10 Лекция Тема: Тема: Параболалық типтеги дифференциал моделлерди шешиўдиң санлы усыллары.
Жумыстың мақсети. Екинши тәртипли дара туўындылы параболик типтеги әпиўайы теңлеме ушын басланғыш шегаралық мәселени торлар методы менен шешиўди үйрениў ҳәм конкрет мысалды ЭЕМ де шешип нәтийжелер алыў.
Мәселениң қойылыўы. Мына мәселени қараймыз.
Бул теңлеме денедеги жыллылық тарқалыў процессин сүўретлейди.
U(x,t)-температура;
k(x,t)-температура
өткизгишлик
коэффициенти;
f(x,t)-денениң
ишинде
жайласқан
жыллылық
көлемниң
тығызлығы;
-температураның
басланғыш
мәниси.
Егер мәселениң басланғыш мағлуматлары жеткиликли дәрежеде туўындыларға ийе болса, онда мәселе шешимге ийе болады.
Методикалық көрсетпелер. Берилген мәселени торлар методы менен шешиў ушын айырмалы схема дүзейик. Оның ушын интегро-интерполециялық методтан пайдаланамыз. -областында тор енгиземиз.
Мына төртмүйешликте
(5.1) теңлемеси ушын баланс теңлемесин жазайық.
бунда
-жыллылық
ағымы (5) теңлемеге кирген интегралларды
аппроксимациялап
буларды (5.4) теңлемеге скаляр қойсақ, мына айырмалы схемаға ийе боламыз.
бунда
Айырмалы схеманың коэфициентлерин
мына формула жәрдеминде есапласақ
айырмалы схеманың
аппроксимациялаў тәртиби 2 болады. Егер
болса, онда шешим
қатламда
қатламдағы мәнис арқалы табылады.
Соның ушын айырмалы
схема анық схема деп аталады. Анық
схеманың алгоритми жүдә әпиўайы болып
t=0
болғанда
берилип n=0,1,2,…,M-1
мәнислери ушын
лер избе-из (5.8) формуладан табылады.
Егер
болса, айырмалы схема жабық схема деп
аталады ҳәм
ҳәр қатламда екинши тәртипли айырмалық
теңлемелер ушын шегаралық мәселени
аңлатады.
Бул жағдайда (5.9)-(5.11) мәселе прогонка методы менен шешиледи ҳәм прогонка методының орнынлылық шәрти орынланады.
Солай етип, жабық
схемаларды есаплаў алгоритми
-ша болады:
t=0 болғанда
есаплаймыз.n=0,1,…,M-1 болғанда прогонка методы менен шешимин табамыз.
Айырмалы схема (5.5)-(5.7) ниң аппроксимация қәтелиги төмендегише болады.
Буннан,
көп қолланылатуғын схемалардың
аппроксимация қәтеликлерин есаплаў
мүмкин.
болғанда (анық
схема)
болғанда (жабық
схема)
болғанда
(Кропп-Николсон схемасы)
Енди (5.5)-(5.7) айырмалы схеманы орнықлылық шәртлерин келтирейик. Оның ушын схеманы каноникалық түрде жазамыз.
бунда
тордағы функциялар кеңислигинде
болады,
егер
болса. Айырмалы схеманы орнықлылық
шәрти орынланады [Сам].
Демек,
жабық
схема
ҳәм
Кронк-Николсон
схемасы
абсолют
орнықлы
болады,
ал
анық
схема
болғанда
ғана
орнықлы
болады.
Егер
екенин
есапқа
алсақ
орнықлылық
шәрти
-адым
ушын
жүдә
қатаң
шәрт
болып
есапланады.
Соның
ушын
анық
схемалар
практикада
сийтек
қолланылыды.
Аппроксимация ҳәм орнықлылықтан айырмалы схеманың жыйнақлылығы келип шығады [Сам].
бунда
-энергетикалық
норма
11-лекция
Тема: Төрт мүйешли кесимге ийе стерженде ыссылық тарқалыў мәселесин моделлестириў
Төртмүйешли кесимге ийе болған стреженде оның узынлығы бойынша ыссылық берилиўин есапқа алмағанда температура Т(x,y,t) бөлистирилиўи мына теңлеме менен сүўретленеди.
(1)
ҳәм төмендеги шегаралық ҳәм басланғыш шәртлерди қанаатландырады.
(2)
(3)
Алдыңғы лекцияларды көрсетилгендей (1)-(3) мәселе шешимин Фурье усылы жәрдеминде
(4)
қатар көринисинде
излеймиз. Бул жерде
- (3) шегаралық шәртлерди қанаатландырыўшы
ортонормал меншикли функциялар системасы.
лар t
ға байланыслы белгисиз функциялар
болып, оларды анықлаўымыз керек.
Меншикли функциялар ретинде Лаплас
операторының меншикли функциялары
алынады
,
(5)
ҳәм олар ортонормал системаны дүзеди
(4) жайылмадағы
коэффициентлерин табыўымыз керек. (4)
формуладағы қатарды теңлемеге алып
барып қойып оны
функциясына скаляр көбейтиў арқалы
функцияларына байланыслы әпиўайы
дифференциал теңлемени аламыз
(6)
бул жерде
(7)
(6) теңлемениң улыўма шешими
(8)
Басланғыш шәрт
ди (2) шәртти қатарға жайыў жәрдеминде
табамыз
(9)
Солай етип, (1)-(3) мәселениң шешими төмендеги қатар көринисинде табылады
(10)
Егер
функциясы үзликсиз функция болып,
болса, онда (10) қатар
аралығында үзликсиз
функциясына жыйнақлы болады.
12-лекция
Тема: Дифференциал моделлердиң MatLab системасында шешилиўи.
Биз бул параграфта туўрылар усылын қолланып мәселе шешиўди қараймыз. Туўрылар усылы берилген дара туўындылы мәселени әпиўайы дифференциал теңлемелер системасы ушын Коши мәселесине алып келип шешиўге мүмкиншилик береди. Себеби Коши мәселесин шешиўдиң санлы усыллары жақсы раўажланған болып , олар бойынша көплеген стандарт усыллар ислеп шығылған ҳәм әмелий мәселелер шешиўдиң пакетлери дүзилген. Солардың ишинде MatLab системасын да көрсетиўге болады [4,5]. Енди мәселе шешиўге мысал қараймыз.
Параболалық дифференциал теңлеме ушын мына аралас мәселени шешиў керек болсын
Бул аралас
мәселе
узынлыққа ийе жиңишке стержендеги
жыллылықтың тарқалыў процессин
сүўретлейди.Оның дәл шешими бар болып
төмендеги көринисте болады
u(x,t) = x2 /2 +t (4)
Енди дифференциал мәселени шешиў ушын 3 параграфтағыға уқсас туўрылар усылының схемасын дүземиз. Дәслеп аралығында тор киритемиз
(5)
төмендеги туўрылар схемасын аламыз
(6)-(8) мәселе әпиўайы дифференциал теңлемелер системасы болып, оны шешиў ушын MatLab системасының стандарт усылларын қолланамыз. Оның ушын MatLab системасында дифференциал теңлемелер системасын шешиў процедуралары менен қысқаша танысып өтемиз.
MatLab системасында дифференциал теңлемелерди шешиўши процедураларды шешиўшилер деп атайды. Олардан
Ode45 –бул Рунге-Куттаның 4-ши ҳәм 5-ши тәртипли бир адымлы усыллары тийкарында дүзилген процедура болып, Коши мәселесин шешеди;
Ode23 – бул Рунге-Куттаның 2-ши ҳәм 4-ши тәртипли бир адымлы усыллары тийкарында дүзилген процедура болып, Коши мәселесин шешеди;
Ode15s –бул көп адымлы өзгермели тәртипке ийе усыл болып, онда санлы дифференциаллаў формулалары қолланылады ҳәм оның жәрдеминде қатаң системаларды шешиў мүмкин.
Булардан басқа да бирнеше процедуралар бар болып, оларға тоқталып отырмаймыз. Бул процедуралар
(9)
Көринисиндеги системаларды шешиўге мүмкиншилик береди.енди олардың параметрлерин көрсетип өтемиз:
Options – odeset функциясы аргументи болып процедурада керекли параметрлерди анықлаў ушын қолланылады;
Tspan – вектор болып теңлемени интеграллаў интервалын [t0,tfinal] анықлайды;
Y0 – басланғыш мәнислер векторы;
p1,p2 - F функциясына берилетуғын ерикли параметрлерди анықлайды;
T,Y – шешимлер матрицасы Y ҳәм оған сәйкес ўақыт векторы T.
Процедуралардың сүўретлемесин келтиремиз:
[T,Y] = solver(@F,tspan,y0) – бул жерде solver сөзиниң орнына жоқарыда көрсетилген қәлеген процедура қойылады. Бул процедура (9) көринистеги системаларды tspan аралықта ,y0 басланғыш шәртлери менен шешеди.
[T,Y] = solver(@F,tspan,y0,options)- Бул процедура (9) көринистеги системаларды tspan аралықта ,y0 басланғыш шәртлери менен шешеди ҳәм қосымша options аргументи тәрепинен анықланыўшы параметрлерди , яғный теңлеме шешиминиң салыстырмалы ҳәм абсолют қәтеликлерин анықлаўшы параметрлерди өз ишине алады.Егер параметрлер берилмесе онда [ ] белгиси қойылады;
[T,Y] = solver(@F,tspan,y0,options,p1,p2…) - Бул процедура (9) көринистеги системаларды tspan аралықта ,y0 басланғыш шәртлери менен шешеди ҳәм қосымша options аргументи тәрепинен анықланыўшы параметрлерди , яғный теңлеме шешиминиң салыстырмалы ҳәм абсолют қәтеликлерин анықлаўшы параметрлерди өз ишине алады. Егер функцияда параметрлер болса онда ,олар p1,p2 лер арқалы бериледи;
Есаплаўлар жүргизиў режиминде графиклер сызыў командалары менен танысамыз. МATLAB вектор ҳәм матрицалардың графикалық сәўлелениўи сондай-ақ графигин печатқа шығарыў, оған комментарий бериўдиң кең имканиятларын өз ишине қамтыған.
Графиклер жаратыў plоt функциясына кириўши параметрлерге байланыслы ҳәр қандай формаларды қабыл етиўи мүмкин, мысалы plоt (у) у элементлерине байланыслы түрде сызықлы графикти береди.
Егер аргументи сыпатында 2 вектор берилсе Plоt(x,у); х қа байланыслы у функциясы графигин жаратады.
Мысалы: 0 ҳәм 2 аралығында sin функциясы графигин жасаў ушын:
» t=0:pi/100:2*pi; » y=sin(t); » plot(t,y)
|
|
Matlab ҳәр бир графикти айрықша рең берип сызады.
Мысалы:
» t=0:pi/100:2*pi; » y=sin(t); » y2=sin(t-.25); » y3=sin(t-.5); » plot(t,y,t,y2,t,y3) |
|
Қатары бир-бирине жақын болған 3 графикти береди ҳәм олар өз реңлерине ийе.
График көринисин (стилин) яки реңин өзгертиў plot(x,y,’цвет стиль маркер’) көринисинде болады. Цвет стиль маркер бул 1-,2-,3-, символлық қатар ҳәм апостроф ишине алынады.
Реңге байланыслы символ. ‘i’,’m’,’y’,’r’,’g’,’b’,’w’,’k’. Булар сәйкес түрде ҳаўа рең, малиновой, сары, қызыл, жасыл, көк, ақ, қара реңлерди береди.
Cызық типине байланыслы символлар.’-’ тутас сызық, ’--’ үзик сызық, ’.-’ пунктир, ’-.’ штрихлы пунктир, сызықлар сәўлелендиреди.
Көпшилик жағдайда пайдаланылатуғын маркерлер
’-’, ’o’ , ’*’ ,’r’
Мысалы plot(x,y,’y:*’)
Графиклерди көрсетиўши айна. plot функциясы автомат түрде графиклер ушын жаңа айна жаратады. Егер алдын айна ашылған болса Matlab әдетте усы айнадан пайдаланады. Жаңа айна жаратыў ушын figure командасын териң. Айналарды актив ҳалатқа келтириў ушын figure(n) киритиледи. Бул жерде n-айна номери.
Жаратылған графикке иймекликлер қосыў.
hоld командасы жәрдеминде графикти даўам еттириў мүмкин. Егер hоld оn командасын терсеңиз, алдынғы графикти өширместен, егер зәрүр болса, көшерлерин алмастырып мағлыўматларды даўам еттиреди. Мысалы төмендеги келтирилген элементлер реaks функциясы контурлық сызығын жаратады, кейин соған усас реңде усы функцияны даўам еттиреди.
Енди бул процедураларды мысаллар шешиўде көремиз.