LekSe1-2-28o
.pdf
Частные случаи диагональных матриц
7.Скалярная (i 1,n)aii c, (для всех i)
8.Единичная , (i 1,n)aii 1
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
E |
|
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
9. Верхней (нижней) треугольной называют квадратную матрицу, у которой все элементы, стоящие под (над) главной диагональю, равны нулю.
10. Матрица размера 1 n называется строкой длины n, а матрица размера m 1 — столбцом высоты m.
Строки длины n и столбцы высоты m можно
рассматривать как элементы пространств Rn и Rm соответственно. При этом они называются векторстроками или вектор-cтолбцами или просто векторами.
11.Рангом матрицы называется ранг системы векторов, образуемых столбцами (или строками) матрицы.
12.Две матрицы считаются равными, если они одного размера и равны их элементы, расположенные на одинаковых местах.
13. Суммой матриц A aij и B bij одного размера
называется матрица А + В того же размера, определяемая равенством
A B aij bij .
14.Произведением матрицы A aij на число называется матрица A aij .
15.Матрица, все элементы которой равны нулю,
называется нулевой матрицей.
16.Матрица A 1 A называется
nротивоnоложной матрице А
17.Свойства операций сложения матриц
иумножения матрицы на число:
1) A + B = B + A, |
5) A B A B, |
2) (A + B) + C = A + (B + C), |
6) A A B, |
3) A + 0 = A, |
7) A A, |
4) A + (–A) = 0, |
8) 1 A A, |
где А, В, С – произвольные матрицы одного размера, 0 – нулевая матрица того же размера,
, – произвольные числа.
18.Множество всех матриц размера m n
сопределенными операциями сложения
иумножения на число
образует линейное векторное пространство размерности mn
19. Произведением матрицы A aij размера m n
на матрицу B bjk размера n s называется матрица AB cik размера m s,
элементы которой определяются формулой
cik ai1b1k ai2b2k ... ainbnk ,
|
|
где i 1, 2, ..., m, k 1, 2, ..., s |
20. Свойства умножения матриц: |
||
1) |
(AB)C=A(BC), |
2) A(B+C)=AB+AC, |
3) |
(A+B)C=AC+BC, |
4) α AB αA B A αB , |
5)AB T BTAT.
Вобщем случае AB BA.
Если AB=BA, говорят, что матрицы А и В коммутируют (AB = –BA - антикоммутируют)
Примеры
|
|
1 |
2 |
3 |
|
1. Найти AT, если: |
|
4 |
5 |
6 |
|
A |
. |
||||
|
|
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
Решение
|
1 |
4 |
7 |
|
|
2 |
5 |
8 |
|
AT |
|
|||
|
3 |
6 |
9 |
|
|
|
3 |
1 |
1 |
3 |
4 |
|
|||
|
1 |
2 |
|
|||||
2. Даны матрицы A |
1 |
2 |
0 |
|
и B |
. |
||
|
|
|
1 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти матрицу C 5A 3BT
. Решение
C 5A |
|
|
|
3 1 |
1 |
|
3 |
1 |
1 |
|
|
||
3BT 5 |
1 2 |
0 |
|
3 |
4 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
15 |
5 |
5 |
|
9 |
3 |
3 |
|
|
|
24 |
8 |
8 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
17 |
16 0 |
|
|||
5 |
10 0 |
|
12 6 |
|
|
|
|
||||||
3. Найти произведения AB и BA, если:
1 |
1 |
|
|
2 |
0 3 |
|
|
A |
1 |
3 |
, |
B |
5 |
1 4 |
. |
|
|
|
|
||||
Решение
1 |
1 |
2 |
0 |
3 |
|
|
|
AB |
1 |
|
5 |
1 |
4 |
|
|
|
3 |
|
|
||||
1 2 1 5 |
1 0 1 1 1 3 |
1 4 |
3 |
|||
= |
1 2 |
3 5 |
|
|
|
17 |
|
1 0 3 1 1 3 3 4 |
|
||||
произведение ВА не существует, так как число столбцов матрицы В
не равно числу строк матрицы А.
17 ,
3 9
4. Предприятие выпускает четыре вида продукции в количествах 40, 100, 50 и 120 единиц в день, используя при изготовлении три вида сырья. Расходы сырья (в кг на единицу продукции)
характеризуются матрицей
A a |
|
2 |
5 |
3 |
1 |
|
||
|
4 |
1 5 |
3 |
|
, |
|||
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
элемент aij которой равен затратам
сырья i-го вида
на изготовление единицы продукции j-го вида
i 1,2,3; j 1,2,3, 4 .
Сколько сырья каждого вида расходуется ежедневно?
Решение. Представим ежедневный выпуск продукции и ежедневные затраты сырья соответственно
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
вектор-столбцами x |
|
50 |
|
и y |
y2 |
, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где yi – расход сырья i-го вида |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
5 |
3 |
|
1 |
40 |
|
|
|
850 |
|
|
||||
|
|
|
|
100 |
|
|
|
||||||||||
|
4 |
1 |
5 |
3 |
|
|
|
|
870 |
|
, |
||||||
Тогда, y Ax |
|
50 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
4 |
4 |
|
|
|
|
920 |
|
|
||||
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т.е. искомые затраты сырья составляют:
850 кг 1-го вида, 870 кг 2-го вида, и 920кг 3-го вида.