2. Кривые второго порядка

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.

Определение 2.1.Кривой второго порядканазывается множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка

, (2.1)

где- вещественные числа, и хотя бы одно из чиселотлично от нуля.

Исследование уравнения (2.1) в общем виде проводится так же, как и для аналогичного уравнения в пространстве (поверхности второго порядка) и эти исследования удобно производить с помощью математического аппарата, который будет рассмотрен позже. Здесь же мы ограничимся констатацией того, что уравнение (2.1) в зависимости от коэффициентов может задавать только четыре типа кривых, а именно, окружность, эллипс, гиперболу и параболу.

Окружность

Начнем с определения окружности, известного из школьного курса математики.

Определение 2.2.Окружностьюназывается геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемойцентромокружности.

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема 2.1.Окружность радиуса с центром в точкеимеет уравнение

(2.2)

Доказательство.Пусть- текущая точка окружности. По определению окружности расстояниеравно(рисунок 2.1)

Рисунок 2.1 - Окружность

По формуле для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению:

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение (2.2).

Если в уравнении (2.2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду (2.2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменными.

Пример 2.1.Нарисуйте кривую.

Решение.Выделив полные квадраты, получим

Таким образом, центр окружности - , радиус равен 2 (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 - Окружность, заданная уравнением .

Эллипс

Определение 2.3.Эллипсомназывается геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемыхфокусами эллипса, есть величина постоянная.

Для эллипса можно дать еще несколько эквивалентных определений. Желающие могут познакомиться с ними в более серьезных учебниках по аналитической геометрии. Здесь же отметим только то, что эллипс - это кривая, получающаяся как проекция на плоскость окружности, лежащей в плоскости, которая образует острый угол с плоскостью.

В отличие от окружности, записать в «удобном» виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат так, чтобы его уравнение было достаточно простым.

Пусть и- фокусы эллипса. Началосистемы координат расположим на середине отрезка. Осьнаправим вдоль этого отрезка, ось- перпендикулярно к этому отрезку (рисунок 2.3).

Теорема 2.2.Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна 2а, а расстояние между фокусами – 2с. Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение

(2.4)

где . (2.5)

Доказательство.Пусть- текущая точка эллипса. По определению эллипса. Из треугольника(рисунок 2.3) видно, что, то есть,, и поэтому числосуществует.

Рисунок 2.3

Фокусами в выбранной системе координат являются точки ,. По формуле для плоского случая находим

,

.

Тогда по определению эллипса

.

Перенесем один из корней вправо и обе части возведем в квадрат:

.

После того, как раскроем скобки и приведем подобные члены, приходим к выражению

.

Разделим обе части этого уравнения на 4 и возведем в квадрат

Раскроем скобку и приведем подобные члены

.

Учитывая, что , имеем равенство

.

Наконец, разделив обе части на , получим уравнение (2.4). Уравнение (2.4) называетсяканоническимуравнением эллипса.

Прежде, чем нарисовать эллипс, выясним некоторые его свойства.

Предложение 2.1.Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (2.4), то его осями симметрии служат оси и, начало координат -- центр симметрии.

Доказательство.Проведем доказательство на основе уравнения (2.4).

Пусть эллипс задан уравнением (2.4) и-- какая-то точка эллипса. Тогда

. (2.6)

Точкаявляется точкой, симметричной точкеотносительно оси(рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 - Симметрия точек

Вычисляем значение левой части уравнения (2.4) в точке

.

В силу равенства (2.6) получаем

,

следовательно, точка лежит на эллипсе. Точкаявляется точкой симметричной точкеотносительно оси(рисунок 2.4). Для нее аналогичным путем убеждаемся, что

,

то есть является точкой эллипса. Наконец точкаявляется симметричной точкеотносительно начала координат (рисунок 2.4). Повторяя предыдущие рассуждения, получим, что и эта точка тоже лежит на эллипсе. Итак, утверждение предложения доказано, если эллипс имеет уравнение (2.4). А так как потеореме 2.2любой эллипс в некоторой системе координат имеет такое уравнение, то предложение полностью доказано.

Проведем построение эллипса, заданного уравнением (2.4). Заметим, что из-за симметрии достаточно нарисовать часть эллипса, лежащую в верхней полуплоскости. Уравнение этой линии мы получим, выразивиз уравнения (2.4) и взяв перед корнем знак «+»,

Построим график этой функции. Область определения - отрезок ,, при увеличении переменногоот 0 дофункция монотонно убывает. В силу симметрии графика относительно осифункциямонотонно растет при измененииотдо 0. Производнаяопределена во всех точках интервалаи, следовательно, график является гладким (не содержит изломов, касательная есть в любой точке). Вторая производнаяотрицательна во всех точках интервала, следовательно, график - выпуклый вверх.

Осталось не исследованным поведение кривой вблизи концов отрезка . Выразим из уравнения (2.4) переменноечерез:. Очевидно, что в точкеэта функция имеет производную, то есть касательная к этому графику в точкесуществует. Легко проверить, что она параллельна оси. Из симметрии эллипса делаем вывод, что это гладкая кривая и строим ее с учетом полученных данных (рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 - Эллипс

Определение 2.4.Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии -центромэллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называетсябольшой осьюэллипса, половина его длины -большой полуосьюэллипса. Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащей фокусов, называетсямалой осьюэллипса, половина его длины -малой полуосью. Величинаназываетсяэксцентриситетомэллипса.

Если эллипс задан каноническими уравнениями, то его вершины имеют координаты ,,,, большая полуось равна, малая полуось равна. Величина, являющаяся половиной расстояния между фокусами, определяется из формулы (2.5) для величины, а именно,.

Замечание 2.1.Уравнение (2.4) было получено в предположении, чтои- различные точки, то есть. Тогда. Но кривую, определяемую уравнением (2.4), мы можем рассмотреть и в случае,. Уравнение (2.4) в этом случае после умножения напримет вид. Это - уравнение окружности радиусас центром в начале координат. Таким образом, можно рассматривать окружность как предельный вариант эллипса, когда,, или, как иногда говорят математики, окружность является «вырожденным» эллипсом, у которого фокусы совпали.

Эксцентриситетэллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе эксцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. Отметим, что по определению для эллипса.

Если задано каноническое уравнение эллипса и требуется его построить, то для отображения качественных характеристик достаточно правильно отметить вершины эллипса и провести через них линию, похожую на кривую рис. 2.4, выдерживая симметрию и избегая образования углов на рисунке. Если же из рисунка предполагается получать числовую информацию о координатах его точек, то тогда построение следует проводить более точно. Нужно построить по точкам верхнюю половину эллипса как график функции , взяв для построения достаточно много точек, а нижнюю половину эллипса получить, используя его симметрию. С другим способом построения эллипса можно познакомиться в курсе черчения.

Эллипс обладает многими замечательными свойствами. Приведем без доказательства одно из них (рисунок 2.6).

Предложение 12.2.Пустьи- фокусы эллипса,- произвольная точка на эллипсе. Тогда нормаль (перпендикуляр к касательной) к эллипсу в точкеделит уголпополам.

Рисунок 2.6 - Отражение лучей света от эллипса

Данное свойство имеет достаточно простой физический смысл. Если из одного фокуса выходит в плоскости эллипса луч света, то отразившись от самого эллипса, он обязательно пройдет через другой фокус. Возьмем поверхность, образованную вращением эллипса вокруг большой оси, и будем считать, что внутри она зеркальная. В один из фокусов поместим источник света. Тогда все лучи, выходящие из источника, отражаясь от поверхности, пройдут через другой фокус, то есть освещенность в обоих фокусах будет одинаковой.

Пример 2.2Постройте кривую. Найдите фокусы и эксцентриситет.

Решение.Разделим обе части уравнения на 36. Получаем уравнение

Это - каноническое уравнение эллипса, ,. Делаем чертеж (рисунок 2.7)

Рисунок 2.7 - Эллипс, заданный уравнением

Из соотношения (2.5) находим,. Фокусы –,, эксцентриситет –

Пример 2.3.Нарисуйте эллипс. Найдите его фокусы и эксцентриситет.

Решение.Уравнение запишем в виде

, (2.7)

Это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, так как в соответствии с уравнением (2.4) в нем,,, а должно быть. Однако, если переобозначить оси, то есть положить,, то уравнение (2.7) в координатахпримет вид

,

Это - каноническое уравнение эллипса при ,. Делаем чертеж (рисунок 2.8).

Рисунок 2.8 - Эллипс, заданный уравнением

Из соотношения (2.5) находим. Значит, фокусы в системе координатимеют координаты,, а в системе координат– координаты,. Эксцентриситет равен.

Замечание 2.2.Изпримера 2.3ясно, что построение кривой (эллипса) с уравнением (2.4) приможно вести так же, как и для эллипса, заданного каноническим уравнением: отложить полуосьна оси, полуось- на осии через получившиеся вершины провести эллипс. Различие заключается в том, что фокусы теперь располагаются на оси ординат (большой оси), величинунужно вычислять по формуле, и.