Тема: Параболалық типтеги дифференциал моделлерди шешиўдиң аналитикалық усыллары.
Параболалық типтеги дифференциал теңлеме сызықлы болған жағдайда сызықлы болған жағдайда төмендегише болады:
(1)
бул жерде
- базыбир область.
Параболалық жатыўшы ыссықлық өткизгишлик теңлемеси деп аталыўшы (1) теңлемени Фурье усылы менен шешиўге болады. Фурье усылында шешим мына көринисте изленеди.
(2)
(1) теңлеме ушын шегаралық шәртлер биртеклиге алып келинеди деп есапланады, онда
(3)
бул жерде S
-
областтың шегарасы болсын. (2) шешимди
(1) теңлемеге қойсақ еки дифференциал
теңлемеге ийе боламыз
(4)
ҳәм
(5)
бул
жерде
-
өзгериўшилерди ажыратыў турақлысы.
(5)
теңлемениң биртекли шегаралық шәртлерди
қанаатландырыўшы
турақлысына сәйкес келиўши нул емес
шешимлерин табаў мәсеси Штурм –Лиувилл
мәселеси деп аталады ҳәм бул шешимлерди
оператордың меншикли функциялары деп,
ал соған сәйкес келиўши
санларды бул оператордың меншикли
санлары деп аталады.
коэффициент турақлы
болғанда ҳәм
шегаралық шәртлерге сәйкес келиўши функциялар
(6)
мына дифференциал теңлемени қанаатландырады.
(7)
ҳәм
параллелепипеддиң шегара бетлеринде
нольге айланады. Солай етип (6) функциялар
ортогонал тегисликлер менен
қоршалқан параллелепипедте Лаплас
операторының меншикли функциялары
болып есапланады. (6) функциялар системасы
кеңислигинде
ортогонал системаны дүзеди ҳәм ол система ортонормал системаға айланады. Егер
(8)
деп алсақ Бул функциялар системасы кеңислигинде толық системаны дүзеди. (4) теңлемелер системасын шешиў қыйын емес.
(9)
Солай етип (1) теңлемениң улыўма шешими (3) шегаралық шәртлерде төмендегише болады.
(10)
бундағы
коэффициентлер Ак басланғыш
шәрттен анықланады. (t=0 де
)
(11)
бул
жерде
функциясы нормасы
(10) формуладан (11) ди есапқа алып шешеимди жазамыз
(12)
бул
жерде
Енди (1) теңлемеге қарағанда улыўмарақ болған теңлеме ушын шегаралық мәселени қараймыз.
(13)
(13)
мәселениң шешими бар деп уйғарайық.
Оның шешими
ушын
кеңислигиниң
элементи болып, оның қәлеген ортонормалласқан
функциялар системасы бойынша қатарға
жайылады. Соның ишинде
операторының меншикли функциялары
бойынша. Онда скаляр көбеймени
(14)
деп белгилеп алып
шешимди аламыз. Меншикли функциялар анықламасы бойынша
деп белгилеп алып
коэффициентлерин табыў ушын
(15)
теңлемеге ийе боламыз ҳәм оның шешимин табамыз.
(16)
(15) теңлемениң басланғыш шәртин (14) теңликтен табамыз
буннан
болады ҳәм (15) теңлеме шешими
(17 )
аламыз. Солай етип, (13) мәселе шешими
төмендеги қатар түринде анықланады.
(18)