LekSe1-2-28o
.pdf
14. Появление в расширенной матрице строки вида
0 0 b , b 0,
соответствующей уравнению
0x1 0x2 ... 0xn b,
доказывает несовместность системы (1)
15. Если противоречивых строк не возникло
то за конечное число шагов матрицу приводят к
упрощенному виду,
когда в каждой строке имеется элемент равный единице,
причем остальные элементы в столбце содержащем этот элемент, равны нулю
16. Указанные столбцы и соответствующие им неизвестные называют базисными. В число базисных попадают все столбцы, бывшие ранее разрешающими
17. Неизвестные, не ставшие базисными, называют
свободными.
Если свободных неизвестных не оказалось, то
система (1) имеет единственное решение
(является определенной)
Если же свободные неизвестные есть, то система (1) имеет бесконечно много решений
(является неопределенной)
18. Общее решение системы получают заменой базисных неизвестных
их выражениями через свободные.
Придавая свободным неизвестным произвольные значения,
и определяя по ним значения базисных неизвестных,
можно получить любое решение системы.
19. Базисным решением
называют решение,
отвечающее
нулевым значениям
свободных неизвестных
21. Один шаг метода Гаусса-Жордана:
1)Определяют разрешающий элемент aqp
строку q и столбец p
2)Все элементы разрешающей строки q делят на разрешающий элемент.
3)Остальные элементы разрешающего столбца p
заменяют нулями 4) Остальные элементы расширенной матрицы
пересчитывают по “правилу прямоугольника” с вершинами в qp и ij:
aij |
|
aqpaij aipaqj |
, bi |
aqpbi aipbq |
, (j ≠ q) |
aqp |
|
||||
|
|
|
aqp |
||
aij aij aip aqj, bi bi aipbq, (j ≠ q)
x1 2x2 3x3 9
1)3x1 7x2 11x3 36 Заносим данные в таблицу
3x1 3x2 2x3 4
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
||
|
x1 |
x2 |
ai0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
-2 |
9 |
5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
||
Исходная |
|
|
-3 |
|
7 |
|
|
-36 |
|
-21 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
-3 |
|
-2 |
|
|
-4 |
|
|
|
-6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Последний столбец —сумма элементов строки
( и остается таковой при правильных вычислениях)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
-2 |
|
-3 |
|
|
9 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
I итерация |
|
|
0 |
1 |
|
-9 |
-6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
3 |
|
7 |
|
|
-31 |
|
-21 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому вычисления производятся по строкам.
Выбираем в матрице любой элемент ≠0, тем самым разрешающий столбец (первый) и строку ( первую)
В I итерации выделенный столбец пишем единичным, а выделенную строку переписываем без изменения (Если разрешающий элемент не единица, то разрешающую строку в новой таблице делят на него) Остальные элементы считаем по прав. "прямоуг-ка":
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aiq apk |
|
|
aiq |
|
aik |
|
|
aik ' aik |
, i —№ стр., k — столб. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
apq |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
apq |
|
|
|
apk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например: элемент a33' (новый)
вычисляется по формуле:
a33 ' a33 |
|
a31 a13 |
2 |
3 3 |
7. |
|
1 |
||||
|
|
a11 |
|
||
Просчитав всю строку (включая сумму), проверяем,
является ли новое значение суммой по строке.
Например, 3-я строка в I итерации:
0 3 7 31 21
Если да, то ошибки в вычислениях нет.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
-2 |
|
|
|
- 3 |
|
9 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
-9 |
|
|
-7 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
-5 |
|
|
-4 |
I итерация |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
-9 |
|
|
-6 |
|
|
II ит. |
|
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
|
-9 |
|
|
-6 |
|
III ит. |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
-1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
3 |
|
|
7 |
|
-31 |
-21 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
-4 |
|
|
-3 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
-4 |
|
|
-3 |
||||
В таблице I итерации выбираем разрешающий
элемент (≠0) так, чтобы новые разрешающие строка и столбец не повторились с уже использованными,
и аналогично просчитываем элементы II итерации
Если в выбранном разрешающем столбце (строке) окажется элемент, равный нулю, то соответствующая строка (столбец) переписывается без изменений.