Синтез_мех_систем

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

скими. Убедимся также в том, что при переходе к базису e '

из собственных

векторов, матрица преобразования C* в исходном базисе e 0

преобразовыва-

ется в диагональную матрицу C**, т.е. C**

Г T C* Г , C**

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

2.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

собственного вектора совпадает с (5.4.14). Значит, общее решение уравнений малых движений в исходной постановке является линейной комбинацией простых гармонических движений с частотами главных колебаний. Ясно также, что малые движения в исходных координатах не являются периодиче-

Г – ортогональная матрица, столбцами которой являются столбцы нормиро-

ванных собственных векторов матрицы C*. Действительно, умножим C* на

Г:

c*	c*	...	c*	Г	11	Г	12	...	Г	1n		Г	11		Г	12			Г	1n
11	12		1n		11		12			1n			11			12				1n
c*	c*	...	c*	Г	21	Г	22	...	Г	2 n		Г	21		Г	22			Г	2 n
21	22		2 n		21		22			2 n	1		21	2		22	....	n		2 n
... ... ... ...				... ... ... ...							1	..		2	..			n	..
c*	c*	...	c*	Г	n1	Г	n 2	...	Г	nn		Г	n1		Г	n 2			Г	nn
n1	n 2		1nn		n1		n 2			nn			n1			n 2				nn

Теперь умножим эту матрицу слева на ГТ и учитывая ортогональность

собственных векторов получим:

Г11	Г21	...	Гn1		Г11		Г12			Г1n	1	0 ...	0
Г12	Г22	...	Гn2	1	Г21	2	Г22	....	n	Г2n	0	2 ... ...
... ... ... ...				1	..	2	..		n	..	...	... ...	0
Г1n	Г2n	...	Гnn		Гn1		Гn 2			Гnn	0	... 0	n

что и требовалось показать.

5.5 Решение задачи о встрече двух космических аппаратов

Эта задача обратная задаче отделения и расхождения КА и, как всякая об-

ратная задача, сложнее прямой. Она сводится к вариационной проблеме.

Прежде чем перейти к ее решению, рассмотрим некоторые аналогии решения задач на экстремум при конечных и дифференциальных связях.

Если в задаче на экстремум системы с конечным числом степеней сво-

боды переменные независимы, то имеем задачу на безусловный экстремум.

Например, при отыскании максимума функции 2х переменных

121

z f (x, y) ,		(5.5.1)
необходимые условия имеют вид.
fx	0	(5.5.2)
f y	0

Если переменные, зависимы между собой, например следующего вида,
F(x, y)=h, h=const,		(5.5.3)
то имеем задачу на условный экстремум.
Эти задачи разные.		Здесь уже значения f должны рассматриваться и

сравниваться между собой только для тех точек плоскости аргументов, кото-

рые лежат на линии с уравнением (5.5.3).

Геометрическая картина задачи представлена на рис.5.24.

	F=h
	z=c
y		A
	K	A
	K
	C
		B
		x

Рисунок 5.24 – Геометрическая картина задачи В т. К имеем абсолютный безусловный максимум, в т. А–условный мак-

симум, а в т. В условный минимум. В т. С имеем еще один локальный мак-

симум.

Итак, безусловный максимум – это как–бы вершина горы, а условный максимум – это самая высшая точка заданной горной тропы (проекция этой тропы на плоскость (x, y) имеет уравнение (5.5.3)).

Если из уравнения связи (5.5.3) можно выразить y через х, то этот ре-

зультат можно подставить в выражение (5.5.1) и получить таким образом Z

как функцию только одного независимого переменного. Так, как условий

122

больше нет, то задача на экстремум становиться безусловной задачей одного переменного. Однако такое решение не всегда возможно и целесообразно.

Тогда можно рассуждать следующим образом. Уравнение связи (5.5.3)

определяет принципиально некоторую зависимость y=y(x), хотя нам явно и неизвестную. Таким образом Z является сложной функцией независимого переменного х,

Z f x, y(x)

(5.5.4)

и необходимые условия экстремума надо искать в форме производной

сложной функции
	dZ	fx	f y	dy	0.	(5.5.5)
	dx			dx

Здесь dy определяет производную неявной функции y=y(x), определяемой из dx

(5.5.3), т.е.

F	F	dy	0,	dy	Fx	. (5.5.6)
F	F		0,			. (5.5.6)
x	y dx			dx	F
					y

Подставляя (5.5.6) в (5.5.5) получим

fx	f y	,	const (5.5.7)
Fx	F y

Здесь – множитель Лагранжа (знак "–" взят для удобства). Из (5.5.7)

имеем

fx		Fx	0	,	(5.5.8)
f		F	0	,	(5.5.8)
	y	y
или вводя обозначение
f * f			F,		(5.5.9)

получаем условие экстремума в такой же форме, как и для безусловного экс-

тремума (5.5.2), но только для новой функции f * . Дополняя (5.5.8) уравнени-

ем связи (5.5.3) получим систему 3х уравнений с тремя неизвестными – точ-

ками экстремума xo, yo и .

123

Точно такой–же подход используется и при решении задач на экстре-

мум при наличии дифференциальных связей.

Только здесь множитель Лагранжа превращается в вектор–функцию

Лагранжа

(t).

Размерность этого вектора равна числу дифференциаль-

ных связей.

Если, например, отыскивается экстремум интегрального функционала

t)dt, где

z1, z2 ,..., z n

–

вектор–функция фазовых

координат

fo (z ,

процесса (системы) при дифференциальных связях

(5.5.10)

f (z, u , t)

где:

(

) – управляющий вектор–функция, тогда имеем задачу на ус-

ловный экстремум функционала J*

(5.5.11)

f0 (z, t)

f (t, z, u )

dt.

0 z

Это запись задачи на экстремум в форме Лагранжа.

Если интеграл для J берется, или функционал определен скалярной функ-

цией J

G(z), то задача на экстремум записывается в форме Майера

J *

)

H (t,

(5.5.12)

Здесь

f (t,

) – гамильтониан задачи оптимизации,

(t) –

вектор–функция сопряженных координат, определяемая из ур–я

, i,

f – символическая запись граничных условий.

Необходимые условия минимума функционала в форме Майера имеют вид

2 H

(5.5.13)

, u U

arg

max H (t,

z ,

u )

u U r

124

т.е. оптимальное управление uo(t) доставляет максимум ф–ии Н. Первое условие "слабого" минимума, соответствующего ограниченной области

управления.

Условия (5.5.13) дополняются условиями трансверсальности

SG HSt	z	f	0,	(5.5.14)

		i

ограничивающие вариации кривых сравнения на концах оптимальной траек-

тории системы.

Геометрическая картина задачи Майера имеет следующий вид, рисунок

5.25.

Рисунок 5.25 – Геометрическая картина задачи Майера

Теперь можно перейти непосредственно к задаче о встрече (т.е. задаче стыковки 2х КА на "дальнем" участке их относительного движения). Если

первый КА совершает орбитальный полет с заданным наклонением орбиты,

то второй КА запускается на такую–же орбиту с тем–же наклонением. Для этого время запуска точно рассчитывается. Ошибка в наклонениях обычно

составляет	2 3угловых минут, ошибка по скорости и высоте соответ-
ственно V	2 10 м / с, H 10 км. Т.е. орбиты почти совпадают. Следова-

тельно, для описания относительного движения можно использовать те–же уравнения, что и при отделении КА.

125

Будем считать, что первый КА застабилизирован в пространстве, а второй оснащен необходимыми вычислительными и измерительными приборами, безинерционными рулями, тормозной двигательной установкой с регулируемой тягой. Ось двигателя совпадает с продольной осью симметрии КА.

Массовый расход топлива двигателя ограничен неравенством 0	(t)		, а
тяга двигателя T C , C const .
Поскольку плоскости орбит КА практически совпадают (	2	3 '),

управление отклонением вектора тяги в плоскости (x,y) можно производить независимо от движения вдоль оси OZ, рисунке 5.26.

yКА	y
	y
		xКА	Tx
			Tx
			Ty
	T		Tz
	0	x
		x

T cos	cos	,
T sin	cos	,
T sin	,
0, cos	1,sin		.

zКА

Рисунок 5.26 Система координат

OXYZ – подвижная с.к., связанная с КА №1, ось ОХ совпадает с вектором орбитальной скорости.

Обозначим управляющие переменные процесса стандартными символами u1 (t), u2 (t), u3 (t).

Тогда уравнения движения КА в с.к. OXYZ будут иметь вид

126

cu2Cos u1

Vy 3

2 y

cu2 Sinu1

(5.5.15)

u2 , 0

cu2

Последнее уравнение пока рассматривать не будем и будем полагать,

что после выбранного управления u1, u2, управление u3 можно найти потом,

как управление удерживающее КА в плоскости (x, y).

Пусть задано начальное и конечное состояние системы (5.5.15) в сле-

дующем виде

i	t0 0, x0 ,V x0 , Y0 , Vy0 , m0 ,			0, m .(5.5.16)
f	T , x(T ) 0, V (T )	0, y(T ), V	(T )	0, m .(5.5.16)
	x	y		T

Здесь Т – не фиксировано, mТ – не фиксировано.

Для симметрии обозначим фазовый вектор

Z x, Vx , y, Vy , m T , и сформулируем оптимизационную задачу: пере-

вести систему (5.5.15) из начального состояния "i" в конечное "f" при мини-

								T
мальном расходе топлива. Или найти минимум функционала J								u2 (t)dt
								0
при связях (5.5.15) и (5.5.16).
	Поскольку из		последнего		уравнения системы		(5.5.15)	следует
	T
mT	m0	u2 (t)dt,		имеем	функционал	в	форме	Майера
	0
t
( u2 (t)dt G(t) m(t))
0
J	G m0	mT	(5.5.17)
или
		T
S	G	z		H(z, u, t) dt (5.5.18)
S	G	z		H(z, u, t) dt (5.5.18)
		0

127

Составим функцию Н и найдем дифференциальные уравнения для сопря-

женного вектора

H						V					(2		V							cu2Cos u1				)
H						V		x		2	(2		V			y								)
						1		x		2						y					m
																					m
				(3				2 y		2 V									cu2 Sinu1			)					u
		4		(3				2 y		2 V			x									)				5	u	2
		4											x							m						5		2
																				m
Vx ( 1									2			4 ) Vy (2									2		3 )
			c		(				Cos u								Sin u )						u			;
					(		2		Cos u						4		Sin u )				5		u		2	;
			m				2				1				4			1			5				2
			m
										K(u			)


											1
												K(u		2	)
H Vx ( 1										2			4 ) Vy (2								2					3 )
	1								H		0,								c1
													1
									x				1
									x
	2								H		2
															4			1
									Vx						4			1
									Vx
									H		3			2
														2
		3							y									4
		3																4

	4								H		(							2			2 )
														3
									Vy					3
									Vy
	5								H			cK(u )						u2
														1
									m			m2
									m			m2

3Vy

4	3 2 y

y3	4 K	(u )u2 ,	(5.5.19)
	2
		2

(5.5.20)

	Условие "слабого" минимума функционала														G (область управления
u1=u1(t) открытая) будет иметь вид
	H		0,	2 H	0, или
	u		0,	u 2	0, или											(5.5.21)
	u			u 2
1				1
1				1
	cu2	(		Cos u			Sinu )		0.
		(	4	Cos u		2	Sinu )		0.
	m		4	1		2		1
	m
	Поскольку c, u2, m							0,	имеем tg u			4		.
	Поскольку c, u2, m							0,	имеем tg u					.
										1
											2
	Отсюда Cos u1							1		2			; Sinu1			4
	Отсюда Cos u1												; Sinu1


							1	tg 2u		2	2				2	2
									1	2	4				2	4

Второе уравнение дает

128

	2 H	0,	2 H			cu		2	(		Cos u		Sinu )	cu	2	K
	u2	0,	u2				m		(		Cos u		Sinu )	m		K
	u2		u2				m			2	1	4	1	m			(u1 )
1		1
	Неравенство будет выполняться при условии

	K(u )	2		2	, так как c, u2 , m								0.				(5.5.22)
	K(u )	2		4	, так как c, u2 , m								0.				(5.5.22)
1
										2 H
	В связи с тем, что										0, задача регулярная и особых решений не име-
										u 2
ет.											1
ет.

Итак, имеем оптимальное управление u1, выраженное через сопряжен-

ные переменные:

Sinu1	4	, Cos u1	2	(5.5.23)

	K(u )		K(u )

	1		1

Оптимальное управление расходом топлива определяется уравнения-

ми:

т.е. знаком функции переключения.

Третий режим: u2 любое в интервале 0 u2 соответствует особо-

му решению, т.к. в этом случае функция Н не зависит от u2.

В начале выясним, существует–ли особое решение. Если бы оно суще-

ствовало, то ему бы соответствовал интервал времени t* [t1, t2] на котором имели бы место согласно (5.5.19) и условиям трансверсальности (Н=0) два первых интеграла

H V		(	1	2	4	) V	(2	2	3	) 3 2 y	4	0
	x		1		4	y		2	3		4	(5.5.25)
	c
P			2		2		0
			2		2
			2		4	5
	m

Покажем, что таких интегралов в действительности нет. Для этого ис-

пользуем теорему Пуассона и получим еще три первых интеграла. В общем случае для линейных стационарных систем из теоремы Пуассона следует, что если P( , z ) 0 и H ( , z) 0 являются первыми интегралами, то существу-

ет третий первый интеграл, определяемый тождеством Пуассона (Р, Н) 0,

или

129

P H P H

(

) 0

zi i

i zi

Для нашего случая (i=1, 2, … 5, z1=x, z2=Vx, z3=y, z4=Vy, z5=m) будем

иметь

(P, H )								c			2		( 1 2 4 )	c		4	(2 2	3 ) 0, или по-
(P, H )													( 1 2 4 )				(2 2	3 ) 0, или по-

								m						m
								m		2			2	m	2		2
										2			2		2		2
										2			4		2		4
скольку c, m,
скольку c, m,									idem		0
Q(		,				)							0	(5.5.26)
Q(		,		z		)	1			2	3	4	0	(5.5.26)
							1			2	3	4
Еще два первых интеграла получим аналогично
R(	,				)		(Q, H )				0	или
R(	,		z		)		(Q, H )				0	или

R(	,						)			2	2	3	2	2	2 (					) 0, (5.5.27)
R(	,			z			)			2	2	3	2	2	2 (	2	3	1	4	) 0, (5.5.27)
										1	3			4		2	3	1	4
или
N (			,						)	(R, H )		0 или
N (			,			z			)	(R, H )		0 или
N (		,						)		2 3		3			0			(5.5.28)
N (		,			z			)		2 3	4	3	2	4	0			(5.5.28)

	Из (5.5.26 – 5.5.28) выразим все сопряженные переменные	2, 3,	4 через
1	и подставим в первое уравнение из (5.5.25). Получим что [H(		, Vx, Vy,
y)]	1=0. Поскольку в общем случае H( , Vx, Vy, y) 0, то	2=0, а это зна-

чит, что и 2= 3= 4= 5=0.	А это означает, что на интервале t* не существует
не нулевого непрерывного
	вектора , который удовлетворял бы необходи-

мым условиям экстремума функционала. Следовательно, задача не имеет особого решения.

Теперь покажем, что закон переключения допускает не более 3х точек

переключения. С этой целью исследуем поведение функции переключения

K		c	(		Cos u		Sinu )
	u2			2		1		5
		m			1		1

Продифференцируем по времени Ku2.

Будем иметь

d c Ku2 dt m

		cm			c 2 2			4	5
2	2	cm		Ku	c 2 2		4	4		,
2	4 5		2
2	4 5	m			m	2		2
		m		1	m
				1
	Ku					2		4
	Ku
	1									130
										130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.11.2019557.57 Кб13СИЗ.doc
#
29.03.20164.47 Mб129СИКПП-154.doc
#
29.03.20161.9 Mб57Силы_резания_NX_брошюра.pdf
#
11.11.2018843.26 Кб18Симановский Введение в информатику.doc
#
07.06.20152.2 Mб102СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ_2011.doc
#
16.03.20152.5 Mб43Синтез_мех_систем.pdf
#
16.03.2015162.3 Кб7СисПро ЛР1.doc
#
09.09.2019141.31 Кб1Система ипотечного кредитования.doc
#
16.03.20152.6 Mб216Система управления.doc
#
14.04.2019683.01 Кб14Системы искусственного интеллекта (старые лекци....doc
#
26.11.20196.64 Mб32Системы Ту-154В.DOC