Результаты моделирования и исследование статистических характеристик
2.1
.
.
.
Подставляя в полученные формулы исходные данные, получаем:
По сгенерированной и представленной в приложении Б выборке строим вариационный ряд
.
Весь промежуток разбиваем точками на непересекающихся интервалов .
Подсчитываем частоты попадания выборочных значений в -ый интервал .
Вычисляем относительные частоты
Считаем высоту столбца гистограммы , где . Очевидно, что в нашем случае все равны между собой.
Вычисляем теоретическое значение функции нормального распределения с заданными параметрами в середине интервала по формуле:
, , где
Полученную информацию заносим в интервальный статистический ряд в форме таблицы:
Интервалы |
Частоты |
Относительные частоты |
Высота столбца гистограммы |
Теоретическое значение в середине интервала |
[-1.474;-1.181) |
20 |
0.050 |
0.171 |
-1.327 |
[-1.181;-0.888) |
31 |
0.077 |
0.279 |
-1.034 |
[-0.888;-0.595) |
38 |
0.095 |
0.356 |
-0.741 |
[-0.595;-0.302) |
45 |
0.113 |
0.419 |
-0.448 |
[-0.302;-0.008) |
56 |
0.140 |
0.473 |
-0.155 |
[-0.008;0.285) |
56 |
0.140 |
0.476 |
0.138 |
[0.285;0.578) |
55 |
0.138 |
0.422 |
0.431 |
[0.578;0.871) |
40 |
0.100 |
0.360 |
0.724 |
[0.871;1.164) |
34 |
0.085 |
0.284 |
1.017 |
[1.164;1.457) |
25 |
0.062 |
0.178 |
1.311 |
Весь промежуток |
400 |
1 |
|
|
2.2
Выборочным средним называется величина:
.
Выборочной дисперсией называется величина:
.
Для вычисления выборочного среднего по сгруппированным данным определяется по формуле:
,
а для выборочной дисперсии используется формула:
.
Для вычисления выборочного среднего и выборочной дисперсии использовались стандартные функции Scilab. Полученные значения соответственно равны:
.
Для подсчета выборочного среднего и выборочной дисперсии по сгруппированным данным были написаны специальные алгоритмы. Полученные значения соответственно равны:
.
В обоих случаях полученные значения отличаются от истинных значений математического ожидания и дисперсии, равных, соответственно:
Для удобства приведем сравнительную таблицу полученных величин математического ожидания и дисперсии:
|
Математическое ожидание |
Дисперсия |
Выборочные |
0.030 |
0.524 |
По сгруппированным данным |
0.033 |
0.466 |
Истинные |
0 |
0.514 |
2.3
Требуется оценить один параметр , поэтому достаточно иметь одно уравнение относительно этого параметра. Приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка :
Приняв во внимание, что , , получим . Учитывая, что математическое ожидание заданной функции равно , окончательно имеем .
Итак, точечной оценкой параметра , заданного распределения является .
Полученная оценка отличается от истинного значения параметра .
2.4
Пусть наблюдаемая величина имеет функцию распределения , зависящую от неизвестного параметра . При интервальном оценивании параметра ищут две такие статистики и ( и - случайные величины), для которых при заданном выполняется соотношение .
В этом случае интервал является -доверительным интервалом для параметра .
Доверительный интервал математического ожидания (с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией ):
,
где - выборочная дисперсия, .
Истинное значение математического ожидания попадает в построенный доверительный интервал.
Доверительный интервал для дисперсии (при неизвестном математическому ожидании :
,
- выборочный центральный момент четвёртого порядка.
Истинное значение дисперсии попадает в построенный доверительный интервал.
2.5
Для проверки гипотезы о нормальном распределении заданной функции с помощью критерия Пирсона, выборочные данные мы группируем и представляем в виде интервального статистического ряда, где - интервалы группировки, - частоты попадания выборочных значений в интервалы соответственно ().
Теоретическая вероятность попадания случайной величины в при неизвестных параметрах распределения находится по формуле:
,
где ; - функция Лапласа, значение которой находится по таблице; среднее выборочное по сгруппированным данным ; дисперсия по сгруппированным данным .
В случае неизвестных параметров, они заменяются их оценками максимального правдоподобия. А число степеней свободы предельного распределения хи – квадрат должно быть уменьшено на число неизвестных параметров
Для удобства представим интервальный статистический ряд в виде таблицы:
Интервалы |
Частоты |
Относительные частоты |
Теоретическая вероятность |
[-1.474;-1.181) |
20 |
0.050 |
0.048 |
[-1.181;-0.888) |
31 |
0.077 |
0.081 |
[-0.888;-0.595) |
38 |
0.095 |
0.104 |
[-0.595;-0.302) |
45 |
0.113 |
0.122 |
[-0.302;-0.008) |
56 |
0.140 |
0.140 |
[-0.008;0.285) |
56 |
0.140 |
0.140 |
[0.285;0.578) |
55 |
0.138 |
0.128 |
[0.578;0.871) |
40 |
0.100 |
0.105 |
[0.871;1.164) |
34 |
0.085 |
0.083 |
[1.164;1.457) |
25 |
0.062 |
0.049 |
Весь промежуток |
400 |
1 |
|
Объем выборки , частоты попадания значений в выбранные интервалы , значит, мы можем вычислить статистику критерия по формуле:
При неизвестных значениях параметров распределения .
Для заданного уровня значимости порог .
, значит, гипотеза о распределении заданной функции принимается.