Функциональный(конспекты и вопросы в конце)

Пример 3.3.10. Для множества натуральных чисел N имеем

N [1, 1] [2, 2] [3, 3] . . .

откуда следует, что λ (N) = 0. Аналогично доказывается, что внешняя мера всякого счетного подмножества в R равна 0.

Пример 3.3.11. λ (R) = ∞.

Пример 3.3.12. Докажем, что внешняя мера канторова множества C равна 0. Будем

использовать обозначения, которые мы ввели в Ÿ2.5 при опрелении канторова( ) множества. Нетрудно заметить, что Cn состоит из 2n отрезков суммарной длины 23 n. Отсюда и из

äëÿ âñåõ n и, следовательно, λ (C) = 0.

Определим теперь меру Лебега на R: подмножество A R назовем измеримым по мере Лебега, если для любого ε > 0 существует подмножество B, являющееся не более чем счетным объединением отрезков, такое, что

λ (A∆B) < ε;

для такого подмножества A положим его меру Лебега равной λ (A).

Доказательства того, что мера Лебега определена корректно состоит из большого числа технических проверок, которые мы опускаем. Как видно из определения, мера Лебега является полной и σ-конечной.

Пример 3.3.14. Пусть A R произвольное подмножество и A ∩ Q множество рациональных точек подмножества A. Так как Q счетно, то A ∩ Q счетно и, следовательно, λ (A ∩ Q) = 0 (см. пример 3.3.10) откуда следует, что A ∩ Q измеримо и λ(A ∩ Q) = 0.

Пример 3.3.15. Подмножество [0, 1]irr иррациональных точек на отрезке [0, 1] измеримо и его мера равна 1. Действительно,

λ ([0, 1]∆[0, 1]irr) = λ ([0, 1] ∩ Q) = 0

(см. пример 3.3.14), откуда следует, что [0, 1]irr измеримо. Имеем

λ([0, 1]irr) = λ([0, 1] \ ([0, 1] ∩ Q)) = λ([0, 1]) − λ([0, 1] ∩ Q) = 1 − 0 = 1.

Следующая лемма, которую мы принимаем без доказательства, дает интуитивно понятное описание измеримых по Лебегу подмножеств прямой R имеющих (1) конечную меру и (2)

такое, что

λ (A∆B) < ε.

(2)Подмножество A R измеримо по Лебегу и имеет меру ноль тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует не более чем счетное множество отрезков {[ai, bi]}i I , суммарной длины не более ε, объединение которых содержит A.

Мера Лебега на Rn.

Меру Лебега на Rn определяют аналогично мере Лебега на R. Обычно меру Лебега на Rn обозначают через λ. Ограничения меры Лебега на подмножества в Rn также называют мерами Лебега и также обычно обозначают через λ. Мера Лебега на Rn является полной и σ-конечной.

Укажем без доказательств некоторые факты о мерах Лебега.

•Â Rn существуют неизмеримые по Лебегу подмножества.

•Имеет место строгое включение

При этом для всякого измеримого по Лебегу подмножества A имеет место разложение

A = B N,

ãäå B борелевское, а N измеримое по Лебегу подмножество меры ноль (грубо

говоря, всякое измеримое по Лебегу подмножество является борелевским с точностью до подмножества лебеговой меры ноль).

Произведения конечного множества мер.

Лемма 3.3.17. Пусть (Xi, Fi, µi), 1 6 i 6 n σ-конечные пространства с мерами. Тогда на их произведении

X1 × . . . × Xn

существует единственная мера

µ1 × . . . × µn

(которую называют произведением мер µ1, . . . , µn) такая, что

(1)σ-алгеброй µ1 × . . . × µn-измеримых подмножеств является F1 . . . Fn;

(2)всякое подмножество вида A1 × . . . × An, ãäå Ai Fi, 1 6 i 6 n измеримо и имеет меру

(µ1 × . . . × µn)(A1 × . . . × An) = µ1(A1) · . . . · µn(An).

Ясно, что произведение вероятностных мер является вероятностной мерой, а произведение полных мер полной мерой.

Пример 3.3.18. Мера Лебега на Rn является произведением мер Лебега на R.

Пример 3.3.19. Пусть

конечные множества с мерами. Тогда для произведения µ × ν мер имеем:

Произведения произвольного множества мер.

Понятие прямого произведения конечного множества вероятностных мер можно обобщить до понятия произведения любого (не обязательно конечного) множества вероятностных мер. Полученные таким образом меры называют цилиндрическими.

Итак, пусть

{(Xi, µi)}i I .

произвольное множество пространств с вероятностными мерами. Рассмотрим их произведение ∏

X = Xi.

i I

Цилиндрическим подмножеством (иногда говорят просто цилиндром) произведения X íàçû-

вают всякое подмножество вида ∏

(3.3.1) C = C(Ai1 , . . . , Ain ) := Bi,

i I,

Bi = Ai äëÿ i = i1, . . . , in,

Bi = Xi для остальных i.

ãäå Ai1 Xi1 , . . . , Ain Xin измеримые подмножества.

Теорема 3.3.20. Íà X существует единственная полная вероятностная мера µ (êîòî-

рую называют произведением мер {µi}i I ) такая, что всякое цилиндрическое подмножество (3.3.1) измеримо и его мера равна

µ(C(Ai1 , . . . , Ain )) = µi1 (Ai1 ) · . . . · µin (Ain ).

Меры, являющиеся произведениями бесконечных множеств вероятностных мер, называют

цилиндрическими.

3.4. Некоторые понятия, связанные с мерами

Фиксируем пространство с мерой (X, F, µ).

Линейные комбинации мер.

Пусть X множество и µ1, . . . , µn меры на множестве X, σ-алгебры измеримых подмножеств которых есть F1, . . . , Fn соответственно. Тогда для любых c1, . . . , cn > 0 определена мера

µ = c1µ1 + . . . + cnµn.

А именно, σ-алгеброй µ-измеримых подмножеств является

∩

F = Fi

16i6n

è äëÿ A F имеем

µ(A) = c1µ1(A) + . . . + cnµn(A).

При этом если каждая мера µi вероятностна, то мера µ вероятностна тогда и только тогда, когда c1 + . . . + cn = 1.

Свойства, выполненые почти всюду.

Если некоторое свойство элементов пространства X выполнено всюду на пространстве X кроме, быть может, некоторого подмножества меры ноль, то говорят, что это свойство выполнено почти всюду на X.

Пример 3.4.1. Пусть f функция на X. Говорят, что функция f равна нулю почти всюду, если f равна нулю всюду кроме, быть может, некоторого подмножества меры ноль.

Например, нулевая функция и функция Дирихле

{

1 åñëè x Q,

f(x) :=

0 åñëè x / Q

почти всюду на R равны нулю.

Пример 3.4.2. Пусть f è g функции на X. Говорят, что f равна g почти всюду, и пишут

Сходимость измеримых подмножеств.

На множестве F µ-измеримых подмножеств "напрашивается" функция расстояния

d(A, B) := µ(A∆B).

Однако F с такой функцией расстояния может не быть метрическим пространством. Вопервых, если µ(X) = +∞, òî

d(X, ) = µ(X) = +∞,

что недопустимо для метрических пространств. Во-вторых, если A непустое подмножество в X ìåðû íîëü, òî

d(A, ) = µ(A) = 0 è A ≠

и, значит, не выполнена аксиома (Metr1) метрических пространств.

Хотя функция d, вообще говоря, не является метрикой на F, однако она позволяет определить на F понятие сходимости. А именно, последовательность µ-измеримых подмножеств {An} называют сходящейся по мере к µ-измеримому подмножеству A и пишут

µ

An −→ A,

åñëè

d(An, A) = µ(An∆A) → 0 ïðè n → ∞.

Таким образом на F имеется несколько типов пределов: возрастающий, убывающий, верх-

ний, нижний и по мере. Согласно утверждению задачи 3.6.13, меры хорошо согласованы с этими пределами.

Абсолютная непрерывность мер.

Ìåðó ν на пространстве X называют абсолютно непрерывной по мере µ, и пишут µ ν, åñëè

(1)всякое µ-измеримое подмножество ν-измеримо;

(2)для всякого µ-измеримого подмножества A X такого, что µ(A) = 0 выполнено

ν(A) = 0.

3.5. Индекс Херфиндаля и его обобщения

Согласно современным взглядам науки, рынки (мировой, отдельной страны, большого города, ... ) являются сложными системами (complex systems). Существуют и другие сложные системы, например, экосистемы (островов, континентов, ...), политические партии и движения в стране. Их изучением занимается теория сложных систем. Согласно этой теории, составляющие всякой сложной системы

(1)разнообразны;

(2)зависят друг от друга;

(3)постоянно адаптируются.

Причем перечисленными свойствами составляющие обладают в меру не слишком слабо

èне слишком сильно. Если у составляющих сложной системы каким-либо образом слишком ослабить или слишком усилить хоть одно из этих свойств, то система будет разрушена (перестанет быть сложной системой).

Существенным обстоятельством является то, что большинство сложных систем, с которыми имеет дело человечество, не следует разрушать. Для этого, в частности, необходимо следить, чтобы составляющие таких системы в меру обладали свойством (1), то есть были в меру разнообразны. Для контроля над разнообразием составляющих сложной системы используют индексы разнообразия. Индексы разнообразия можно определять многими способами и самого лучшего универсального определения не существует.

Âэкономике в качестве индекса разнообразия чаще всего используют индекс Херфиндаля

èназывают его степенью концентрации рынка (производителей автомобилей, грузоперевоз- чиков, ...). А именно, если на рынке работают фирмы

A1, A2, . . . , An,

товарообороты которых соотносятся как

k1 : k2 : . . . : kn,

ãäå k1 + k2 + . . . + kn = 1, то индексом Херфиндаля называют число

H := k12 + k22 + . . . + kn2 .

Ïðè ýòîì

•ïðè H 6 0.01 рынок считается неконцентрированным высококонкурентным;

•ïðè 0.01 6 H 6 0.1 рынок считается неконцентрированным;

•ïðè 0.1 6 H 6 0.18 рынок считается среднеконцентрированным;

•ïðè 0.18 6 H рынок считается высококонцентрированным.

Âбиологии в качестве индексов разнообразия чаще всего используют индекс Симпсона и энтропию Шеннона. Если биосистему составляют виды

A1, A2, . . . , An,

биомассы которых соотносятся как

k1 : k2 : . . . : kn,

ãäå k1 + k2 + . . . + kn = 1, то индексом Симпсона называют число

k12 + k22 + . . . + kn2 ,

а энтропией Шеннона называют число

−k1 ln k1 − k2 ln k2 − . . . − kn ln kn.

Чтобы понять, почему перечисленные выше индексы могут давать неправильное представление о разнообразии, приведем примеры.

Пример 3.5.1. Рассмотрим два рынка. На каждом работают по 15 фирм с равными товарооборотами. На первом рынке контрольными пакетами акций фирм владеют разные банки,

на втором рынке один банк владеет контрольными пакетами акций каждой из 15 фирм. Индексы Херфиндаля этих рынков одинаковы и равны 1

15 . Однако ясно, что первый рынок неконцентрирован, а на втором рынке фактически имеет место высокая концентрация.

Пример 3.5.2. Рассмотрим две биосистемы. Первая содержит 5 видов птиц, 5 видов гры-

зунов и 5 видов рыб, а вторая 15 видов грызунов. Индексы Симпсона этих систем одинаковы и равны 1

15 . Однако очевидно, что первая система разнообразнее чем вторая.

На этих примерах ясно почему индексы Симпсона и Херфиндаля могут давать неправильные представления о разнообразии: эти индексы не учитывают то, насколько близки составляющие системы. Возникает естественная

Задача: Для сложных систем данного типа определить индекс разнообразия, который бы учитывал степень близости составляющих системы.

Эту задачу можно решать следующим образом.

1-ый шаг. Для возможных составляющих сложных систем данного типа фиксируются степени близости между возможными составляющими этих систем. (о том, как это можно сделать, см. замечание 2.1.19). После этого для всякой системы A данного типа с

составляющими A1, A2, . . . , An на множестве

A = {A1, A2, . . . , An}

определяется метрика d так, что расстояние d(Ai, Aj) равно степени близости составляющих Ai è Aj. На метрическом пространстве A мы имеем вероятностную меру µ такую, что

µ(Ai) := {доля составляющей Ai в системе A}.

Таким образом, A является конечным вероятностным метрическим пространством . 2-ой шаг. Ищется универсальная для всех систем данного типа функция

Φ : {конечные вероятностные метрические пространства } → R

подставляя в которую конечное вероятностное метрическое пространство, соответствующее сложной системе данного типа, будем получать индекс разнообразия этой сложной системы. Придумать "хорошую" функцию Φ математическая задача. Функция Φ на

примерах оценивается специалистами по сложным системам данного типа на предмет того, насколько она хорошо определяет индекс разнообразия (другими словами, специалисты проводят экспертную оценку).

3.6. Задачи

Задача 3.6.1. Рассмотрим конечное множество X = {a1, . . . , a5}. Перечислите элементы σ-алгебры, порожденной подмножествами

{a1, a4, a5}, {a1, a2, a3, a5}.

Задача 3.6.2. На множестве

X = {a1, a2, a3, a4}

рассмотрим функции f è g, ãäå

f(a1) = f(a2) = 0, f(a3) = f(a4) = 1

g(a1) = g(a3) = 0, g(a2) = g(a4) = 1.

Пусть F σ-алгебра, порожденная функциями f è g (см. пример 3.1.6).

(1)Приведите пример вероятностной меры на X, по которой множество измеримых подможеств совпадает с F.

(2)Можно ли в (1) так подобрать вероятностную меру, чтобы f è g (рассматриваемые как случайные величины) были независимы.

Задача 3.6.3. Пусть

не является σ-алгеброй.

(2) Докажите, что σ-алгебра, порожденная подмножеством (3.6.1), совпадает с 2X×Y .

Задача 3.6.4. Пусть X множество и

F := {A X | |A| < +∞} {A X | |X \ A| < +∞} 2X .

Докажите, что F является σ-алгеброй тогда и только тогда, когда X конечно.

Задача 3.6.5. Пусть (X, µ) пространство с мерой. Докажите, что для любых измеримых подмножеств A B множества X выполнено

µ(A) = µ(B) + µ(A \ B)

(и, следовательно, µ(A) > µ(B)).

Задача 3.6.6. Пусть (X, µ) пространство с мерой. Докажите, что для любых измеримых подмножеств A1, A2 множества X выполнено

µ(A1 A2) = µ(A1) + µ(A2) − µ(A1 ∩ A2).

Задача 3.6.7. Пусть (X, µ) пространство с мерой. Докажите, что для любых измеримых подмножеств A1, A2, A3 множества X выполнено

µ(A1 A2 A3) = µ(A1) + µ(A2) + µ(A3)−

− (µ(A1 ∩ A2) + µ(A1 ∩ A3) + µ(A2 ∩ A3)) + µ(A1 ∩ A2 ∩ A3).

Задача 3.6.8. Пусть (X, µ) пространство с мерой, A, B X такие измеримые подмножества, что µ(A∆B) = 0. Докажите, что µ(A) = µ(B).

Задача 3.6.9. Пусть (X, µ) пространство с мерой. На множестве µ-измеримых подмножеств множества X рассмотрим бинарное отношение , где

A B µ(A∆B) = 0.

Докажите, что является отношением эквивалентности.

Задача 3.6.10. Пусть X множество и An X, n > 1 подмножества. Докажите, что

Задача 3.6.11. Пусть (X, µ) пространство с мерой и An X, n > 1 измеримые подмножества. Докажите, что

Задача 3.6.19 (Схема Бернулли). Фиксируем 0 6 p 6 1, n N и рассмотрим вероятностные пространства

(Xi = {0, 1}, µi), 1 6 i 6 n,

ãäå µi(0) = p, µi(1) = 1 − p, и их произведение

∏

16i6n

ñпроизведением мер µ = µ1 × . . . × µn.

(1)Докажите, что каждая точка (a1, . . . , an) X (как подмножество в X) измерима и найдите ее меру.

(2)Äëÿ 0 6 k 6 n вычислите µ(Ak), ãäå

Задача 3.6.20. Рассмотрим вероятностные пространства

(Xi = {0, 1}, µi), i > 1,

ãäå µi(0) = µi(1) = 12 , и их произведение

∏

X = Xi

i>1

с цилиндрической мерой µ. Докажите измеримость следующих подмножеств пространства X и найдите их меры.

(1){(x1, x2, . . .) | x1 + x2 > x3 + 1};

(2){(a1, a2, . . .)}, ãäå a1, a2, . . . некоторая фиксированная последовательность из нулей и единиц;

(3){(x1, x2, . . .) | x1 + . . . + xn > 100 для некоторого n};

(4){(x1, x2, . . .) X | xn = . . . = xn+9 = 0 для некоторого n}.

Задача 3.6.21. Рассмотрим вероятностные пространства

(Xi = [0, 1], µi), i > 1,

ãäå µi = λ мера Лебега, и их произведение

∏

X = Xi

i>1

с цилиндрической мерой µ. Докажите, что следующие подмножества измеримы и найдите их меры.

Задача 3.6.22 (Канторова лестница) . Рассмотрим функцию

Докажите, что функция c

(1)непрерывна;

(2)неубывает;

(3)локально постоянна вне канторова множества;

(4)взаимно однозначно отображает канторово множество на отрезок [0, 1].

Замечание 3.6.23. Функцию c из задачи 3.6.22 называют канторовой лестницей или чертовой функцией ; на отрезке [0, 1] она растет только на канторовом подмножестве (которое имеет меру 0) и при этом успевает вырасти от 0 до 1. Кроме того, c непрерывно и взаимно однозначно отображает канторово множество C (имеющее меру 0) на отрезок [0, 1] (имеющий меру 1). С помощью канторовой лестницы несложно построить подмножество A R, которое не является борелевским, но измеримо по Лебегу.