шешиў ҳәм оның графигин сызыўды көрейик.

Теңлемени Коши мәселесине келтиремиз (яғный басланғыш шәртлерди киритемиз). Сондай-ақ интеграллаў ҳәм графигин сызыў интервалында анықлаймыз. Теңлемелер системасының оң тәрепиндеги функцияларды анықлаўшы

• m.-файл дүземиз ҳәм теңлемениң шәртлерин киритемиз.

• Интеграллаў шегараларын, басланғыш шәртлерди киритемиз ҳәм есаплаўды әмелге асырамыз. Оның ушын MatLab орталығында мына программаны жазамыз

>> y0=[2 0.5 0];

>> tspan=[0 10];

>> [T,Y]=ode45('ex21',tspan,y0);

>> plot(T,Y(:,1))

_{Алынған шешим графиги төменде көрсетилген}

Енди (6)-(8) туўрылар усылын шешиўди қарастырамыз. Параметрлерди анықлаймыз n=5, m=4, h=0.2, τ=0.02 болсын.

Дәслеп, (6)-(8) системаның оң тәрепин функция көринисинде жазып аламыз

function dydt=mpramix(t,y)

h=0.2;tau=0.02;

dydt= zeros(6,1);

dydt(1)=t;

dydt(2)=(y(3)-2*y(2)+y(1))/h^2;

dydt(3)=(y(4)-2*y(3)+y(2))/h^2;

dydt(4)=(y(5)-2*y(4)+y(3))/h^2;

dydt(5)=(y(6)-2*y(5)+y(4))/h^2;

dydt(6)= 0.5+t;

end

Функцияны mpramix аты менен сақлап қоямыз. Ооннан кейин басланғыш шәртлерди анықлаўшы функцияны дүземиз

function yo=prmit

h=0.2;

y0(1)=0;

y0(2)=h^2/2;

y0(3)=(2*h)^2/2;

y0(4)=(3*h)^2/2;

y0(5)=(4*h)^2/2;

y0(6)=(5*h)^2/2;

end

Оны prmit аты менен файлға жазамыз. Программа сценарийсин келтиремиз:

Prmit;

>> tspan=0:0.02:0.08;

>> [T,Y]=ode45('mpramix',tspan,y0,options)

T = 0 % ўақыт t ның мәнислери;

0.0200

0.0400

0.0600

0.0800

Y = Columns 1 through 5 % ) шешим мәнислери ;

0 0.0200 0.0800 0.1800 0.3200

0.0200 0.0400 0.1000 0.2000 0.3400

0.0400 0.0600 0.1200 0.2200 0.3600

0.0600 0.0800 0.1400 0.2400 0.3800

0.0800 0.1000 0.1600 0.2600 0.4000

Column 6

0.5000

0.5200

0.5400

0.5600

0.5800

% Енди алынған шешимниң графигин сызамыз:

>> hold on

>> plot(T,Y(:,1));

>> plot(T,Y(:,2));

>> plot(T,Y(:,3));

>> plot(T,Y(:,4));

>> plot(T,Y(:,5));

>> plot(T,Y(:,6));

>>

13-лекция

Тема: Экономикалық моделлер. Тараўлар ара баланс модели.

Өндиристи шөлкемлестириў –бар материалды есапқа алып, илажы барынша көбирек өним шығарыўдан ибарат. Бунда материал шийки зат баланс моделлери әҳмийетлерли роль ойнайды. Биз тараўлар ара материал шийки зат балансының әпиўайы моделлерин қараймыз.

Леонтьев модели. Халық хожалығының базы бир өндирис бөлими өним шығарады, ҳәр қыйлы тараў ҳәр қыйлы түрдеги өним шығарады дейик. Соның менен бирге ҳәр бир тараў өзиндеги материалдан ҳәм барлық басқа тараўлар материалларынан пайдаланады деп уйғарамыз. Белгилеўлер киртейик:

I_p=1,2,...,р, х_i – i -өним көлеми, S_i – i -өнимниң өндиристен тысқары ресурслары (импорт, өндирис баспадағы запас ҳәм резервлер), x_ij – 5 өнимди шығарыў ушын кеткен i - өним муғдары, к_i – i -өнимниң толық пайдаланылады (өндиристен тысқары тутыныў, экспорт, өндирис ақырындағы запас ҳәм резервлер). Материал шийки зат баланс схемалары "ресурслар кирими – ресурслар бөлистирилиўи) принципи бойынша дүзилиўи мүмкин. Биз усы схеманы дүземиз. Ҳәмме 1,2,...,n номерли өнимлерди өндириў ушын i - өнимнен х_ij көлемде жумсалады.

Соның ушын

х_i+S_i= х_ij+k_i, iI_n (1)

теңликлерди жазыў мүмкин. Егер материал шийки зат баланс схемасы "Өним кирими - өним бөлистирилиўи" принципи бойынша дүзилгенде

х_i= х_ij+у_i, iI_n (2)

теңликлерди жазыў мүмкин (онда у_i=k_i-s_i).

Жоқарыда жазылған (1) ҳәм (2) теңлемелер көрилетуғын өндирис бөлимим ушын экономиканы планластырыў үлкен әҳмийети ийе. Әлбетте, бул (1), (2) моделлерди үйрениў бирқанша қолайсызлықлар туўдырады. Себеби онда х_ij лер менен х_i арасындағы байланыслар ҳаққындағы ҳеш қандай мағлыўмат жоқ. Егер сондай байланыс бар болса, онда тийисли моделлерди үйрениў аңсатласады. Усы себепли х_ij шамалар х_i лердиң базыбир үзликсиз функциясы деп уйғарайық. Бул j - өнимди өндириў ушын кететуғын i - өним j – ши өнимди өндириў көлемине байланыслы деген пикирди билдиреди. Бул тәбийғый уйғарыў болады. Сондай етип х_ij=_ij(х_i), i,jI_n десек, (2) система мына

х_i= _ij(х_i)_j+у_i, iI_n (3)

көриниске келеди. _ij(х_i) функция қурамалы экономикалық процесслерди сызықлы емес болса, әпиўайы жағдайларда сызықлы болып өндирис шығынлары ҳәм өним көлеми пропорционал екенин аңлатады.

х_ij= а_ij+ х_i, а_ij0, i,jI_n (4)

Пропорционаллық коэффициенти а_ij шама j өнимниң бир (шәртли) бирлигин (бир бирлик 10, 100, ҳ.т.б. болыўы мүмкин) өндириў ушын i - өнимниң тиккелей шығып к коэффициенти делинеди. Бул коэффициентлер биргеликте (nn) өлшемли квадрат матрицаны дүзеди

А=( а_ij)= (5)

Бул матрицаны тиккелей шығынлар матрицасы делинеди. Егер (4) ти (3) ке қойсақ

х_i= а_ij(х_i)+у_i, iI_n (6)

ямаса

(_ij- а_ij)х_i+у_i, iI_n (7)

системаға ийе боламыз. Онда _ij – Кронер символы.

_ij =

(7) системаны вектор матрица көриниснде

Х=АХ+У ямаса (Е-А)Х=У (8)

жазыў мүмкин. Бунда Х=(х_i) өндирис көлемлери бағана векторы, У=(у_i) өндирилген соңғы бағана вектор.

(6) ямаса (8) система х₁, х₂,..., х_n, ҳәм у₁, у₂,..., у_n өзгериўшилерден белгисизлери саны теңлемелер санынан көп болмаса жалғыз шешимге ийе болыўы мүмкин. Бул А матрицасына байланыслы қайсы өзгериўшилерди белгисиз деп алыў мәселениң қойылыўына байланыслы. Соның ишинде 1) соңғы талаплар көлеми у_i, i= ге қарап өндирис көлемлерин z_i, i= табыў; 2) өндирис көлемлерине қарап соңғы талаплар көлемин табыў 3) өндирис көлемлерин базы бир өнимлер түрлери бойынша, соңғы талаплар көлемлерин басқа өнимлер түрлери бойынша анықлаў мәселелери тез ушырайтуғын мәселелер есапланады.

Жоқарыда көрсетилген (8) система Леоньевтиң сызықлы модели делинеди. Егер у=0 болса Леоньев модели жабық, керисинше болса ашық делинеди. Ашық модельде у 0 болғаны ушын кеминде бир өндирис тараўында соңғы талап бар болады.

Жабық модел

(Е-А)х=0 (9)

система менен аңлатылады ҳәм онда соңғы талап өними болмайды. Леонтьевтиң ашық моделинде х0 болғаны ушын (8) система Е-А матрицасы қандай болғанда терис емес шешимге ийе болады деген сораўға жуўап бериў керек. Жабық модельде соңғы талап болмағанда өндиристе оң сандағы өнимлер көлемин ислеп шығыў мүмкин бе деген сораўға жуўап бериўге туўра келеди. Бул сораўға жуўап А матрицасының 1 ге тең болған меншикли саны бар болыўына байланыслы.

Енди моделге байланыслы айырмалы түсиниклерди келтирип өтемиз.

Барлық а_ij, i,j= элементлери терис болмаған матрица А терис емес матрица деп аталады ҳәм А0 деп жазылады.

Анықлама 1. Егер А=( а_ij) матрица элементлери ушын а_ij=0 iS, jS', S'=N_n\S, N_n=1,2,...,n шәртлер S көплик ажыратылған көплик делинеди.

Анықлама 2. Егер А матрица ушын N_n көпликте оның өзи ҳәм бос көпликтен басқа ажыратылған көплик болмаса онда А матрица жайылмас матрица делинеди.

Анықлама 3. а) Егер терис емес А матрица ушын сондай терис емес Х вектор бар болса ҳәм (Е-А)Х=У>0 болса, онда А матрица эффектив делинеди. б) Егер жайылмас А матрица ушын сондай оң Х вектор бар болып (Е-А)Х=У0 болса, онда жайылмас А матрицасы эффектив делинеди.

14-лекция