1. Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой принадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей:

и,

то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений:

(1.1)

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

Уравнения (1.1) называютобщими уравнениями прямойв пространстве.

Замечание 1.1.Любые попытки с помощью преобразований уравнений системы (1.1) получить одно (линейное) уравнение, задающее прямую, обречены на неудачу. Одно уравнение - это уравнение плоскости.

Общие уравнения прямой «неудобны» для получения информации о положении прямой.

Например, чтобы найти координаты какой-нибудь точки на прямой, нужно провести довольно сложные вычисления. А именно, задать произвольно какую-нибудь координату, подставить ее в систему (1.1) и из получившейся системы двух уравнений с двумя неизвестными найти две остальные координаты. Причем может оказаться, что полученная система не имеет решений. Тогда нужно произвольно задать другую координату и из системы найти две оставшиеся координаты.

Пример 1.1.Требуется найти какую-нибудь точкуна прямой

Решение.Положим. Получим систему

Решая ее, находим ,.

Ответ:.

Можно задать прямую в пространстве и другим способом.

Ненулевой вектор, лежащий на прямой (параллельный ей) называется направляющим вектором прямой.

Пусть для прямой известны ее направляющий вектори точка, лежащая на этой прямой. Пусть- произвольная (текущая) точка прямой. Обозначим черезирадиус-векторы точекисоответственно (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 - Векторное уравнение прямой

Тогда вектор коллинеарен векторуи, следовательно,, где- некоторое число. Из рисунка 1.1 видно, что

(1.2)

Это уравнение называетсявекторным уравнениемпрямой илиуравнением в векторной форме. При каждом значении параметрамы будем получать новую точкуна прямой.

Замечание 1.2.Если в качестве параметравзять время, то точкабудет двигаться по прямой со скоростью, причем в момент врементее положение совпадает с точкой. Вектор скорости точки совпадает с вектором.

От векторного соотношения (1.2) перейдем к соотношениям координат. Так как- координаты точки, то,,. Из формулы (1.2) получим

(1.3)

Полученная система уравнений называетсяпараметрическими уравнениямипрямой.

Обратим внимание на то, что по параметрическим уравнениям легко установить направляющий вектор прямой и координаты одной из ее точек. Коэффициенты перед параметром дают координаты направляющего вектора, а свободные члены в правой части - координаты точки на прямой.

Так как направляющий вектор прямой определяется с точностью до умножения на число, отличное от нуля, а в качестве точки можно взять любую точку прямой, то одна и та же прямая может задаваться бесконечным множеством систем параметрических уравнений. Причем разные системы могут быть не похожими друг на друга.

Из уравнений (1.3) выразим параметр:

,,.

Так как во всех трех соотношениях параметр имеет одно и то же значение, то

. (1.4)

Эти уравнения называютсяканоническими уравнениямипрямой.

Замечание 1.3.В канонических уравнениях прямой допускается в знаменателе писать 0. Это не означает, что можно выполнить деление на 0. Просто из канонических уравнений мы получаем информацию о том, что направляющий вектор прямой имеет координаты, из которых одна нулевая.

Пример 1.2.Прямая с каноническими уравнениями:

(1.5)

имеет направляющий вектор .

Замечание 1.4.Канонические уравнения прямой (1.5) нельзя рассматривать как одно уравнение (в них два знака «=» и следовательно, два уравнения). Они составляют своеобразным способом записанную систему из двух уравнений:

Возможны, впрочем, еще две записи системы.