Синтез_мех_систем

труда. Можно также и обеспечить заданное ограничение на время поворота,

которое, обычно, не является жестким.

Однако, учитывая, что антенна после приведения ее в рабочее положение должна выполнять свою задачу – быть работоспособной то она не должна быть подвержена большим ударным нагрузкам, действующим на неѐ при фиксации штанги в рабочем положении. Чтобы оценить эти нагрузки не дос-

таточно использовать только уравнения механики твердого тела, необходимо использовать аппарат механики сплошных сред.

Задача проектирования системы раскрытия и фиксации антенны в рабо-

чем положении будет заключаться в подборе энергопривода и, возможно,

жесткостных характеристик стержня и узла фиксации, обеспечивающих две главные задачи – гарантированную фиксацию стержня в рабочее положение и не превышение при этом допустимых ударных нагрузок на конструкцию антенны.

Во многих случаях область допустимых угловых скоростей, при которых происходит фиксация, бывает достаточно узкой, когда обеспечиваются эти требования.

Используют обычно электромеханические, гидромеханические или про-

сто пружинные энергоприводы. Далее предполагаем, что для раскрытия ан-

тенны используется пружинный привод, как наиболее надежный, дешевый и простой.

Очевидно, что на этапе формирования структурной схемы системы рас-

крытия необходимо иметь сравнительно простой аппарат анализа работоспо-

Асобности предлагаемых схем. Причем, как обычно бывает,

денных, или эквивалентно-приведенных систем с конечным числом степеней свободы.

101

ции времени только четыре величины q1, q2, q3, q4. Ими будут определятся прогибы отдельных масс при колебаниях (скорости, ускорения и, как следст-

вие, перегрузки), а вместе с тем и форма упругой линии балки в наибольшем ее отклонении. Здесь мы имеем случай замены упругой системы эквивалент-

ной системой с 4мя степенями свободы.

Математическим аппаратом решения таких эквивалентных систем являет-

ся теория малых колебаний систем с конечным числом степеней свободы и уравнения Лагранжа второго рода в прямой и обратной форме. Их еще назы-

вают уравнениями в усилиях и в перемещениях, соответственно. Для боль-

шинства колеблющихся систем более простым является подход с использо-

ванием уравнений в в усилиях, что требует вычисление матрицы жесткости,

но имеется много случаев, когда удобнеее противоположный подход, когда построенине матрицы жесткости представляет некоторые затруднения, в то время как матрица податливости вычисляется сравнительно простио. Полу-

чим эти уравнения.

5.4.2 Уравнения Лагранжа IIго рода

Известно, что в основе теории малых колебаний систем с конечным чис-

лом степеней свободы лежит понятие кинетической и потенциальной энер-

гии, которые являются определенно – положительными квадратичными фор-

мами от обобщенных скоростей и координат, соответственно. Эти энергии в общем виде имеют вид.

где: А, С – квадратичные, симметрические матрицы с постоянными коэффи-

циентами инерции (аik) и жесткости (cik) соответственно.

Поскольку считается, что система малых колебаний консервативна, то

Е=Т+П=const и отсюда получают уравнения Лагранжа второго рода.

103

системе, чтобы удержать ее в равновесом положении, когда обобщенные ко-

Поскольку определитель матрицы С не равен нулю, то систему (5.4.1)

можно разрешить относительно q

Это уравнение представляет собой обобщенный закон Гука для системы с n степенями свободы. Его также можно рассматривать как условие равнове-

ческими коэффициентами влияния. Эта матрица, так же как и матрица С симметрическая, aik= aki, что отражает принцип взаимности перемещений.

Если в уравнении (5.4.2) положить все силы кроме Рк равными нулю, а Рк=1,

то получим что:

104

Это значит, что коэффициенты aik определяют конфигурацию равновесно-

го положения системы, когда к ней будет приложена только одна единичная сила Pk. Иначе говоря, aik – это изменение координат qi от единичной силы,

соответствующей координате qk. Поскольку уравнение (5.4.2) выражает ус-

ловие равновесия между внешними силами P и восстанавливающими сила-

ми Q , возникающими при отклонении системы из положения устойчивого равновесия, в качестве этих сил можно взять обобщенные силы инерции, т. е.

Подставив (5.4.3) в систему (5.4.2) получим уравнение движения в обрат-

ной форме по отношению к уравнению Лагранжа второго рода.

Необходимо отметить, что даже если кинетическая энергия выражается в канонической форме, матрица D уже не будет симметрической.

Чтобы решить систему (5.4.4) необходимо найти собственные формы,

частоты и коэффициенты влияния, как видно, потенциальная энергия систе-

мы нам здесь не понадобится и еѐ не надо определять.

Конкретный вид решения получим применительно к нашей задаче – кон-

сольной балки с сосредоточенной массой на свободном конце.

Пусть штанга представляет собой стержень с равномерно распределенной массой и изгибной жесткостью по длине (EJ=const, (l)= o=const) и сосре-

доточенной массой m3 на конце.

105

Раскрывая его, получим кубическое уравнение относительно p2. На прак-

тике, для подобного рода задач корни различные и положительные. Их мож-

но отыскать любым приближенным способом. В результате получим 3 собст-

Поскольку определитель системы (5.4.7) равен нулю, а ранг матрицы двум (корни векового уравнения различны) собственные векторы будут оп-

ределены с точностью до произвольной постоянной.

В скалярной форме уравнение (5.4.6) имеет вид

107

средоточенных сил и моментов находится в равновесии, то уравнение еѐ уп-

ругой линии выглядит следующим образом, [2]:

нением упругой линии вычислим перемещения в этих точках. Заметим, так-

же, что матрица перемещений коэффициентов влияния симметричная, т.е.

aij=aji.

Опорная реакция в заделке и момент при приложении единичной силы в точке mi, i=1,2,3 ,будут равны Ri=mP, Mi=Pl.

Перемещения в точек mi при приложении едеиничной силы в этих точках (т.е. a11, a22, a33), будут равны:

109

нее вычислять следующим образом. Приложив единичную в т. m3 вычислим

13 и 23, и приложив единичную силу в т. m2 вычислим 12. Получим:

Проверку полученных результатов (возможных ошибок при вычислениях)

произведем по условиям ортогональности собственных форм. Из теории ли-

нейных преобразований известно, что если матрица линейного преобразова-

ся следующим образом. Матрицу А в уравнении (5.4.4) представим в виде

1 1

произведения двух матриц A uT u , uT u A2 , где A2 - диагональная матрица

с диагональными элементами, равными квадратному корню из соответст-

110