LekSe1-2-28o
.pdf
7. Найти обратную матрицу для матрицы из предыдущего примера
методом элементарных преобразований.
Решение
Запишем матрицу A1
приписав к матрице A справа единичную матрицу,
|
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
||||||||
A |
|
4 |
5 |
6 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
7 |
8 |
10 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполняя, элементарные преобразования, находим
(на первом шаге мы выбрали
в качестве разрешающего элемент a11 = 1 на втором – элемент a22 = –3,
на третьем – элемент a33 = 1)
1 A1 4
7
|
|
|
|
1 |
0 |
|
||
|
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
2 3 1
5 6 0
810 0
5
1 3
2 4
3
1 1
00
10
01
2 |
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
, |
3 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
0 |
|
||||||
|
0 |
3 |
6 |
|
4 |
1 |
|
|
|||||
|
0 |
6 |
11 |
|
7 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|||||
|
1 |
0 |
0 |
3 |
3 |
||
|
|
|
|||||
|
0 |
1 |
0 |
|
2 |
11 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
3 |
3 |
|
|
1 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
0 ,
1
2 .
В правой части последней матрицы стоит A 1
8. Решить c помощью обратной матрицы систему линейных уравнений
x1 2x2 3x3 1,4x1 5x2 6x3 2,7x1 8x2 10x3 3.
Решение
Поскольку матрица системы
совпадает с матрицей A из примеров 6 и 7,
то можем использовать полученную обратную матрицу
Положим x |
x1 |
|
x2 |
, |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
b |
|
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
и получим по формуле
|
|
|
2 |
|
4 |
x A 1b |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
3 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
11 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
2 |
|
2 . |
|||||
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 2