4. На основании полученных результатов оценим качество модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и f-критерий Фишера.

Коэффициент детерминации характеризует долю вариации результативного показателя под воздействием ведущего фактора, включенного в модель парной регрессии. Может изменяться от 0 до 1. В соответствии с расчетом коэффициента детерминациидля факторов X1, X3, X5 наибольшее значение имеет фактор X3 (R² = 0,714957), следовательно, факторный признак ХЗ (общая площадь квартиры), на 71,5% определяет вариацию результативного показателя Y (цену квартиры). Значение коэффициента детерминации R² = 0,714957 достаточно близко к 1, поэтому качество модели можно признать удовлетворительным.

Для факторов Х1, X5 коэффициент детерминации во много раз меньше единицы, поэтому качество моделей не является удовлетворительным.

Оценка статистической значимости уравнения парной регрессии осуществляется по F-критерию Фишера.

Определим табличное значение F-критерия с помощью функции MS Excel FPACПOБP (для α = 0,1, k1 = 1, k2 = 40-1-1): F_табл = 2,842442

Приведем расчетные значения F-критерия для трех факторов

Для X1 F = 7,382799711 т.к. F > Fтабл, уравнение регрессии признается статистически значимым.

Для X3 F = 95,3132216 т.к. F > Fтабл, уравнение регрессии признается статистически значимым.

Для X5 F = 0,832088977 т.к. F < Fтабл, уравнение регрессии признается статистически незначимым.

Произведем оценку статистической значимости фактора парной регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. С помощью функции MS Excel СТЬЮДРАСПОБР определим табличное значение критерия Стьюдента (для α = 0,1, n = 40, k = 1): t _табл. = 1,685954

Приведем расчетное значения критерия Стьюдента

Для X1 t = -2,717130787 т.к t > tтабл, уравнение регрессии признается статистически значимым.

Для X3 t = 9,76284905 т.к t > tтабл, уравнение регрессии признается статистически значимым.

Для X5 t = 0,912189 т.к t < tтабл, уравнение регрессии признается статистически незначимым. Следовательно, его включение в модель было нецелесообразным.

При заданном уровне значимости , факторы Х1 (город области) Х3 (общая площадь квартиры) являются статистически значимыми, а фактор Х5 (этаж квартиры) является статистически незначимым

Определим среднюю ошибку аппроксимации по формуле:

,

где n - число наблюдений.

Для фактора X1

Наблюдение	Y цена квартиры	Предсказанное Y^	ABS((Y-Y^)/Y)
	115	117,5035	0,021769565
	85	76,0195	0,105652941
	69	76,0195	0,101731884
	57	76,0195	0,333675439
	184,6	117,5035	0,363469664
	56	76,0195	0,357491071
	85	117,5035	0,382394118
	265	117,5035	0,556590566
	60,65	76,0195	0,253413026
	130	117,5035	0,096126923
	46	76,0195	0,652597826
	115	117,5035	0,021769565
	70,96	117,5035	0,655911781
	39,5	76,0195	0,924544304
	78,9	117,5035	0,489271229
	60	76,0195	0,266991667
	100	76,0195	0,239805
	51	76,0195	0,490578431
	157	117,5035	0,251570064
	123,5	76,0195	0,38445749
	55,2	117,5035	1,128686594
	95,5	76,0195	0,203984293
	57,6	117,5035	1,039991319
	64,5	76,0195	0,178596899
	92	76,0195	0,173701087
	100	76,0195	0,239805
	81	117,5035	0,450660494
	65	76,0195	0,169530769
	110	117,5035	0,068213636
	42,1	76,0195	0,805688836
	135	117,5035	0,129603704
	39,6	76,0195	0,919684343
	57	76,0195	0,333675439
	80	117,5035	0,46879375
	61	76,0195	0,246221311
	69,6	76,0195	0,092234195
	250	76,0195	0,695922
	64,5	76,0195	0,178596899
	125	117,5035	0,059972
	152,3	117,5035	0,228473408
			14,76184853
			36,90462133

В среднем расчетные значения для линейной модели фактора X3 отличаются от фактических значений на 36,9%.

Для фактора X3

Наблюдение	Y цена квартиры	Предсказанное Y^	ABS((Y-Y^)/Y)
	115	95,48979316	0,169653972
	85	114,6179545	0,348446524
	69	86,38849057	0,25200711
	57	71,88811017	0,261194915
	184,6	116,3148076	0,369908951
	56	36,56271535	0,347094369
	85	87,1597874	0,025409264
	265	248,3608249	0,06278934
	60,65	101,0431303	0,666003798
	130	121,0968479	0,068485785
	46	54,76532054	0,190550447
	115	79,4468191	0,309158095
	70,96	88,23960296	0,243511879
	39,5	51,68013322	0,308357803
	78,9	62,94106694	0,202267846
	60	86,38849057	0,439808176
	100	131,5864848	0,315864848
	51	85,61719374	0,678768505
	157	138,0653782	0,120602687
	123,5	152,720018	0,236599336
	55,2	60,93569518	0,103907521
	95,5	110,2986923	0,154960129
	57,6	85,46293437	0,4837315
	64,5	76,51589115	0,186292886
	92	114,9264733	0,249200797
	100	100,1175741	0,001175741
	81	57,07921103	0,295318382
	65	36,25419662	0,442243129
	110	87,46830613	0,204833581
	42,1	49,057724	0,165266603
	135	97,95794302	0,274385607
	39,6	42,42457126	0,071327557
	57	81,91496896	0,437104719
	80	41,65327443	0,47933407
	61	76,51589115	0,254358871
	69,6	114,9264733	0,651242432
	250	221,3654358	0,114538257
	64,5	86,38849057	0,339356443
	125	70,19125714	0,438469943
	152,3	124,1820352	0,184622224
			11,14815404
			27,8703851

В среднем расчетные значения для линейной модели фактора X3 отличаются от фактических значений на 27,87%.

Для фактора X5

Наблюдение	Y цена квартиры	Предсказанное Y^	ABS((Y-Y^)/Y)
	115	95,48979316	0,169653972
	85	114,6179545	0,348446524
	69	86,38849057	0,25200711
	57	71,88811017	0,261194915
	184,6	116,3148076	0,369908951
	56	36,56271535	0,347094369
	85	87,1597874	0,025409264
	265	248,3608249	0,06278934
	60,65	101,0431303	0,666003798
	130	121,0968479	0,068485785
	46	54,76532054	0,190550447
	115	79,4468191	0,309158095
	70,96	88,23960296	0,243511879
	39,5	51,68013322	0,308357803
	78,9	62,94106694	0,202267846
	60	86,38849057	0,439808176
	100	131,5864848	0,315864848
	51	85,61719374	0,678768505
	157	138,0653782	0,120602687
	123,5	152,720018	0,236599336
	55,2	60,93569518	0,103907521
	95,5	110,2986923	0,154960129
	57,6	85,46293437	0,4837315
	64,5	76,51589115	0,186292886
	92	114,9264733	0,249200797
	100	100,1175741	0,001175741
	81	57,07921103	0,295318382
	65	36,25419662	0,442243129
	110	87,46830613	0,204833581
	42,1	49,057724	0,165266603
	135	97,95794302	0,274385607
	39,6	42,42457126	0,071327557
	57	81,91496896	0,437104719
	80	41,65327443	0,47933407
	61	76,51589115	0,254358871
	69,6	114,9264733	0,651242432
	250	221,3654358	0,114538257
	64,5	86,38849057	0,339356443
	125	70,19125714	0,438469943
	152,3	124,1820352	0,184622224
			18,31199294
			45,77998235

В среднем расчетные значения для линейной модели фактора X3 отличаются от фактических значений на 45,78%.

Следовательно, по всем критериям лучшей является модель Y₃ = -13,1088005 + 1,54259366*X3 для фактора X3.

5. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя Y (цены квартиры) при прогнозном значении фактора ХЗ (общая площадь квартиры), которое согласно условию задачи составляет 80% от его максимального значения. Максимальное значение X3 = 169,5, соответственно, прогнозное значение X3_прогн. = 169,5*0,8 = 135,6.

Определим точечный прогноз по уравнению парной регрессии:

Y_прогн. = -13,1088005 + 1,54259366*Х3_прогн.

Y_прогн. = 196,0668998

Произведем расчет интервального прогноза, для этого определим ширину доверительного интервала.

,

где S – стандартная ошибка оценки [1, стр.58], которая определяется по формуле:

В соответствии с расчетными данными имеем . При расчете используем Кр=1,12 (для заданной вероятности расчета 80%), n=40, m=1. Результаты расчета представлены в таблице 9.

Таблица 9.

№	Х3
	70,4	1,1925	1,422056
	82,8	13,5925	184,7561
	64,5	-4,7075	22,16056
	55,1	-14,1075	199,0216
	83,9	14,6925	215,8696
	32,2	-37,0075	1369,555
	65	-4,2075	17,70306
	169,5	100,2925	10058,59
	74	4,7925	22,96806
	87	17,7925	316,5731
	44	-25,2075	635,4181
	60	-9,2075	84,77806
	65,7	-3,5075	12,30256
	42	-27,2075	740,2481
	49,3	-19,9075	396,3086
	64,5	-4,7075	22,16056
	93,8	24,5925	604,7911
	64	-5,2075	27,11806
	98	28,7925	829,0081
	107,5	38,2925	1466,316
	48	-21,2075	449,7581
	80	10,7925	116,4781
	63,9	-5,3075	28,16956
	58,1	-11,1075	123,3766
	83	13,7925	190,2331
	73,4	4,1925	17,57706
	45,5	-23,7075	562,0456
	32	-37,2075	1384,398
	65,2	-4,0075	16,06006
	40,3	-28,9075	835,6436
	72	2,7925	7,798056
	36	-33,2075	1102,738
	61,6	-7,6075	57,87406
	35,5	-33,7075	1136,196
	58,1	-11,1075	123,3766
	83	13,7925	190,2331
	152	82,7925	6854,598
	64,5	-4,7075	22,16056
	54	-15,2075	231,2681
	89	19,7925	391,7431

В результате расчета имеем U(k)= 33,69518066.

Таким образом, прогнозное значение будет находиться между верхней границей, равной , и нижней границей, равной .

На графике представлены фактические и модельные значения, точки прогноза.

6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), строим модель формирования цены квартиры за счёт значимых факторов – фактор ХЗ (общая площадь квартиры) и фактор X6 (площадь кухни). Фактор Х5 (этаж квартиры) исключаем т.к. коэффициент парной корреляции для признака X5 меньше чем для X3 и X6.

Расчет параметров линейной множественной регрессии , произведем с использованием программы MS Excel.

Полученные данные представлены в таблицах 10, 11, 12.

Таблица 10.

Регрессионная статистика
Множественный R	0,859112903
R-квадрат	0,73807498
Нормированный R-квадрат	0,723916871
Стандартная ошибка	27,05586127
Наблюдения	40

Таблица 11.

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	76321,68483	38160,84242	52,13090048	1,72296E-11
Остаток	37	27084,72627	732,0196288
Итого	39	103406,4111

Таблица 12.

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	14,040351	18,890597	0,7432455	0,4620265	-24,23563	52,316336	-24,23563	52,316336
Переменная X3	1,696496	0,1755400	9,6644435	1,153E-11	1,3408189	2,0521747	1,3408189	2,0521747
Переменная X6	-3,759364	2,0803056	-1,807121	0,0788803	-7,974463	0,4557352	-7,974463	0,4557352

В соответствии с полученными расчетными данными запишем модель регрессии в линейной форме:

Коэффициенты уравнения регрессии показывают, что при увеличении только общей площади квартиры (Х3) на 1 кв.м. цена квартиры увеличится на тыс. долл., а при изменении площади кухни на 1 кв.м. (X6) цена квартиры уменьшится на тыс. долл.