Осн.лит. 12, глава 15, [383 –410]

Контрольные вопросы:

1. Что называется линией уровня и поверхностью уровня?

2. Что называется пределом функции двух переменных в точке, в области?

3. В чем состоит экономический смысл частной производной?

4. В направлении какого вектора скорость возрастания функции наибольшая?

5. Каковы достаточные условия экстремума функции двухпеременных?

Лекция 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

1. Основные понятия

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функциюи ее производныет.е. уравнения вида(1)

где непрерывная функцияпеременных.

Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называетсяобыкновенным.

Если искомая функция зависит от нескольких независимых переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

Например, В дальнейшем будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения.Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, явно входящей в уравнение.

Например: - дифференциальное уравнение 2- го порядка.Решением дифференциального уравнения (1) называется функциякоторая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество. Процесс отыскания решений

дифференциального уравнения называется интегрированием уравнения. График решения дифференциального уравнения называетсяинтегральной кривой этого уравнения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид уравнения первого порядка следующий: (2)

Если уравнение (2) удается разрешить относительно , то получим(3)

Это уравнение называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Условие, что в уравненииприфункциядолжна равняться заданному числу, называется начальным условием.Оно записывается в виде. Задача отыскания решений уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, носит названиезадачи Коши.

3. Уравнения с разделяющимися переменными Рассмотрим дифференциальное уравнение вида (4)

где правая часть есть произведение функции, зависящей только от , на функцию, зависящую только от. Предполагая, что, преобразуем его следующим образом:

. (5)

Считая известной функцией от, равенство (5) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым.

Интегрируя левую часть по , а правую по, получим.

Мы получили соотношение, связывающее решение , независимое переменноеи произвольную постоянную, т.е. получили общий интеграл уравнения (5).

Дифференциальное уравнение типа (5) или вида (6) называютуравнением с разделенными переменными.

Общий интеграл его есть .

Уравнение вида , (7)

в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от и только от, называется уравнениемс разделяющимися переменными.

Путем деления обеих частей на произведение они приводятся к уравнениям с разделенными переменными:, т.е. к уравнению вида (6). Общий интеграл этого уравнения имеет вид.

Пример. Решить уравнение. Разделяем переменные;

;;;- общее решение.