Функциональный(конспекты и вопросы в конце)

Теорема 5.4.16. Пусть V гильбертово пространство. Тогда

(1)в пространстве V существует гильбертовы базисы;

(2)гильбертовы базисы пространства V равномощны;

(3)всякую ортонормированную систему векторов пространства V можно дополнить до гильбертова базиса.

Наиболее важными в функциональном анализе и его приложениях являются гильбертовы пространства с конечными или счетными гильбертовыми базисами. В этом курсе мы будем рассматривать только гильбертовы пространства гильбертовы базисы в которых конечны или счетны.

Лемма 5.4.17. Пусть v1, . . . , vn ортогональная система векторов гильбертова про-

странства. Тогда

v1 + . . . + vn 2 = v1 2 + . . . + vn 2.

Доказательство.

v1 + . . . + vn 2 = (v1 + . . . + vn, v1 + . . . + vn) =

(v1, v1) + . . . + (v1, vn) + . . . + (vn, v1) + . . . + (vn, vn) = v1 2 + . . . + vn 2.

Неравенство Бесселя. Пусть e1, e2, . . . конечная или счетная ортонормированная

система векторов гильбертова пространства. Тогда для любого v V имеем

∑

|(v, ei)|2 6 v

i>1

(ряд в левой части неравенства сходится и его сумма не превосходит правую часть).

Доказательство. Можно считать, что система e1, e2, . . . конечна, скажем, состоит из n

Рассмотрим гильбертово пространства V и в нем счетную ортонормированную систему

его частичных сумм; в этом случае сумма ряда (5.4.8) полагается равной пределу (5.4.9).

Лемма 5.4.18. Ряд (5.4.8) сходится тогда и только тогда, когда (x1, x2, . . .) ℓ2.

∑∑

i>1

Пусть V , U гильбертовы пространства. Оператор

A : V → U

называют изоморфизмом гильбертовых пространств , если A (как отображение) взаимно

однозначно и

(Av, Av′) = (v, v′) для любых v, v′ V.

В частности, изоморфизм гильбертовых пространств является изоморфизмом соответствующих им нормированных пространств.

Лемма 5.4.19. (1) Теоретико-множественное обратное отображение к изоморфизму гильбертовых пространств является изоморфизмом гильбертовых пространств.

(2)Композиция изоморфизмов гильбертовых пространств является изоморфизмом гильбертовых пространств.

Теорема Рисса-Фишера. Пусть V гильбертово пространство и e1, e2, . . . åãî ãèëü-

Следствие 5.4.20. Любые два гильбертова пространства, имеющие одинаковую размерность, изоморфны.

Из теоремы Рисса-Фишера следует, что если e1, e2, . . . его гильбертов базис гильбертова

пространства V , то для всякого вектора v V определено разложение по базису

∑

v = (v, ei)ei

i>1

i>1

Напомним, что векторное пространство V называют прямой суммой его подпространств X è Y и пишут

V = X u Y (также пишут V = X Y ),

если для любого v V существует единственное разложение v = x + y, ãäå x X, y Y.

Теорема 5.4.21. Пусть V гильбертово пространство и X замкнутое подпространство в V . Тогда имеют место следующие утверждения.

(1) Подмножество

X := {v V | (v, x) = 0 для всякого x X}

является замкнутым подпространством в V (его называют ортогональным дополнением к X â V ).

(2)V = X u X .

(3)Существует оператор prX : V → V такой, что

(a)Ker(prX ) = X ;

(b)prX (x) = x для любого x X;

(c)prX = 1

(оператор prX называют ортогональным проектором пространства V íà X)

(4) Для любых v V , x X выполнено

v − prX (v) 6 v − x ,

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда x = prX (v) (другими словами, ближайшим к v вектором, лежащим на X, является prX (v)).

Из теоремы Рисса следует, что сопряженное к вещественному гильбертовому пространству V изоморфно ему самому. А именно, изоморфизм определяется оператором

φ : V → V ′, φ(v) = (·, v) : V → R.

Аналогично сопряженное к комплексному гильбертовому пространству V антиизоморфно ему самому. А именно, антиизоморфизм определяется оператором

φ: V → V ′, φ(v) = (·, v) : V → C.

5.5.Задача приближения

Âэтом параграфе мы рассмотрим частные случаи задачи приближения. Сначала сформулируем задачу приближения в наиболее общем виде.

Задача приближения. Дано метрическое пространство V , подмножество X V и элемент v0 V . Требуется найти ближайший к v0 элемент x0 X.

Лемма 5.5.1. Пусть V гильбертово пространство, X замкнутое линейное подпространство в V è v0 V . Тогда ближайший к v0 элемент x0 X существует и единственен.

Пример 5.5.2. На примере покажем как находить ближайщий элемент в гильбертовом

[−1,1]

∫

0 = (v0 − x0, x) = (t4 − at − bt2 − ct3)dt = 25 − 23b,

[−1,1]

∫

0 = (v0 − x0, x2) = (t5 − at2 − bt3 − ct4)dt = −23a − 25c

[−1,1]

откуда получаем a = c = 0, b = 35 . Таким образом, ближайшим к v0 = t3 элементом является x0 = 35 t.

К сожалению, в случае негильбертовых пространств не существует простых алгоритмов решения задачи приближения. В следующих ниже двух примерах без доказательств приводятся ответы к задаче приближения в частных случаях для негильбертовых пространств.

Пример 5.5.3. Пусть V = C[−1, 1], X = 1, t, . . . , tn−1 , v0 = tn. В этом случае единственным ближайшим к v0 элементом является

21−nTn(t) − tn,

ãäå Tn(t) n-ый полином Чебышева 1-го рода. В частности, при n = 3 ближайшим элементом ê t3 является 34 t.

Пример 5.5.4. Пусть V = C1[−1, 1] (см. пример 5.1.7), X = 1, t, . . . , tn−1 , v0 = tn. Â ýòîì случае единственным ближайшим к v0 элементом является

2−nUn(t) − tn,

ãäå Un(t) n-ый полином Чебышева 2-го рода. В частности, при n = 3 ближайшим элементом ê t3 является 12 t.

5.6. Задачи

Задача 5.6.1. Пусть V одномерное векторное пространство (вещественное или комплексное) и 0 ≠ v0 V . Докажите, что

(1) всякая норма на V имеет вид

· : V → R, λv0 = |λ|c,

ãäå c > 0;

(2) всякая линейная функция на V непрерывна.

Задача 5.6.2. Докажите, что в нормированном пространстве шар B(0, 1) и замкнутый шар Bc(0, 1) являются выпуклыми, уравновешенными подмножествами (подмножество X

векторного пространства называют уравновешенным, если для любого x X и любого скаляра λ, ãäå |λ| 6 1 выполнено λx X).

Задача 5.6.3. В нормированном пространстве (Rn, · p) найдите

(1) (1, −1, 1, −1) 3;

(2)(1, 2, 0, 2, 3) 1;

(3)(1, 2, 0, 2, 3) ∞.

Задача 5.6.4. В нормированном пространстве ℓp найдите

Задача 5.6.5. В нормированном пространстве C[−1, 1] найдите

(1)t2 ;

(2)sin(t) ;

(3)t2 − t .

Задача 5.6.6. В нормированном пространстве Lp([−π, π], dλ) найдите

(1)sin(t) 2;

(2)cos(2t) 1;

(3)t3 2.

Задача 5.6.7. Докажите, что в нормированном пространстве V выполнено

(1)B(v, r) = v + B(0, r) для любого v V , r > 0;

(2)λB(0, r) = B(0, λr) для любых λ, r > 0.

Задача 5.6.8. Пусть V нормированное пространство. Докажите, что отображения

(1)f : V → R, f(v) = v ;

(2)φ : V → V , φ(v) = λv, ãäå λ K;

(3)φ : V → V , φ(v) = v + v0, ãäå v0 V

непрерывны (как отображения метрических пространств).

Задача 5.6.9. Докажите, что в нормированном пространстве для всякого шара его замыкание совпадает с замкнутым шаром с тем же центром и радиусом.

Задача 5.6.10. Пусть · 1 è · 2 нормы в векторном пространстве V , B1 è B2 øàðû радиуса 1 с центром в нуле относительно норм · 1 è · 2 соответственно. Докажите, что норма · 1 не слабее нормы v 2 тогда и только тогда, когда B1 aB2 для некоторого a > 0.

Задача 5.6.11. Докажите, что в векторном пространстве

(1)всякая норма эквивалентна самой себе;

(2)если норма · 1 эквавалентна норме · 2, а норма · 2 эквивалентна норме · 3, то норма · 1 эквивалентна норме · 3.

Задача 5.6.12. Докажите, что на векторном пространстве непрерывных на отрезке [a, b] функций норма

но не наоборот (и, таким образом, эти нормы неэквивалентны).

Задача 5.6.13. Приведите пример векторного пространства с несравнимыми нормами.

Задача 5.6.14. Пусть A : V → U оператор. Докажите, что

(1) образ (прообраз) выпуклого подмножества является выпуклым подмножеством;

(2)образ (прообраз) уравновешенного подмножества является уравновешенным подмножеством.

[−1,1]

является функционалом и найдите его норму.

Задача 5.6.19. Докажите, что в нормированном пространстве всякое конечномерное подпространство замкнуто.

Задача 5.6.20. Рассмотрим пространство ℓp, ãäå p > 1. Докажите, что

(1) подмножество

L := {(x1, x2, . . .) ℓp | xn = 0 для почти всех n} является линейным подпространством в ℓp;

(2)dim(L) = ∞;

(3)подпространство L не замкнуто в ℓp;

(4)L = ℓp.

Задача 5.6.21. Рассмотрим пространство C[a, b]. Докажите, что

(1)подмножество P [a, b], состоящее из многочленов, является линейным подпространством в C[a, b];

(2)dim(P [a, b]) = ∞;

(3)подпространство P [a, b] не замкнуто в C[a, b];

(4)P [a, b] = C[a, b].

Задача 5.6.22. Пусть X произвольное множество. Докажите, что формула (5.3.7) определеяет норму в векторном пространстве KX∞.

Задача 5.6.23. Докажите, что для нормы · на векторном пространстве V существует

скалярное произведение, которое эту норму определяет, тогда и только тогда, когда для любых v, u V выполнено равенство параллерограмма

v + u 2 + v − u 2 = 2( v 2 + u 2).

Задача 5.6.24. Докажите, что на нормированном пространстве C1[a, b] (см. пример 5.1.7) не существует скалярного произведения, которое определяет его норму.

Задача 5.6.25. Докажите, что банахово пространство KX (см. Ÿ5.3) не является гильбер- товым.

Задача 5.6.26. В пространстве ℓ2 найти x0 X ближайшую к v0, ãäå

X = (1, 2−1, 2−2, 2−3, . . .), (−1, 1, 1, 0, 0, . . .) , v0 = (1, 3−1, 3−2, 3−3, . . .)

Задача 5.6.27. В пространстве L2(0, π2 ) найти x0 X ближайшую к v0, ãäå

X = (sin(t), cos(t) , v0 = 1.

Порядок проведения экзамена

Билет на экзамене будет содержать теоретический вопрос и 2 задачи.

Теоретические вопросы

(1)Определить возрастающий, убывающий, нижний и верхний пределы подмножеств, поточечную и равномерную сходимость функций. Привести пример последовательности функций на множестве, которая сходятся поточечно, но не сходится равномерно.

(2)Определить (нестрого) мощность множества. Доказать, что |N| < |R|.

(3)Доказать, что для любого множества X выполнено |X| < |2X |.

(4)Определить отношения эквивалентности, отношения порядка и отношения предпо- чтения на множестве и привести примеры.

(5)Определить метрическое пространство. Определить пространства (Rn, dp), ℓp, ãäå p [1, +∞], C[a, b], C1[a, b], а также дискретное метрическое пространство.

(6)Определить открытые, замкнутые, ограниченные подмножества метрического пространства и привести примеры. Доказать, что объединение (соотв. пересечение) любого (соотв. конечного) множества открытых подмножеств метрического пространества открыто (соотв. замкнуто).

(7)Определить сходящиеся последовательности и их пределы в метрическом пространстве. Доказать теорему о единственности предела сходящейся последовательности.

(8)Определить замыкание подмножества метрического пространства. Доказать, что замыкание подмножества метрического пространства есть множество его предельных точек.

(9)Определить непрерывные отображения метрических пространств и привести примеры. Доказать, что композиция непрерывных отображений метрических пространств непрерывна.

(10)Доказать, что отображение φ : X → Y метрических пространств непрерывно тогда и только тогда, когда для всякой последовательности {xn} â X, сходящейся к x, последовательность {φ(xn)} сходится к φ(x).

(11)Определить полное метрическое пространство и привести примеры полных и неполных метрических пространств.

(12)Определить σ-алгебры и привести примеры.

(13)Определить меры (в общем случае). Определить вероятностные и полные меры и привести примеры.

(14)Определить внешнюю меру Лебега на R. Вычислить внешнюю меру канторова множества.

(15)Определить меру Лебега на R (без обоснования).

(16)Определить измеримые функции на пространстве с мерой. Сформулировать теорему Лузина.

(17)Привести (1) пример последовательности измеримых функций на прямой, которая сходятся поточечно, но не сходится по мере; (2) пример последовательности измеримых функций на прямой, которая сходится по мере, но не сходится почти всюду.

(18)Сформулировать теорему о сравнении интеграла Римана и интеграла Лебега и привести примеры.

(19)Сформулировать теорему Радона-Никодима и привести примеры.

(20)Определить нормированные пространства и привести примеры. Доказать, что всякое нормированное пространство является метрическим пространством.

(21)Определить нормированные пространства ℓp è Lp(X, µ), ãäå p [1, +∞].

(22)Определить норму оператора и привести примеры.

(23)Доказать критерий непрерывности оператора.

(24)Определить банаховы пространства и привести примеры. Сформулировать теорему Хана-Банаха.

(25)Определить гильбертовы пространства и привести примеры.

(26)Доказать неравенство Коши-Буняковского в гильбертовом пространстве.

Задачи

1.4.4, 1.4.5, 1.4.7 1.4.10, 1.4.12, 1.4.14.

2.6.2, 2.6.3, 2.6.5 2.6.8, 2.6.11, 2.6.12, 2.6.14, 2.6.17, 2.6.25, 2.6.27, 2.6.31 2.6.33,

2.6.372.6.39, 2.6.40, 2.6.42, 2.6.43, 2.6.44, 2.6.46, 2.6.49 (2), 2.6.50 (3).

3.6.13.6.9, 3.6.15 3.6.18, 3.6.20(1-2).

4.6.1 4.6.9.

5.6.3 5.6.7, 5.6.10, 5.6.12, 5.6.14, 5.6.15, 5.6.17, 5.6.18, 5.6.20, 5.6.23.