ЛЕКЦИЯ № 7. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ГЕНЕРАЦИИ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ

Точное решение для генерации второй гармоники уравнение для медленно меняющихся амплитуд и фаз. Решение при точном синхронизме. Случай отсутствия второй гармоники на входе нелинейной среды. Захват и срыв захвата обобщенной фазы. ГВГ в отсутствии синхронизма.

Уравнения для медленно меняющихся действительных амплитуд и фаз.

Система стационарных связанных уравнений для комплексных амплитуд Аj взаимодействующих полей (5.6), дополненная граничными условиями на эти амплитуды, представляет собой систему нелинейных (произведение Аj Ak) обыкновенных (производные только по одной координате) уравнений, аналитическое решение которых представляется достаточно сложной задачей. Однако такое решение, во всяком случае для ГВГ (см. лекцию 6), существует и имеет важное значение, поскольку позволяет получить ряд принципиальных результатов, полезных при рассмотрении других нелинейно-оптических задач. Наиболее просто оно выглядит при представлении комплексной амплитуды поля в виде

где aj (z) и ϕj (z) – амплитуда и фаза соответственно являются действительными функциями. Перепишем систему (5.6), вводя следующие обозначения:

ЛЕКЦИЯ № 7. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ГЕНЕРАЦИИ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ

в которой обозначим величину 2φ1-φ2+ k·z = Ψ, называемой обобщенной фазой, и, воспользовавшись соотношением exp(±iΨ) = cos(Ψ) ± isin(Ψ) получим

Разделив вещественную и мнимую части уравнений и учитывая при этом, что 2dφ1/dz – φ2/dz = dΨ/dz – k·z, окончательно получим для трех неизвестных действительных функций а1,а2,Ψ-амплитуд взаимодействующих полей и обобщенной фазы соответственно:

Полученная система, при заданных граничных условиях и без дополнительных условий, имеет единственное решение, которое, во всяком случае, может бать получено численно. Однако для получения аналитического решения необходимо сделать дополнительные допущения и привести ряд соображений, позволяющих упростить эту систему уравнений.

Решение уравнений при точном синхронизме. При выполнении усло-

= 2dφ1/dz-dφ2/dz и система (7.5) примет следующий вид:

ЛЕКЦИЯ № 7. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ГЕНЕРАЦИИ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ

ется решением второго уравнения (7.10). Такое поведение обобщенной фазы получило название захвата фазы, и будет рассмотрено подробно ниже.

Таким образом, система (7.10) переходит в отдельное дифференциальное уравнение относительно амплитуды второй гармоники при значении Ψ =π2 :

Решение которого не представляет труда: z = ∫da2 σ1 (U 2 −a22 ) , поскольку

выражается через табличный интеграл, а решение для значений а2(z), удовлетворяющее граничному условию а2 (0) = 0, можно выразить через гиперболический тангенс thα = (eα + e−α )(eα + e−α ); thα = (chα)−1 :

Поскольку U1 = a1 (0) σ1σ2 , то перепишем уравнение (7.12) в виде

Используя выражение (7.8), находим отсюда выражение для амплитуды основной волны а1(z):

На рис. 7.1. показана зависимость нормированных значений амплитуд

а1(z) и а2(z), при ( σ1σ2à1 (0)z )

Рис. 7.1.

Как видно из выражений (7.13), (7.14), возможно полное преобразование излучения накачки в излучения второй гармоники. При этом эффектив-

ЛЕКЦИЯ № 7. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ГЕНЕРАЦИИ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ

ная перекачка энергии происходит на длине порядка

называемой длиной нелинейного взаимодействия, которая на практике составляет несколько сантиметров.

Полученные соотношения показывают, что процесс преобразования необратим. Однако решение было получено в предположении Ψ =π2 – const. Как уже упоминалось выше, фаза остается захваченной до тех пор, пока величина амплитуды второй гармоники не достигнет значений, сравнимых с амплитудой первой гармоники, т. е. на длинах меньших L, определяющихся соотношением (7.15). Для того чтобы проследить за решением уравнения (7.10) на длинах, больших, порядка L, необходимо иметь решение этой системы с учетом срыва захвата фазы, т. е. учесть изменение обобщенной фазы. Такое

решение может быть получено численно.

Захват и срыв захвата обобщенной фазы.

Численное решение системы (7.10) в условиях точного фазового синхронизма ( k = 0) было получено магистрантом КГТУ А. Вьюношевым. Результаты полученных зависимоcтей а1 (pump mode), a2 (second harmonic) и обобщенной фазы ψ (phase) от z (на рис.7.2 L,m = 0.03 соответствует

z = ( σ1σ2 a1 (0))−1 ), представлены на рис. 7.2. Как видно из рисунка при малой

амплитуде второй гармоники на входе в среду (z = 0), при любом значении обобщенной фазы ψ(0), ее значение быстро стремится к оптимальному для генерации второй гармоники значению ψ = π/2 и происходит «захват фазы». Далее фаза остается почти постоянной на расстоянии порядка

z = ( σ1σ2 a1 (0))−1 и амплитуда второй гармоники растет, а первой – уменьша-

ется так как и показано на рис 7.1, что соответствует выражениям (7.13), (7.14).

По мере приближения z к L =( σ1σ2 a1 (0))−1 обобщенная фаза начинает

меняться с соответствующим уменьшением скорости роста а2 и скорости падения а1. Происходит срыв захвата фазы. При полной перекачки энергии из а1 в а2 значение ψ становится отрицательным, что приводит к обратной перекачке энергии из второй гармоники в первую, которая идет при оптимальном для этого процесса значении фазы ψ = – π/2.