Функциональный(конспекты и вопросы в конце)

(2)d4((1, 2, 0), (0, 2, 3));

(3)d∞((1, 1, 1, 1), (1, −1, 1, −1)).

Задача 2.6.6. В пространстве ℓp найдите расстояния

(1)d1((1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, . . .), (0, 0, 0, . . .));

(2)d∞((−1, 1, 0, 0, 0, . . .), (0, 0, 8, 0, 0, 0, . . .));

(3)d2((−1, 1, 0, 0, 0, . . .), (12 , 212 , 213 , 214 , . . .)).

Задача 2.6.7. В пространстве C[−1, 2] найдите расстояния

(1) d(t2, t); (2) d(|t|, 2t ).

Задача 2.6.8. (1) Докажите, что в метрическом пространстве шар меньшего радиуса содержится в шаре большего радиуса с тем же центром, причем включение может быть нестрогим.

(2)Покажите на примере, что в метрическом пространстве шар меньшего радиуса может строго содержать шар большего радиуса.

следует B(x, r) ∩ B(x′, r′) = ;

(2)Покажите на примере, что в метрическом пространстве из d(x, x′) < r + r′, вообще говоря, не следует B(x, r) ∩ B(x′, r′) ≠ ;

(3) Докажите, что в метрическом пространстве из r > d(x, x′) + r′ следует B(x, r)

B(x′, r′).

Задача 2.6.10. Пусть (X, d) метрическое пространство. На X рассмотрим функцию

расстояния

δ(x, x′) := f(d(x, x′)),

ãäå

f: [0, +∞) → [0, +∞)

равная нулю в нуле, строго возрастающая, вогнутая функция. Докажите, что пространство X с функцией расстояния δ является метрическим пространством.

Задача 2.6.11. На множестве N натуральных чисел определим функцию расстояния

Докажите, что N с такой функцией расстояния является метрическим пространством.

Задача 2.6.12 (Метрика Хемминга). Пусть A некоторый алфавит, состоящий из конеч- ного множества букв, An множество слов длины n над алфавитом A. Определим расстояние между словами:

d((a1, a2, . . . , an), (a′1, a′2, . . . , a′n)) = {число позиций i на которых ai ≠ a′i}.

Докажите, что пространство An с такой функцией расстояния является метрическим пространством.

Задача 2.6.13. Пусть A некоторый алфавит, состоящий из конечного множества букв, A множество слов конечной длины над алфавитом A. Рассмотрим следующие элементарные преобразования над словами из A :

•удаление с произвольного места одной буквы;

•добавление на произвольное место одной буквы;

•замена на произвольном месте одной буквы на другую букву.

Задача 2.6.28. Замкнуты ли в пространстве C[0, 1] следующие подмножества

(1)подмножество многочленов степени не больше n, ãäå n > 0;

(2)подмножество многочленов степени n, ãäå n > 0;

(3)подмножество многочленов произвольной степени?

Задача 2.6.29. Пусть A, B подмножества метрического пространства X. Докажите, что

Задача 2.6.30. Докажите, что гильбертов кирпич

{ }

(x1, x2, . . .) ℓ2 | |xn| 6 n1 äëÿ âñåõ n > 1

является замкнутым ограниченным компактным подмножеством в ℓ2.

Задача 2.6.31. Докажите, что отображение метрических пространств непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого подмножества открыт.

Задача 2.6.32. Верно ли, что при непрерывном отображении метрических пространств образ открытого подмножества открыт?

Задача 2.6.33. Верно ли, что при непрерывном отображении метрических пространств образ замкнутого подмножества замкнут?

Задача 2.6.34. Докажите, что при непрерывном отображении метрических пространств образ компактного подмножества компактен.

Задача 2.6.35. Докажите теорему Вейерштрасса: непрерывная на метрическом пространстве функция на всяком компактном подмножестве этого пространства ограничена и достигает своей нижней и верхней грани.

Задача 2.6.36. Пусть (X, d) метрическое пространство и x0 X. Докажите, что функция

является полным метрическим пространством.

Задача 2.6.39. Докажите, что подмножество полного метрического пространства полно как метрическое пространство с индуцированной метрикой тогда и только тогда, когда оно замкнуто.

Задача 2.6.40. Докажите, что метрическое пространство состоящее из конечного множества точек полно.

Задача 2.6.41. Докажите, что произведение полных метрических пространств полно относительно каждой из перечисленных в примере 2.1.14 метрик.

Задача 2.6.42. (1) На примере покажите, что при непрерывном отображении метри- ческих пространств последовательность Коши может перейти в последовательность, которая не является последовательностью Коши.

(2)Докажите, что при непрерывном отображении полного метрического пространства в метрическое пространство последовательность Коши переходит в последовательность Коши.

Задача 2.6.43. Докажите, что при p > 1 подмножество

{(x1, x2, x3, . . .) | xn = 0 для почти всех n} пространства ℓp всюду плотно в нем.

Задача 2.6.44. Рассмотрим интервал (0, 1) как метрическое пространство с обычной метрикой. Докажите, что

(1) сжимающее отображение

имеет неподвижную точку;

(2) сжимающее отображение

не имеет неподвижной точки.

Задача 2.6.45. Докажите, что если φ : X → X сжимающее отображение, то для любого n N отображение φn : X → X является сжимающим.

Задача 2.6.46. Рассмотрим метрическое пространство R2 со стандартной метрикой. До-

не является сжимающим, но отображение φn является сжимающим для всех n > 1.

Задача 2.6.47. Рассмотрим метрическое пространство [1, ∞) со стандартной метрикой. Докажите, что отображение

является сжимающим.

Задача 2.6.48. Пусть X - метрическое пространство, причем из всякой ограниченной последоваетельности в X можно выделить сходящуюся подпоследовательность и X множество непустых ограниченных замкнутых подмножеств в X. Докажите, что функция расстояния (2.5.1) на множестве X удовлетворяет аксиоме (Metr2), но, вообще говоря, не удовлетворяет аксиомам (Metr1) è (Metr3) метрических пространств.

Задача 2.6.49. В метрическом пространстрве X = R1 со стандартной метрикой найдите расстояния Хаусдорфа ρH (A, B) для следующих A, B X:

(1)A = [0, 1], B = [2, 3];

(2)A = {1, 2, 5, 9, 17}, B = {2, 38, [3, 4]}.

Задача 2.6.50. В метрическом пространстрве X = R2 со стандартной метрикой найдите расстояния Хаусдорфа ρH (A, B) для следующих A, B X:

(1)A = {(0, 0)}, B = {(2, 3), (−1, −2)};

(2)A = {(2, 1), (3, 4)}, B = {(0, 1), (1, −3)};

(3)A = {(x, y) | x2 + y2 = 4}, B = {[(0, 1), (1, 0)]}.

Пусть X множество и I подмножество в 2X . В такой ситуации σ-алгеброй порожденной I называют минимальную по включению σ-алгебру, содержащую I.

Пример 3.1.7. Борелевская σ-алгебра топологического пространства порождена открытыми подмножествами этого пространства.

Пример 3.1.8. Пусть A, B σ-алгебры подмножеств множеств X è Y соответственно.

Рассмотрим

A × B := {A × B X × Y | A A, B B} 2X×Y .

Заметим, что A×B, вообще говоря, не является σ-алгеброй (см. задачу 3.6.3). Порожденную подмножеством A × B σ-алгебру подмножеств множества называют произведением σ-алгебр A è B и обозначают через A B. Аналогично определяют произведение любого конечного множества σ-алгебр.

Следующая очевидная теорема дает описание σ-алгебр подмножеств конечных множеств.

Теорема 3.1.9. Рассмотрим конечное множество X.

(1) Пусть X1, . . . , Xn попарно непересекающиеся подмножества, объединение которых есть X. Тогда

i I

образует σ-алгебру.

(2)Всякая σ-алгебра F 2X имеет вид (3.1.1) для некоторых попарно непересекающихся подмножеств X1, . . . , Xn, объединение которых есть X.

Множество с фиксированной σ-алгеброй подмножеств называют измеримым пространством.

3.2.Определение мер

Âтеории меры и теории интеграла Лебега используют расширенную числовую прямую. Напомним, что расширенной числовой прямой называют

R := R {−∞} {+∞}.

При этом элементы из R называют конечными числами, а элементы −∞ è ∞ называют

бесконечными числами. Арифметические операции, определенные над конечными числами, распостраняются на расширенную числовую прямую следующим образом:

∞ − ∞ è ±∞ ±∞

неопределены. Естественным образом на R определяют промежутки [a, b], [a, b), (a, b] è (a, b), ãäå a, b R, a 6 b.

Сначала мы определим технически самые простые меры меры на конечных множествах, по которым каждое подмножество измеримо.

µ(A) := |A|.

Пример 3.2.3 (Мера Дирака на конечном множестве) . Фиксируем x0 X и для подмножества A множества X положим

Следующая теорема очевидна.

Теорема 3.2.4. Пусть X = {x1, . . . , xn} - конечное множество. Тогда

(1) всякая мера на X, по которой каждое подмножество измеримо, определяет числа

µ1 = µ(x1), . . . , µn = µ(xn) [0, +∞]

(2) всякие числа µ1, . . . , µn [0, +∞] определяют меру µ íà X, по которой каждое

Эта теорема дает описание мер на конечных подмножествах, по которым каждое подмножество измеримо. А именно, задать такую меру на конечном множестве это все равно, что определить меру каждого элемента этого множества; при этом мера подмножества равна сумме мер входящих в него элементов.

Рассмотрим произвольное множество X.

Кажется естественным желание определить меру µ на множестве X так, чтобы для каждого подмножества A X åãî ìåðà µ(A) существовала, показывала насколько оно велико и

при этом для мер подмножеств были выполнены естественные свойства. Однако оказалось, что для теории и приложений необходимо рассматривать меры, по которым меры некоторых подмножеств не определены (даже в случае, когда множество X конечно). Кроме того,

оказалось, что для многих естественно определенных мер существуют подмножества, меры которых не определены.

Пример 3.2.5. В пространстве R3 рассмотрим единичную сферу S2. Оказывается, на сфере S2 невозможно определить меру µ, по которой измеримыми являются все подмноже-

ãäå A′1, . . . , A′n, B1′ , . . . , Bm′ получены соответственно из A1, . . . , An, B1, . . . , Bm параллельными переносами и поворотами. Тогда, с одной стороны,

µ(S2) = 4π,

а с другой стороны,

Таким образом, при определении меры на множестве, не следует требовать, чтобы для каждого подмножества была определена его мера.

Общее определение меры следующее.

Определение 3.2.6. Говорят, что на множестве X задана мера µ, если определены измеримые (также говорят µ-измеримые) подмножества множества X и для всякого измеримого подмножества A определена его мера

µ(A) [0, +∞]

так, что выполнены следующие аксиомы. (Measure1) è X измеримы, причем µ( ) = 0.

(Measure2) Для всякого измеримого подмножества A его дополнение X \ A измеримо. (Measure3) Объединение и пересечение не более чем счетного множества измеримых под-

Множество X с определенной на нем мерой µ называют пространством с мерой и обозна- чают через (X, µ) или через (X, F, µ), ãäå F обозначает множество измеримых подмножеств пространства X. Из определения следует, что множество измеримых подмножеств пространства X является σ-алгеброй подмножеств в X. В частности, для любых измеримых подмножеств A è B их разность A \ B и симметрическая разность A∆B измеримы. Согласно

утверждениям задач 3.6.11 и 3.6.12, возрастающий и убывающий пределы, а также верхний и нижний пределы последовательностей измеримых подмножеств измеримы.

Пространство с мерой (X, µ), такое, что µ(X) = 1, называют вероятностным простран-

ством.

Подчеркнем, что для меры существенным является множество измеримых по ней подмножеств. Например,

(X1, F1, µ1), ãäå X1 = {a, b}, F1 = { , {a}, {b}, {a, b}},

{

µ1(A) =

0, åñëè a A,

1, åñëè a / A

разные пространства с мерами так как F1 ≠ F2 (õîòÿ X1 = X2 и "вроде бы" µ1 = µ2). Пространство с мерой X называют полным, если для любого измеримого подмножества

A X, имеющего меру нуль, любое подмножество в A измеримо и, как нетрудно вывести

из аксиом меры, имеет меру нуль (не путать полные пространства с мерами с полными метрическими пространствами). Если пространство с мерой не является полным, то его можно подправить на подмножествах меры ноль и сделать полным, согласно следующей лемме.

Лемма 3.2.7. Пусть (X, µ) пространство с мерой. Определим меру µ′ íà X следующим образом: подмножество A является µ′-измеримым тогда и только тогда, когда существуют µ-измеримые подмножества A− è A+ такие, что

A− A A+ è µ(A+ \ A−) = 0;

для такого подмножества A положим его µ′-ìåðó равной

µ′(A) = µ(A−).

Тогда мера µ′ является корректно определенной полной мерой, причем всякое µ-измеримое подмножество A также µ′-измеримо и µ′(A) = µ(A).

Большинство мер, которые встречаются в функциональном анализе и его приложениях, являются полными.

Пространство X называют σ-конечным, если

X = Xn,

n>0

где каждое Xn измеримо и имеет конечную меру. Всякое вероятностное пространство σ-конеч- но. Пространство, состоящее из одной точки x с мерой µ такой, что µ(x) = +∞, не является σ-конечным.

3.3. Примеры мер

Пример 3.3.1. Всякая мера на конечном множестве, по которой измеримо всякое подмножество (см. определение 3.2.1), является мерой в смысле определения 3.2.6.

Пример 3.3.2. На произвольном множестве X определим меру µ так, что измеримым является только пустое подмножество (его мера равна нулю) и X (его мера равна 1). Тогда X с такой мерой µ является вероятностным пространством.

Пример 3.3.3 (Мера Дирака). Определим меру на множестве X следующим образом: возьмем произвольную точку x0 X и объявим всякое подмножество A X измеримым и

положим его меру равной {

δx0 (A) :=

1, åñëè x0 A,

0, åñëè x0 / A.

Нетрудно заметить, что эта мера является вероятностной.

Пример 3.3.4. На произвольном множестве X определим меру следующим образом: вся-

кое подмножество измеримо и его мера равна числу содержащихся в нем точек. Эта мера σ-конечна тогда и только тогда, когда множество X не более чем счетно.

Пример 3.3.5. Íà Rn определим меру следующим образом: всякое подмножество измеримо и его мера равна числу содержащихся в нем точек с целочисленными координатами.

Пример 3.3.6 (Обобщение предыдущего примера) . Пусть X множество,

ZX

подмножество и каждому элементу z Z сопоставлено число µz > 0. Всякое подмножество

A X объявим измеримым и положим

∑

µ(A) = µz

z A

Нетрудно проверить, что аксиомы меры выполнены.

Пример 3.3.7. Пусть (X, µ) пространство с мерой и Y X некоторое измеримое подмножество. Определим на Y ìåðó µ|Y следующим образом: по мере µ|Y подмножество

A Y измеримо тогда и только тогда, когда оно, как подмножество в X, измеримо по мере µ; в этом случае полагаем

µ|Y (A) = µ(A).

Нетрудно заметить, что мера µ|Y определена корректно. Меру µ|Y называют ограничением ìåðû µ íà Y . ßñíî, ÷òî åñëè ìåðà µ полна, то ее ограничение на любое измеримое подмножество полно.

Пример 3.3.8. Пусть (X, µ) пространство с мерой. Всякое µ-измеримое подмножество B такое, что 0 < µ(B) < +∞ определяет меру µB íà X следующим образом: по мере µB

подмножество A X измеримо тогда и только тогда, когда оно измеримо по мере µ; в этом случае полагаем

µ(A ∩ B)

µB(A) := µ(B) .

Нетрудно проверить, что мера µB определена корректно. Ясно, что мера µB является полной вероятностной мерой.

Мера Лебега на R.

На интуитивном уровне, мера Лебега подмножества A R равна длине подмножества A. Обычно меру Лебега на R обозначают через λ. Ограничения меры Лебега на подмножества в R также называют мерами Лебега и также обычно обозначают через λ. Мера Лебега на R

ßñíî, ÷òî åñëè A B R, òî

λ (A) 6 λ (B).

Лемма 3.3.9. Для дизъюнктного объединения промежутков

A = Ai,

i I