Тема: Дифференциал моделлер. Биринши ҳәм екинши тәртипли дифференциал моделлерди шешиў усыллары.
Ҳәрқандай ҳәрекеттеги денелердиң математикалық моделлери дифференциал теңлемелер менен сүўретленеди. Улыўма жағдайда екинши тәртипли дифференциал теңллемелерди төмендеги көринисте жазыўға болады.
(1)
буны биз квазисызықлы екинши тәртипли әпиўайы дифференциал теңлеме деп атаймыз. Оның улыўма шешими
(2)
көринисте табылады.
Улыўма шешим
ҳәм
турақлыларына байланыслы болғаны ушын
шешимлер семьясын дүзеди. Олардың ишинен
жалғыз шешимди анықлаў ушын қосымша
шәртлер керек болады. Ол шәртлер басланғыш
ҳәм шегаралық шәртлер болып бөлинеди.
Басланғыш шәртлер бир точкада бериледи.
(3)
ол шегаралық шәртлер интервалдың шетки точкаларында бериледи ҳәм 3 түрге бөлинеди
1-түр шегаралық
шәртлер (4)
2-түр шегаралық
шәртлер (5)
3-түр шегаралық
шәртлер (6)
ҳәм (3) биргеликте Коши мәселесин дүзеди, (1) менен (4) ямаса (5), (6) шегаралық мәселелерди дүзеди. Енди (1) теңлемениң сызықлы жағдайын қараймыз.
(7) ҳәм (8) екинши тәртипли сызықлы әпиўайы дифференциал теңлеме ушын қойылған шегаралық мәселени береди. Ондағы коэффициентлер
шәртлерди қанаатландырғанда (7), (8) мәселе жалғыз шешимге ийе болады. Дифференциал мәселе (7), (8) өзгермели коэффициентли болғаны ушын оны шекли айырмалы схема дүзип шешемиз
бул жерде
Егер (4) ҳәм (5) шегаралық шәртлер берилген болса, онда олардың шекли айырмалар менен аппроксимациясын келтирейик
(11)
(12)
Бул
шегаралық шәртлердиң аппроксимация
қәтеликлери O(h) болады, ал (9) теңлемениң
аппроксимация қәтелиги
екени белгили, демек (9), (11) ҳәм (9), (12)
айырмалы схемалардың аппроксимация
қәтеликлери O(h) болады. Айырмалы схеманың
аппроксимация қәтелигин
жеткериў ушын (11), (12) шегаралық шәртлердиң
аппроксимация қәтелигин
қа көтериў мүмкин.
Енди (7) теңлеме ушын Kоши мәселесин
(13)
(14)
шешиўди
қараймыз.
Оның
ушын
бул
мәселени
белгилеў
киритиў
арқалы
биринши
тәртипли
теңлемелер
системасына
алып
келемиз.
(15)
Бул теңлемелер системасын стандарт усыллардың Эйлер ҳәм Рунге-Кутта усылларын қолланып шешиў мүмкин. Мәселен, (15) мәселе ушын Эйлер усылының формуласы төмендегише болады.
(16)
5-лекция
Тема: Материал бөлекшениң ҳәрекет нызамын анықлаў мәселесин моделлестириў.
Әмелий мәселе.
-сыртқы
күш, қарсылық күши ҳәм қайта тиклеўши
күшлер жәрдеминде ҳәрекетлениўши m
массаға ийе материал бөлекшениң ҳәрекет
нызамын моделлестириң.
Материал бөлекшениң ҳәрекет схемасы 1 сүўретте көрсетилген.
f1
O
f
F
x
x
xx
1 сүўрет
Демек материал
бөлекшеге
қайта тиклеўши күш ҳәм
қарсылық күши тәсир етеди. Бул күшлердиң
ҳәрекетине тең келиўши күшлерди былай
анықлаймыз.
Механикада динамиканың екинши нызамы бойынша
болғанлықтан төмендеги дифференциал теңлемени аламыз
ямаса
бул жерде
-қарсылық
коэффициенти болса
-
тиклеў коэффициенти деп аталады. Бул
дифференциал теңлемени
болған жағдай ушын шешемиз. Мейли
,
онда
(3) дифференциал теңлемениң харектеристикалық теңлемеси
усы коренлерге ийе болады, яғный
бул жағдайда бир текли (3) дифференциал теңлемениң улыўма шешимин төмендеги көринисте жазамыз.
ямаса
бул жерде
деп жәрдемши
мүйешти киритсек
аламыз ҳәм
деп шешимди мына көриниске әкелемиз
Енди (3) теңлемениң
дара шешимин
жәрдемши функция көринисинде излеймиз.
Буларды (3) теңлемеге апарып қойыпмына аңлатпаға ийе боламыз
Буннан
системасын аламыз ҳәм оның шешимини
Солай етип (3) дифференциал теңлемениң шешимини
Егер
ҳәм
белгилеўлер киритиў арқалы (7) ден төмендегини аламыз
Демек ҳәрекет тербелиўши болып, ол еки бөлектен турады: материал бөлекшениң меншикли тербелиси -
ҳәм
мәжбүрий тербелис.
Шешимниң биринши
бөлеги
улыўма тербелике
ның киши мәнислеринде тәсир етеди, егер
да оның 0 умтылатуғынын көремиз. Демек
ның үлкен мәнислери ушын улыўма тербелис
нызамы мәжбүрий тербелис пенен анықланады.
6-лекция
Тема: Электр контурындағы токтың тербелиси мәселесин моделлестириў.
Мына әмелий мәселени қараймыз.
Мәселе: Туйық электр дизбеги көринисинде берилген токтың тербелис контуры С- сыйымлылыққа, L – индуктивликке, ҳәм R- актив қарсылыққа ийе. Конденсатордың электр майданы энергиясының катушканың магнит майданы энергиясына өтиўинде энергияның бир бөлеги актив қарсылыққа жумсалады ҳәм соның нәтийжесинде конденсатордың кернеўи шамасы бирқәлипте азайады. Конденсатор заряды q дың ҳәм оның кернеўи u дың, ток күши i диң өзгериў нызамын моделлестириң.
Контурдағы токты анықлаймыз.
бул
жерде
- конденсаторың
кернеўи
шамасы.,
- индуктивлик
катушкасының
кернеўи
шамасы,
элементар түрлендириўлер орынлаў арқалы дизбектиң дифференциал теңлемесин аламыз
(2)
Контурдағы ток
кондексатор заряды арқалы аңлатылады
ҳәм
Демек дизбек теңлемеси
ямаса
(3)
Бул (3) теңлемеси
теңлигин қойыў арқалы конденсатордың
кернеўи шамасының өзгериў нызамы ушын
Дифференциал теңлемеге ийе боламыз
(4)
(3) теңлемени t бойынша дифференциалласақ
онда ток күши i ушын теңлемесин аламыз
(5)
(3) теңлемениң
шешимин табайық, қалған (4), (5) теңлемелер
соған уқсас болғаны ушын олардың
шешимлери де табылады. Теңлеме шешимин
көринисинде излеймиз, онда
буларды (3) ке қойсаң
(6)
оның шешими
Қысқалық ушын белгилеўлер киритейик
Онда
ямаса
(7)
Демек конденсатор заряды теңлеме шешими мына формула менен анықланады
(8)
(8) ден Эйлер формуласын қолланып
мына формулаға ийе боламыз.
N ҳәм M ниң мәнислерин басланғыш мәнислерден табамыз.
t=0 болғанда q=Qmax (10)
t=0 болғанда i=0
Солай етип, биринши шәрттен
(11)
(12)
Енди (10) дағы екинши шәрттен
егер t=0
болса
демек
N – мәнисин (11) ҳәм (12) теңлемелерге қойып
(13)
(14)
шешимлерди аламыз. Бул жерде
токтың максимал мәнисин аңлатады. Солай етип
Енди
формула ҳәм (13) тен конденсатор кернеўи
шамасын табамыз.
(15)
(13),(14) ҳәм (15) шешимлер сөниўши тербелислерди аңлатады.
(13) шешимди тапқанда биз мына басланғыш шәртлерден пайдаландық
(16)
7-лекция
Тема: Гармоникалық осцилятор ҳәрекетин моделлестириў.
Маяатниклер, поршонлар, тардың, стержен пластик, двигетел, фук тербелислери мәселе қойылыўы. Горезантал тегисликте жатқан дене қозғалмайтуғын дийўалғә пружина менен бекитилген. Денениң тербелис ҳәрекетин изертлең. Дене массасы ҳәм пружина қаттылығы белгили.
Мәселениң концептуаль қойылыўы. Төмендеги уйғарыўларды қабыл етемиз.
-
1
-суўрет.
Изерилеў объекти ретинде m массаға ийе, алға илгерлеўши дене есапланады.
Денениң ҳәрекети Ньютонның 2 нызамына бағынады.
Дене үш күштиң тәсири астынд болады mg – аўырлық күши, тегислик тәсири күши N ҳәм пружинаның серпимлик күши Fe тегислик бети сыйпақ болғаны ушын үйкелис күши анық деп есаплаймыз.
Дене туўры сызықлы тербелиўши ҳәрекетте болды, себеби аўырлық күши mg менен тегислик тәсири N тең күшли болады.
Тең салмақлық жағдайында масса орайы (
)
точкада жайласады.
Прўжинаниң клим? Созылыўында ондағы серпимлик күши шамасын Гуктың нызамы менен анықлаўға болады.
-
пружинаның созылыўы, С – пружина
қаттылығы шамасы күш теңсалмақлық
аҳўалы тәрепине бағдарланған.
Базы бир моментте пружинаны X0 шамаға созып денеге V0 тезлик береди деп есаплап денениң координатасы ҳәм тезлигин анықлаў керек.
Мәселениң математикалық қойылыўы
Биз бул мәселе ушын коши мәселесин аламыз
(1)
X(0)=x0, V(0)=V0 (2)
Мәселениң шешимин табыў керек.
Төмендеги белгилерди киритемиз
Онда xp=0 қабыл етип (1) дифференциял теңлеме төмендеги көринисте жазамыз.
(3)
Бул
жерде
- теңсалмақлық әтирапында денениң еркин
тербелиў жийлиги квадраты.
Еркин
тербелиў периоды
цикллик жийлик арқалы анықланады.
(3)теңлеме материал точканың еркин тербелисидифференциял теңлемеси деп аталады.
Материал точка гармониалық тербелис жасайды.
Теңлеме шешимин
(4)
көринисте
излеймиз,
амплитудасы,
- тербелис басланғыш фазсы олар басланғыш
шәртлерден анықланады.
буннан
ны
табамыз
,
(5)
Берилген мәселени санлы усыл менен шешиўгеде болады, егер шекли айырмалаў усылын қоллансақ
(6)
шекли айырмадағы теңлемелер системасын аламыз.
Нәтийжелердиң анализи
Есаплаў
жүргизиўде m=1кг,
с=2500м/м,
деп алып
,
T=0,04
,
,
2-суўрет
деп алғанда мәселени
санлы шешиў мүмкиншилик болады ҳәм оның
нәтийжеси
3-суўрет
Бул
жерде денениң аҳўалы менен оныңтезлиги
арасындағы байланысты изертлеўде бизди
қызықтырады. Яғный оның фазалық
траекториясын анықлаймыз.
буннан
эллипс теңлемесин аламыз.
4-суўрет
8-лекция