2.2 Конспект лекционных занятий

Модуль -1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Лекция 1. Линейная алгебра

Определители и их свойства, вычисление. Матрицы: свойства, действия над ними. Обратная матрица. Ранг матрицы и методы его вычисления.

Определение. Произвольная системаmnчисел, расположенная в виде прямоугольной таблицы, содержащейmстрок иnстолбцов, называется прямоугольной м а т р и ц е й А размеровmn и записывается в виде

Числа a_ijназываются э л е м е н т а м и матрицы; индексыi,jуказывают соответственно номер строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

При m=nматрица А называется к в а д р а т н о й, а числоn, указывающее количество строк и столбцов матрицы, называется ее п о р я д к о м . Определитель, соответствующий квадратной матрице А, обозначают, например,и выписывают элементы матрицы А, но заключают их, вместо круглых скобок, просто в вертикальные черточки; таким образом,

.

Определитель 2-го порядка вычисляется, согласно определению, по формуле:

,

которая иллюстрируется следующей схемой:

При вычислении определителя 3-го порядка часто пользуются правилом Саррюса (правилом треугольников), которое схематически записывается:

2.Свойства определителей.

Для определителей n-го порядка справедливы с в о й с т в а.

1.Определитель не меняется при замене его строк столб-цами с теми же номерами. (Это свойство устанавливает р а в -н о п р а в и е с т р о к и с т о л б ц о в определителя, поэтому дальнейшие свойства формулируются только для строк, хотя справедливы они и для столбцов.)

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Определитель меняет свой знак на противоположныйпри перестановке двух строк.

4.Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные стро-ки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя n-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых: то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й такие же, как и в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_ij; в другом – из элементов c_ij.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Определение. М и н о р о м M_ij э л е м е н т а a_ij называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из определителя n-го порядка вычеркиваем i-ой строки и j-го столбца.

Определение. А л г е б р а и ч е с к и м д о п о л н е н и е м А_ij э л е м е н -т а a_ij называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j, т. е. А_ij= (-1)^i+j M_ij.

Например,

тогда.

Справедливо следующее у т в е р ж д е н и е : каждый определитель равен сумме произведений элементов его любой строки (любого столбца) на их алгебраические дополнения.

Следовательно, для всех имеют место соотношения:

, (1)

. (2)

Соотношение (1) называется р а з л о ж е н и е м о п р е д е л и т е л я п о э л е м е н т а м i- о й с т р о к и, а соотношение (2) называется р а з л о ж е н и е м о п р е д е л и- т е л я п о э л е м е н т а м j- г о с т о л б ц а.

М е т о д п о н и ж е н и я п о р я д к а о п р е д е л и т е л я основан на использовании соотношений (1) или (2). Прежде чем применять этот метод, полезно, используя свойства определителей, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его i-ой строки или j- г о столбца (тогда в (1) или (2) останется лишь по одному слагаемому).

Заметим также справедливость у т в е р ж д е н и я : сумма произведений всех элементов некоторой строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.