Гипербола

Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением , где- число, называется гиперболой. Однако это - частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола).

Определение 2.5.Гиперболойназывается геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемыхфокусамигиперболы, есть величина постоянная.

Так же, как и в случае эллипса, для получения уравнения гиперболы выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось направим вдоль этого отрезка, а ось ординат - перпендикулярно к нему.

Теорема 2.3. Пусть расстояние между фокусами игиперболы равно, а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна. Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение:

-,

где (2.9)

Доказательство.Пусть- текущая точка гиперболы (рисунок 2.9).

Рисунок 2.9

Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то , то есть,. В силу последнего неравенства вещественное число, определяемое формулой (2.9), существует.

По условию, фокусы - ,. По формуле для случая плоскости получаем:

, .

По определению гиперболы

.

Это уравнение запишем в виде:

.

Обе части возведем в квадрат:

.

После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству:

.

Опять обе части возведем в квадрат:

.

Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим

.

С учетом формулы (2.9) уравнение принимает вид

Разделим обе части уравнения на и получим уравнение (2.8).

Уравнение (2.8) называетсяканоническимуравнением гиперболы.

Предложение 2.3Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением, то ее осями симметрии служат координатные оси и, а начало координат - центр симметрии гиперболы.

Доказательство.Проводится аналогично доказательствупредложения 2.1.

Проведем построение гиперболы, заданной уравнением (2.8). Заметим, что из-за симметрии достаточно построить кривую только в первом координатном угле. Выразим из канонического уравнениякак функцию, при условии, что,

и построим график этой функции.

Область определения - интервал ,, функция монотонно растет. Производная

существует во всей области определения, кроме точки . Следовательно, график - гладкая кривая (без углов). Вторая производная

во всех точках интервала отрицательна, следовательно, график - выпуклый вверх.

Проверим график на наличие асимптоты при . Пусть асимптота имеет уравнение. Тогда по правилам математического анализа

,

.

Выражение под знаком предела домножим и разделим на . Получим

.

Итак, график функции имеет асимптоту . Из симметрии гиперболы следует, что- тоже асимптота. Остается неясным характер кривой в окрестности точки, а именно, образует ли графики симметричная ему относительно осичасть гиперболы в этой точке угол или гипербола в этой точке - гладкая кривая (есть касательная). Для решения этого вопроса выразим из уравнения (2.8)xчерезy:

Очевидно, что данная функция имеет производную в точке y=0,x’(0)=0, и в точкеу гиперболы есть вертикальная касательная. По полученным данным рисуем график функции(рисунок 2.10).

Рисунок 2.10 - График функции

Окончательно, используя симметрию гиперболы, получаем кривую рисунка 2.11.

Рисунок 2.11 - Гипербола

Определение 2.6.Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением (2.8), с осьюназываютсявершинамигиперболы, отрезок между ними называетсядействительной осьюгиперболы. Отрезок оси ординат между точкамииназываетсямнимой осью. Числаaиbназываются соответственнодействительнойимнимой полуосямигиперболы. Начало координат называется ее центром. Величинаназывается эксцентриситетом гиперболы.

Замечание 2.3.Из равенства (2.9) следует, чтоc > a, то есть у гиперболы. Эксцентриситетхарактеризует угол между асимптотами, чем ближек 1, тем меньше этот угол.

Замечание 2.4.В отличие от эллипса в каноническом уравнении гиперболы соотношение между величинамиaиbможет быть произвольным. В частности, приa = bмы получим равностороннюю гиперболу, известную из школьного курса математики. Ее уравнение имеет знакомый вид, если взять, а осиинаправить по биссектрисам четвертого и первого координатных углов (рисунок 2.12).

Рисунок 2.12 - Равносторонняя гипербола

Для отражения на рисунке качественных характеристик гиперболы достаточно определить ее вершины, нарисовать асимптоты и нарисовать гладкую кривую, проходящую через вершины, приближающуюся к асимптотам и похожую на кривую рисунка 2.10.

Пример 2.4.Постройте гиперболу, найдите ее фокусы и эксцентриситет.

Решение.Разделим обе части уравнения на 4. Получим каноническое уравнение

a = 1, b = 2.Проводим асимптотыи строим гиперболу (рисунок 2.13).

Рисунок 2.13 – Гипербола

Из формулы (2.9) получим. Тогда фокусы -,,.

Пример 2.5.Постройте гиперболу. Найдите ее фокусы и эксцентриситет.

Решение.Преобразуем уравнение к виду

Данное уравнение не является каноническим уравнением гиперболы, так как знаки перед ипротивоположны знакам в каноническом уравнении. Однако, если переобозначить переменные,, то в новых переменных получим каноническое уравнение

Действительная ось этой гиперболы лежит на оси , то есть на осиисходной системы координат, асимптоты имеют уравнение, то есть уравнениев исходных координатах. Действительная полуось равна 5, мнимая - 2. В соответствии с этими данными проводим построение (рисунок 2.14).

Рисунок 2.14 - Гипербола с уравнением

Из формулы (2.9) получим,, фокусы лежат на действительной оси -,,где координаты указаны в исходной системе координат.