Показатели вариации
План
1. Понятие вариации. Виды показателей вариации.
2. Виды дисперсий в совокупности, разделенной на группы. Правило сложения дисперсий.
3.Характеристика закономерности рядов распределения.
Вариация – это колеблемость значений признака у единиц совокупности под влиянием различных факторов, как систематических, так и случайных.
Два вида показателей вариации: абсолютные и относительные.
К абсолютным относятся 4 показателя:
размах вариации R
среднее линейное отклонение
среднее квадратическое отклонение
дисперсия D=
Размах вариации R – это разность между максимальным и минимальным значением исследуемого признака в совокупности.
R= Хmax - Хmin
Среднее линейное отклонение
Простая формула для расчета при несгруппированных данных
Взвешенная формула для расчета при сгруппированных данных
где - сумма всех частот
3. Среднее квадратическое отклонение (называется стандартным отклонением).
Простая формула для σ
Взвешенная формула для σ
В условиях симметричного и нормального, а также близких к ним распределений между показателями и имеют место равенства
1,25,0,8,
поэтому отношение показателей может служитьиндикатором устойчивости данных.
Вероятностные оценки диапазонов рассеяния значений признака в нормально распределенных рядах:
68,3% войдет в диапазон ();
95,4% попадет в диапазон ();
99,7% появится в диапазон ()
Соотношение известно как правило «трех сигм».
4. Дисперсия
Простая
Взвешенная
Дисперсия- это квадрат среднего квадратического отклонения.
Преобразование формулы :
Следовательно,
т.е. дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата их средней.
Пример №1.Имеются данные о товарообороте магазинов района. Необходимо рассчитать характеристики ряда распределения.
-
Группы
магазинов
хi
Число
магаз.
fi
Середина
интер.
х’i
x’i*fi
x’i-
(x’i-)2
(x’i-)2*fi
xi2*fi
170 – 190
10
190 – 210
20
210 – 230
50
230 – 250
20
Итого
100
=
1) способ:
2) способ
Относительные показатели вариации:
1. относительный размах вариации или коэффициент осцилляции
2. относительное линейное отклонение
3. (>0) коэффициент вариации
Интенсивность вариации обычно измеряют коэффициентом вариации V, который выражается в процентах и вычисляется по формуле
Величина V оценивает интенсивность колебаний вариантов относительно их средней величины. Принята следующая оценочная шкала колеблемости признака:
0%<V40% - колеблемость незначительная;
40%< V60% - колеблемость средняя (умеренная);
V>60% - колеблемость значительная.
Для нормальных и близких к нормальному распределений показатель V служит индикатором однородности совокупности: принято считать, что при выполнимости неравенства
V33%
совокупность является количественно однородной по данному признаку.
Пример 2. На этапе отбора претендентов для участия в проекте фирмы объявлен конкурс. Распределение претендентов по опыту работы (лет) показано в таблице 2.
Таблица 2
Распределение претендентов по опыту работы и расчетные
значения для вычисления показателей вариации.
-
Группы претендентов по опыту работы, лет
Число претен-дентов, чел.
Центр интер-вала
А
1
2
3
4
5
6
7
8
до 4-х
10
4 – 6
10
6 – 8
50
8 – 10
20
свыше 10
10
ИТОГО
100
Вычислим среднее значение по формуле
Рассчитаем дисперсию среднего опыта работы по формуле
Рассчитаем дисперсию по формуле
σ2 =
Коэффициент вариации
V =%, следовательно, совокупность однородная (Vσ<=33%) по признаку «опыт работы». Колеблемость признака незначительная, найденная средняя величина является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности претендентов.