LekSe1-2-28o
.pdf
§6. Обратная матрица
1. Пусть A – квадратная матрица порядка n.
Матрица A–1 называется обратной к матрице A, если
A A–1 = A–1 A = E,
где E – единичная матрица
2. Для того чтобы матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы матрица A
была невырожденной, т.е. |A| 0
3. Обратная матрица находится по формуле
A 1 |
|
1 |
|
A* T |
(1) |
|
|
|
|
||||
A |
||||||
|
|
|
|
|
где A* – так называемая присоединенная матрица, т.е. матрица, составленная из
алгебраических дополнений элементов матрицы A,
A |
A |
A |
|
|
11 |
12 |
1n |
|
|
A* A21 |
A22 |
A2n |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
An2 |
|
|
|
An1 |
Ann |
|
||
а T – означает транспонирование.
4.Другим методом можно найти обратную матрицу
спомощью элементарных преобразований
Кматрице A приписывают справа единичную матрицу такого же порядка:
A1 = (A | E) |
(3) |
Затем, выполняя элементарные преобразования над строками матрицы A1, добиваются того, чтобы на месте, ранее занимаемом матрицей A,
получилась единичная матрица,
тогда в правой половине матрицы A1 получится обратная матрица A–1
Для системы линейных уравнений
a11x1
a21x1
an1x1
a12x2 |
|
a1nxn |
b1, |
||
a22x2 |
|
a2nxn |
b2, |
||
|
|
|
|
|
|
an2x2 |
|
annxn |
bn |
||
(в матричной форме Ax b)
с невырожденной матрицей коэффициентов A при неизвестных
решение может быть записано в матричной форме
x A 1b. |
(4) |
Здесь x – столбец неизвестных, |
|
b – столбец правых частей
5. Вычислить определитель
|
1 1 |
5 |
|
|
|||
|
3 |
4 |
2 |
|
2 |
3 |
6 |
Решение
Решим задачу разными способами
а) По формуле «треугольников» (3)
1 4 6 1 2 2 3 3 5
5 4 2 1 3 6 1 2 3 45
б) Разложим определитель по 3-му столбцу:
1 3 |
|
|
3 |
4 |
|
2 3 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 1 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
2 1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
3 3 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6 1 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 9 8 2 3 2 6 4 3 45.
в) Преобразуем определитель (не меняя его величины) так, чтобы в 1-м столбце остался
лишь один ненулевой элемент и разложим определитель по этому столбцу:
|
|
1 |
1 |
5 |
|
|
|
1 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
4 |
2 |
|
|
|
3 1 3 |
4 1 3 |
2 5 3 |
|
= |
|
|
2 |
3 |
6 |
|
|
|
2 1 2 |
3 1 2 |
6 5 2 |
|
|
|
1 1 |
5 |
|
1 1 |
|
7 17 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
0 |
7 17 |
= |
1 1 |
|
1 4 |
28 17 45 |
|
|
0 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Найти обратную матрицу для матрицы
1 |
2 |
3 |
|
|
|
4 |
5 |
6 |
|
A |
. |
|||
|
7 |
8 |
10 |
|
|
|
|||
Решение. Находим определитель матрицы
A |
|
1 |
|
5 |
6 |
|
2 |
|
4 |
6 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
10 |
|
|
|
7 |
10 |
|
|
|
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 2 2 ( 2) + 3 ( 3) = 3 0
обратная матрица A–1 существует Вычислим алгебраические дополнения,
A11 |
|
5 |
6 |
|
2 |
A12 |
|
|
4 |
6 |
|
2 |
A13 |
|
4 |
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
8 |
10 |
|
|
|
|
|
7 |
10 |
|
|
|
|
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A21 |
|
|
2 |
3 |
|
4 |
A22 |
|
1 3 |
|
11 A23 |
|
|
1 2 |
|
6 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
8 |
10 |
|
|
|
|
7 |
10 |
|
|
|
|
7 |
8 |
|
|
A31 |
|
2 |
3 |
|
3 A32 |
|
|
1 3 |
|
6 A33 |
|
1 2 |
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
Поэтому присоединенная матрица имеет вид
|
2 |
2 3 |
|
|
|
4 |
11 6 |
|
, |
A* |
|
|||
|
3 |
6 3 |
|
|
|
|
|
Откуда по формуле (1) получаем обратную матрицу:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 3 |
|
3 |
3 |
1 |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
1 |
|
|
|
2 11 6 |
|
|
|
2 |
11 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
||||||||
|
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
3 6 3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|