LekSe1-2-28o

Примеры линейных пространств:

1)арифметическое n-мерное векторное пространство Rn

2)пространство решений произвольной однородной системы линейных уравнений

3)множество многочленов

4)множество многочленов степени, не превышающей n

3.Вектор a вида

a k1a1 k2a2 ... ksas,

где k1,k2,...,ks произвольные числа,

называют

линейной комбинацией векторов a1,a2,..., as

4. Для системы векторов a1,a2,...,as V множество всевозможных линейных комбинаций

a k1a1 k2a2 ... ksas

называют линейной оболочкой

или

подпространством, порожденным этой системой векторов

5. Система векторов a1,a2,...,as V называется

линейно зависимой,

если

существуют такие числа c1,c2,...,cs, не равные нулю c1a1 c2a2 ... csas 0 одновременно, что

6. Если равенство c1a1 c2a2 ... csas 0

возможно только в случае, когда c1 c2 ... cs 0, то система векторов называется линейно независимой

7. В пространстве Rn любая система, содержащая более чем n векторов, линейно зависима.

8. Линейно независимая система векторов

a1,a2,...,as V

называется базисом линейного пространства V

если линейная оболочка векторов системы совпадает с V

В этом случае говорят, что размерность пространства V равна s и записывают это так:

dim V = s

В частности, dim Rn = n

9. Размерность линейной оболочки системы векторов

a1,a2,...,as V

называется рангом этой системы

10. Если a1,a2 , , as - базис пространства V,

то любой вектор x V однозначно представим в виде линейной комбинации векторов a1,a2 , , as, т.е.

x k1a1 k2a2 ksas.Это равенство называют

разложением x по данному базису, а коэффициенты k1, ,ks координатами вектора x в данном базисе.

11.Базис пространства решений линейной однородной системы уравнений называется

фундаментальным набором решений.

12.Базис пространства Rn называется ортогональным, если входящие в него векторы попарно ортогональны.

4. Найти ранг и базис данной системы векторов a= (3; 10; 6), b= (1; 4; 2), c= (–1; 1; 2),

d= (1; 3; –2); k= (0; 5; 4)

и разложение векторов системы по полученному базису.

Решение

Найдем x1, x2, x3, x4, x5, такие, что

x1a x2b x3c x4d x5k 0. (3)

Это равенство равносильно системе линейных однородных уравнений, в которой

координаты векторов a, b, c, d, k

образуют столбцы матрицы коэффициентов:

Расширенная матрица системы имеет вид

где , – произвольные числа.

(4) a, b, d (соответствующ. базисным неизвестным) линейно независимы их можно взять базисом

ранг данной системы векторов равен 3

Полагая в (5) = 1, = 0 и подставляя полученное

решение в (3), имеем

c a 3b d.

Аналогично, полагая в (5) = 0, = 1, из (3) получаем k 2a 7b d.

Из последних двух соотношений видно, что в столбцах матрицы (4),

соответствующих векторам c и k

находятся координаты этих векторов в данном базисе.

§3. Матрицы

1. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица

из чисел aij в m строках и n столбцах. Числа aij называются элементами матрицы; первый индекс i - номер строки,

авторой j – номер столбца,

вкоторых находится этот элемент.

3. Матрица, получаемая из матрицы A заменой строк на столбцы (с сохранением их порядка), называется

транспонированной к A и обозначается AT.

4. Матрица размера n n называется квадратной, а число n – ее порядком.

5.Квадратная матрица A называется симметрической, если AT = A.

6.Диагональной называется квадратная матрица вида

т.е. матрица, у которой все элементы вне

главной диагонали равны нулю