Синтез_мех_систем

довольно быстро и уже для 1го критерия. Поэтому, в общем-то, этот метод бесперспективен.

Для того чтобы иметь некоторую свободу, т. е. иметь какое-то подмноже-

ство управлений, а не одну точку в пространстве управления, необходимо сделать определенную уступку и не требовать минимизации критерия. Это значит, что нужно ограничится компромиссным решением, которое допус-

*

тимо отличается от оптимального u1 . Эта идея положена в основу следующе-

го метода.

2.2.2 Метод последовательных уступок

По каждому из n-1 первых критериев (исключая последний) назначаются допустимые уступки 1 , 2 ,... n 1 , которые определяют величину допустимого

(с точки зрения задачи) уклонения каждого критерия от оптимального. Здесь также величина уступок определяется экспертным образом.

Очевидно, что каждая уступка определяет некоторое множество S1 ,...Sn 1 ,

удовлетворяющих неравенству:

На рисунке 2.4 показаны множества S1 , S2 для случая n 2

S1 1

J 2

S2

Рис. 2.4. Множества S1, S2

21

Если подмножества управлений Ui найдены для всех n-1 первых критери-

ев, то остается найти экстремум nго критерия в области пересечения подмно-

жеств управления:

При n=2 имеем решение двухкритериальной задачи (точка А на рис.2.4).

При n>2 множество Un может оказаться пустым (этот случай показан на ри-

сунке). В этом случае выбирают новые уступки и повторяют действия. Ус-

тупки нужно делать с конца, т. е. для менее важных критериев.

Здесь также могут возникнуть трудности в назначении i и построение областей пересечения множества управлений.

2.2.3 Синтез глобального критерия

Идея этого метода проста: необходимо построить глобальный скалярный критерий качества вида:

Здесь ci – некоторые весовые постоянные коэффициенты учитывающие

«долю» существенности каждого критерия в глобальном.

Основной трудностью метода является определение весовых коэффици-

ентов. Эта операция формально не определяется и, таким образом, связана с внесением в задачу субъективного и не всегда обоснованного произвола.

2.2.4 Выделение главного критерия

Задача ставится как задача экстремизации по одному главному критерию

сучетом ограничения по остальным. Такая постановка во многих случаях более предпочтительна, чем предыдущие. Недостатком является то, что не всегда удается отдать предпочтение какому-либо одному критерию и задачи

сограничениями типа неравенств являются трудно подчиняющимися при численном решении. Кроме того, процедура выделения главного критерия из заданной совокупности аналогична процедуре ранжирования.

22

3. Основная задача управления

Здесь рассматривается постановка задачи проектирования и способы ее решения, которые во многих случаях практики оказываются более предпоч-

тительными по сравнению с приведенными ранее.

3.1 Формулировка основной задачи управления

При проектировании (синтезе) механической системы, особенно на ран-

ней стадии перед проектировщиком обычно ставится следующая задача.

Задается ряд характеристик системы или критериев Ji i=1…n, например время переходного процесса, перегрузки в различных сечениях аппарата, пе-

ререгулирование, точность и т. д. Все эти критерии имеют вполне конкрет-

ный физический смысл и каждый из них характеризует одну важную сторону

системы, а система в целом описывается всей их совокупностью.

В технических условиях проекта указывается допустимая область изме-

нения каждого критерия, т. е. задаются, например, неравенства вида:

которым должны удовлетворять система. Если они выполняются, то сис-

тема приемлема, если же нарушается хотя бы одно неравенство, система счи-

тается неудовлетворительной. Здесь и рассматривается синтез управления с точки зрения удовлетворения техническим требованиям, задаваемым в виде ограничений типа неравенств на критерии системы. Такую задачу, в общем-

то, и требуется решить проектировщику.

В дальнейшем для конкретизации будем рассматривать систему (про-

цесс), которую назовем динамической, т. е. математическим описанием еѐ функционирования являются, например, обыкновенные дифференциальные

уравнения, записанные в нормальной форме Коши:

23

область управлений, которые удовлетворяют основным требованиям к сис-

теме. Всегда существует область допусков, область нечувствительности зна-

чений параметров системы, с точки зрения требований предъявляемых к ней.

Задача в такой постановке дает такую область решений, которая удовлетво-

ряет заданным требованиям. Проектировщик, имея свободу выбора, пред-

ставленной основной задачей управления, может практически распорядиться ею, сообразуясь с дополнительными требованиями. Например, имея свободу выбора параметров, т. е. не единственность решения основной задачи управ-

ления, можно построить различные экстремальные управления, их располо-

жение в области решения задачи. Если проектировщика будут интересовать такие предельные или крайние случаи, как достижение экстремума некоторо-

го критерия, то методы решения основной задачи управления позволяют проанализировать эти случаи.

3.2 Типы основной задачи управления

Рассмотрим несколько примеров задач типа основной задачи управления,

которые можно сформулировать для динамического процесса (3.2.2).

3.2.1Задача попадания траектории процесса в заданную область.

Вэтом случае критериями будут значения фазовых координат в конце

процесса, т. е. J i xi (T ) ,

xi

Ai ai

Рис. 3.1. Ограничение на траекторию Условия попадания траектории в заданную область можно записать в ви-

де: ai xi (t) Ai , i 1,...n

25

3.2.2 Задача прохождения траектории процесса в фиксированные моменты времени t1, tк,…,Tк через заданные области

Критериями процесса в этом случае будут значения фазовых координат в указанные моменты времени, т. е. Ji j xi (ti ), i 1...n, j 1...k ,

xi

xio

Рис. 3.2. Ограничение на траекторию

Условия прохождения траектории через "дискретную" трубку можно

представить в форме: ai j Ji j Ai j

3.2.3 Задача прохождения траектории процесса через «трубку»

Условия, которые необходимо выполнить в этой задаче запишутся в виде:

ai Ji t Ai (t), i 1,...n .

xi Ai(t)

T t

Рис. 3.3 Ограничение на траекторию

Здесь индекс i меняется дискретно, а индекс t (время) непрерывно. Если выполнение последнего условия в каждый момент времени заменить выпол-

нением его в дискретные моменты времени, то получим конечное число кри-

териев (случай 3.2.2). В дальнейшем, для простоты, а вместе с этим не теряя

26

общности подхода, будем рассматривать случай конечного числа критериев и неравенств.

Для геометрической интерпретации задачи допустим, что вектор управ-

ляющих переменных u и векторный критерий J имеют по две компоненты u1, u2 и J1, J2. Управление принимает свое значение из выпуклой области U и

критерий J из прямоугольной области А, рис. 3.4. Задавшись возможными u U и используя уравнения процесса, на плоскости (J1, J2) получим некото-

рую область В (т. е. область U при отображении переходит в область В). Пе-

ресечение областей А и В представляет область выполнения ограничений на критерии J при допустимых уравнениям u U. При заданной области управ-

лений U реализуется только область значений критериев Au=A B. Отыски-

вая область UA, которая согласно уравнениям и критериям системы отобра-

жается в область Au=A B, получим все возможные решения основной задачи управления. Решение основной задачи управления сводится к построению области UA. Только при управлениях u UА выполняются неравенства на кри-

терии, т. е. система находится в области Au=A B.

Рис. 3.4. Геометрическая картина задачи

3.3 Эквивалентные преобразования задачи и условия существования

решения

Вместо функционалов Ji u введем безразмерные по формулам:

27

и выполняются неравенства (3.3.3).

Аналогично из (3.3.6) следуют неравенства (3.3.3) и (3.3.5). Таким обра-

зом, неравенства (3.3.3), (3.3.5), (3.3.6) эквивалентны. Равенство (3.3.2) мож-

но записать в виде:

Это равенство определяет расположение функционалов на числовой оси,

а именно: при одинаковом управлении функционалы расположены на число-

вой оси симметрично относительно точки 0.5, рис. 3.5.

i i

-0,5 0,5 1,5

Рис. 3.5. Расхождение функционалов по числовой оси

Если, например, при каком-либо управлении окажется, что i =3, то должно быть i =-2, или если i =0,7, то i =0,3.

28

Отсюда видно, что в каждой паре функционалов при одинаковом управ-

лении всегда один больше другого, кроме единственного случая, когда i = i =0,5. Ясно, что в этом случае фазовая траектория проходит как раз че-

рез середину между верхним и нижним ограничением.

В дальнейшем вместо (3.3.3) будем пользоваться неравенствами (3.3.6).

Но предварительно введем обозначения:

Тогда неравенства (3.3.6) запишутся в виде:

Суть этих преобразований в том, что двухсторонние неравенства (3.3.3)

заменены односторонними, функционалы безразмерными и предел измене-

ния одинаков и равен единице.

Основная задача управления запишется теперь в виде:

Среди допустимых уравнений и соответствующих им траекторий процес-

са найти те из них, при которых удовлетворяются заданные ограничения на

критерий.

Решение этой задачи, если оно существует, обычно не единственное. За-

дача может и не иметь решения. При этом ограничения, наложенные на кри-

терии и управление противоречивы.

Далее рассмотрим условия существования решения ОЗУ.

Для иллюстрации условия существования решения ОЗУ и метода ее ре-

шения рассмотрим частный случай задачи, когда система характеризуется

1[u], 2 [u] и область изменения u представлены на рис. 3.6.

29