Функциональный(конспекты и вопросы в конце)

Äëÿ p ≠ ∞ положим

Lp(X, µ) := {f | f измерима и |f|p L1(X, µ)}.

Äëÿ p = ∞ определим L∞(X, µ) как множество измеримых существенно ограниченных функ-

öèé íà X (функцию f на пространстве X с мерой µ называют существенно ограниченной, если существует константа C = C(f) такая, что |f(x)| 6 C почти всюду).

Лемма 4.4.22. Для любых f1, f2 Lp(X, µ) è c1, c2 R имеем c1f1 + c2f2 Lp(X, µ),

в частности, Lp(X, µ) является векторным пространством.

Из леммы 4.4.15 следует, что

N(X, µ) Lp(X, µ)

и мы полагаем

Lp(X, µ) := Lp(X, µ)/N(X, µ).

По построению, Lp(X, µ) является вещественным векторным пространством.

Определим функцию расстояния dp между элементами пространства Lp(X, µ) следующим

Теорема 4.4.23. Пространство Lp(X, µ) с функцией расстояния (4.4.4) является метрическим пространством.

Замечание 4.4.24. В дальнейшем мы увидим, что Lp(X, µ) является полным метриче- ским пространством.

Пример 4.4.25. Рассмотрим пространство с мерой

(X = N, F = 2N, µ),

ãäå µ(i) = µi > 0, i > 1. Ясно, что всякая функция на пространстве N измерима. Пусть p > 1. Для функции f на N имеем:

n>1

В случае µ1 = µ2 = . . . = 1 имеем биективное сохраняющее расстояния отображение метри-

ческих пространств

φ : Lp(N, µ) → ℓp, φ(f) = (f(1), f(2), . . .).

Множество интегрируемых по Лебегу комплекснозначных функций на пространстве с мерой (X, µ) обозначают через L1(X, µ) (то есть также, как множество интегрируемых по

Лебегу вещественнозначных функций) и называют комплексным L1(X, µ). Аналогично определяют комплексные N(X, µ), Lp(X, µ) è Lp(X, µ), ãäå p [1, +∞] для которых выполнены

свойства, аналогичные соответствующим свойствам их вещественных аналогов. В частности, комплексное Lp(X, µ) является метрическим пространством.

4.5. Меры и интеграл Лебега в теории вероятностей

Конечное вероятностное пространство

(Ω = {ω1, . . . , ωn}, p)

это математическая модель возможного эксперимента в результате которого может быть получен один из n возможных исходов; эти исходы соответствуют элементам ω1, . . . , ωn ìíî-

жества Ω. Всякое подмножество A множества Ω интерпретируется как событие, состоящее в том, что в результате эксперимента будет получен исход, принадлежащий подмножеству A. Для измеримого подмножества A åãî ìåðà p(A) интерпретируется как вероятность события

A.

Пусть (Ω, p) конечное вероятностное пространство. Измеримые вещественнозначные функции вида

f : Ω → R

называют случайными величинами. По определению, σ-алгеброй, порожденной случайной величиной f называется f−1(B) (см. пример 3.1.6), где B борелевская σ-алгебра на R.

Åñëè f случайная величина, то интеграл Лебега

∫

fdp,

Ω

от нее называют математическим ожиданием случайной величины f и обозначают через M[f]. Грубо говоря, математическое ожидание случайной величины f показывает, какое "в среднем" значение примет функция f(x), åñëè x X взять случайно. Дисперсией случайной величины f называют значение интеграла∫Лебега

D[f] := (f − M[f])2dp.

Ω

Пример 4.5.1. Рассмотрим эксперимент, состоящий в том, что одновременно бросаются 3 монеты достоинством 1, 2 и 5 рублей. Каждая монета может упасть вверх орлом O или решкой R. Таким образом,

Ω = {OOO, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR}

(первая буква указывает как упал 1 рубль, вторая 2 рубля и третья 5 рублей). Интуитивно

ясно, что вероятность каждого из 8 исходов одинакова и, следовательно, эта вероятность равна 1 A, состоящее в том, что орлом выпало 6 1 монеты есть

8 . Событие

A = {ORR, ROR, RRO, RRR}.

Вероятность события A равна

p(A) = p(ORR) + p(ROR) + p(RRO) + p(RRR) =

1

2

Задача 4.6.9. На множестве X рассмотрим меры µ è ν по которым каждое подмножество

измеримо и

µ({x}) = f(x), ν({x}) = g(x),

ãäå

f, g : X → [0, +∞]

некоторые функции. Докажите, что мера ν абсолютно непрерывна по мере µ тогда и только тогда, когда g(x) = 0 для всякого x X такого, что f(x) = 0 и в этом случае найдите dµdν .

(Metr3) Используя аксиому (Norm3), получаем

d(v, u) + d(u, w) = v − u + u − w > (v − u) + (u − w) = v − w = d(v, w).

Как видно из следующих ниже примеров, многие определенные ранее метрические пространства являются нормированными пространствами.

Пример 5.1.3. (R, | · |) является вещественным нормированным пространством, а (C, | · |) является комплексным нормированным пространством.

Пример 5.1.4. Ïðè p > 1 метрическое пространство (Rn, dp) является нормированным

Пример 5.1.5. Метрическое пространство (Rn, d∞) является нормированным пространством с нормой

(x1, . . . , xn) ∞ := max{|x1|, . . . , |xn|}.

Это нормированное пространство обозначают через (Rn, · ∞). Аналогично определяют комплексное нормированное пространство (Cn, · ∞).

Пример 5.1.6. Метрическое пространство C[a, b] является вещественным нормированным пространством с нормой

Пример 5.1.8. Ïðè p > 1 вещественное и комплексное Lp(X, µ) являются нормированны-

ми пространствами; нормы в этих пространствах определяются одной формулой

∫ 1/p

f p := |f|pdµ .

X

То, что вещественное и комплексное Lp(X, µ) действительно являются нормированными пространствами вытекает из интегрального неравенства Минковского

которое мы приводим без доказательства.

Пример 5.1.9. Вещественное и комплексное L∞(X, µ) являются нормированными пространствами с нормой

f ∞ := inf{C | |f(x)| 6 C почти всюду}.

Пример 5.1.10. На прямом произведении нескольких метрических пространств можно различными способами определить метрику (см. пример 2.1.14). Аналогично, если

(V1, · 1), . . . , (Vn, · n)

нормированные пространства, то на прямой сумме

V = V1 . . . Vn := {(v1, . . . , vn) | vi Vi, 1 6 i 6 n}

нейным подпространством в R∞ (соотв. C∞).

(2)Вещественное (соотв. комплексное) ℓ∞ является линейным подпространством в R∞ (соотв. C∞).

i>1

(2) Вещественное (комплексное) ℓ∞ является нормированным пространством с нормой

(x1, x2, . . .) ∞ := sup |xi|.

i>1

Для интуитивного понимания норм ниже приведены рисунки замкнутых единичных шаров в некоторых нормированных пространствах.

•Говорят, что нормы · 1 è · 2 в пространстве V сравнимы, если одна из них не слабее другой.

•Говорят, что нормы · 1 è · 2 в пространстве V эквивалентны, если каждая из них не слабее другой, другими словами, существуют константы a > 0 è b > 0 такие,

В дальнейшем мы докажем, что в конечномерных векторных пространствах все нормы эквивалентны. В бесконечномерных пространствах существуют неэквивалентные и несравнимые нормы, см. задачу 5.6.12.

Лемма 5.1.14. Пусть V векторное пространство с нормами ·1 è ·2, причем норма· 1 не слабее нормы · 2. Тогда всякая последовательность элементов пространства V , сходящаяся относительно нормы ·1, также сходится относительно нормы ·2, причем к тому же пределу.

5.2. Операторы в нормированных пространствах

Отображение нормированного пространства в нормированное пространство называют оператором. Линейное отображение нормированного пространства в нормированное пространство называют линейным оператором. Напомним, что отображение φ : V → U векторных

пространств называют линейным, если

φ(λv + λ′v′) = λφ(v) + λ′φ(v′)

для любых v, v′ V , λ, λ′ K. В функциональном анализе изучают линейные операторы и

называют их просто операторами (операторы не являющиеся линейными нелинейные операторы изучают в нелинейном функциональном анализе). Обычно (но не всегда) операторы обозначают заглавными латинскими буквами, например, A, B, ... , а действие оператора на

вектор записывают приписывая слева букву, обозначающую оператор к букве, обозначающую вектор, например, Av, Bv, ... .

Среди всех операторов на нормированном пространстве V особую роль играют функци-

оналы. Функционалом на вещественном (соотв. комплексном) нормированном пространстве V называют оператор вида

φ : V → R (соотв. φ : V → C).

Пример 5.2.1. Отображение

φ : C[0, 1] → R, f(t) 7→f(0)

является функционалом.

Пример 5.2.2. Отображение

∫ t

A : C[0, 1] → C[0, 1], A(f)(t) = f(τ)dτ

0

является оператором.

Определение 5.2.3. Пусть V è U нормированные пространства и A : V → U оператор.

(1) Нормой оператора A называют число

A := sup Av

v 61

(допускается значение ∞).

(2) Оператор A называют ограниченным, если его норма конечна.

В частности, оператор A может быть функционалом и, таким образом,

(1)′ нормой функционала f на нормированном пространстве V называют число

f := sup f(v) ;

v 61

(2)′ функционал f называют ограниченным, если его норма конечна.

Пример 5.2.4. Норма функционала φ из примера 5.2.1 равна 1, а норма оператора A из примера 5.2.2 равна 1

2 .

Теорема 5.2.5 (Критерий непрерывности оператора) . Оператор непрерывен (как отображение метрических пространств) тогда и только тогда, когда он ограничен. В частности, функционал на нормированном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

Доказательство. (1) Докажем, что если оператор A : V → U непрерывен, то он ограничен. Из непрерывности A в 0 следует, что существует δ > 0 такое, что

A(BV (0, δ)) BU (0, 1).

откуда

sup Av 6 δ−1

v 61

и, следовательно, оператор A ограничен.

(2) Докажем, что если оператор A ограничен, то он непрерывен. Можно считать, что