книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов

В рамках феноменологического подхода к разрушению (по­ стулирующего различные критерии предельного состояния идеального упругопластачного тела) РЭ гладких образцов не находит объяснения [173] , кроме как с позиций энергетического критерия разрушения [168]. По его современной формулировке [99] образец разрушается, когда запас упругой энергии и пре­ вышает работу ыТр по распространению трещины. Для образца с размерами d

и ~ <?d*lE\ ЫтР ~ id2

щему РЭ разрушающего напряжения: о* ~ 's/ZE/d.

Как видно, указанный (энергетический) фактор РЭ может влиять только на заключительную стадию разрушения — атермичсский рост магистральной трещины. Размерный эффект над­ резанных образцов обусловлен нарушением подобия напряжен­ ного состояния при изменении сечения образца. Разрушающее напряжение для пластины шириной d9 толщиной Ad и надре­ зом глубины Lo> определяемое делением разрушающей нагрузки на величину сечения, есть [263]

Влияние толщины Ad состоит в том, что вблизи поверхности реализуется нлоскоиапряженное состояние, а в центре пла­ стины — плоскодеформированное состояние.

Структурный подход, при котором критерием разрушения является достижение критического напряжения на элементах

281

дефектной структуры образца — концентраторах напряжений, выдвигает статистическую теорию РЭ, сформулированную в ка­ чественной форме в работе [2]. В ней прочность образца, обла­ дающего неоднородной и, как предполагается, случайной де­ фектной структурой, отождествляется с прочностью слабейшей микрообласти (связанной с «опаснейшим дефектом»), в которой условия развития трещин и разрушение облегчено по сравнению с другими областями образца, статистически тем более высокой, чем меньше размеры образцов. Основы математического опи­ сания этих представлений впервые указаны в работе [120]. Оно сводится к статистике экстремумов [254]. Обзор современ­ ного состояния структурно-статистической теории РЭ проведен

затель концентрации напряжений в дефектной микрообласти, прочность о определяется из условия п'о = аш, где от— теоре­ тическая прочность. Пусть в бесконечно большом теле (мате­ риале) возможны значения п' в непрерывном интервале (0, оо) и у(п') — плотность их распределения (генеральная совокуп­ ность). Образец конечного размера содержит N различных де­ фектных областей. Его структуру (спектр значений п') пред­ ставим как случайную выборку объемом N из генеральной со­ вокупности. Нас интересует максимум в спектре значений /г', поскольку он определяет прочность образца

о = от/п, п = шах [п'\ .

Вероятность d^(n%N) того, что в выборке объе1Мом N макси­ мум лежит в интервале n, n+dti есть произведение вероятности Ny(n)dn найти в выборке значение п в этом интервале на ве­ роятность

того, что остальные N—1 элементов выборки обладают значе­ ниями меньше п.

Таким образом,

Интегрируя здесь при начальном условии г|?(я = 0) = 0, на­ ходим функцию распределения максимума п в случайной вы­ борке объема N (вероятность того, что максимум имеет значе­ ние меньше, чем п)

282

Размерный эффект получим, полагая, что N пропорционально размерам образца. Характер РЭ определен выражением (7.3) с точностью до вида функции ф(/г'). 13ыяснение вида ф(/г'), свя­ занное с рассмотрением структуры пластически деформируемого тела, в настоящее время не проведено, и ф выбирается произ­ вольно. При бсзмодсльиом рассмотрении наиболее естественен выбор распределения Гаусса, что для малых образцов (когда существенна только узкая область вблизи модального значения, и ф аппроксимируется прямоугольным распределением) даег следующий РЭ (в единицах N) модального значения разрушаю­ щего напряжения

где Мо и Do — среднее значение и дисперсия генеральной сово­ купности ф(сг).

Для больших образцов вместо (7.4) имеет место зависимость

о^ = Мо — д / 2Do Ig (N/2 V^)-

Значительную часть данных по РЭ можно объяснить тех­ нологическим фактором |13], вследствие которого прочность образцов различного сечения различается из-за неодинакового воздействия на структуру в целом (или приповерхностный слой) условий их изготовления (термообработки и прокатки металлов, степени ориентационной вытяжки полимеров и стекол, диаметра фильер, скорости охлаждения). Размерный эффект, связанный с изменением структуры в целом, означает просто переход к другому материалу н не поддастся общему анализу. Цилин­ дрический образец с различными прочностями сердцевины со и

Понимание РЭ, основанное на представлении о «двухфаз­ ном» строении материалов («объем» плюс поверхность), содер­ жится уже в ранних работах по РЭ [89]. В работе [13] пока­ зано, что РЭ, приводящий к зависимости типа (7.1), отражает не функциональную, а корреляционную связь, обусловленную тем, что сам диаметр волокна является функцией от степени вытягивания.

Среди существующих подходов к объяснению РЭ структурно­ статистическая теория общепризнанно является наиболее

263

универсальным качественным объяснением и позволяет получить эмпирическое соотношение (7.1) [см. формулу (7.4)]; его, од­ нако, дает и(7.5). Надо отметить, что этот подход к РЭ возник на основе концепции предельного состояния. Отказ от нее, свя­ занный с переходом к кинетическим представлениям о разруше­ нии, требует и нового взгляда па РЭ. Возникают следующие во­ просы. Применимы ли основные положения структурно-статисти­ ческой теории РЭ к условиям термоактивпрованного разрушения или же требуется качественно другой подход? Каков РЭ долго­ вечности т?

Считается, что «изменение размеров образцов вызывает из­ менение лишь коэффициента у в формуле Журкова, в то время как начальная энергия активации £/0 и, естественно, величина То нс меняются, т. с. так же, как в случаях изменения прочно­ стных свойств материалов отжигом, легированием, ориентиро­ ванием и так далее» [208]. Эта точка зрения опирается на экспериментальные данные [33, 157] но РЭ долговечности при статическом нагружении. Она нашла математическое описание в работе [119], где полагается, что разрушение образца опре­ деляется термоактнвированиым развитием опаснейшего дефекта, и зависимость от размера образца приписывается статистически варьируемому структурно-чувствительному коэффициенту у, что лает

стических представлений о РЭ на термофлуктуационную кар­ тину разрушения формально непоследовательно. Необходимо развить новый подход к объяснению РЭ, учитывающий наряду со статистикой структурных дефектов и статистику тепловых разрушающих флуктуаций. Построение такой тормофлуктуа- ционно-структурио-статистпчсскон компоненты теории РЭ — цель данного параграфа.

Будем опираться на представление о двустадийностн трешннообразования, развитое в п. 3.1. Если напряжение а < а/ (3.4а), то долговечность лимитируется длительностью стадии делокали­ зованного накопления критической концентрации С/ (3.14а) стабильных трещин и обладает слабим РЭ, обусловленным за­ висимостью Ct от объема тела V, которой в дальнейшем будем пренебрегать, полагая, что па стадии делокализованного третиинообразования РЭ отсутствует.

При о > а/ ситуация иная: процесс трещинообразоваиия ло­ кализуется и тело разбивается на некоторое число N ^ 1 ста­ тистически независимых подсистем — областей локализации (очагов) разрушения. Развитие трещины до размера Ra в любой из этих областей способно вызвать разрушение всего тела. Чем

284

больше величина /V, которая пропорциональна размеру тела, тем быстрее тело разрушается — возникает РЭ.

Таким образом, в рамках развиваемой модели разрушения РЭ присущ только высокопрочному состоянию, когда о > О/, и

причем критический объем Vi убывает с ростом Т.

Будем считать, что кинетика термофлуктуациониого роста очага разрушения описывается Г-распределением

т/е

Р(т ) = \ xm~ le~x dx/T(m);

О

0 = т0 ехр [(£/0 — у'а)/кГ], m — Мт/0 ,

которое характеризует тер.мофлуктуационный разброс в стати­ стической серии одноочаговых образцов с одинаковой дефект­ ной структурой. Состояние дефектной структуры характеризу­ ется величиной у' и описывается зависимостью 0 (у')-

Рассмотрим далее «макрообразец», содержащий N ^ I ста­ тистически независимых термоактивнроваино развивающихся очагов. Пусть структурные условия развития генеральной сово­ купности очагов характеризуются непрерывным спектром зна­ чений у' в интервале [у0, уо + Ауо] с нормированной на единицу плотностью функции распределения <р(у'), т. е.

на некотором максимальном значении у, причем величина у

где термофлуктуационно-статистическое распределение долго­ вечности отдельного образца с фиксированным значением у

(Vo + Avo) V (То+Ауо) V

285

Индекс у в пределе интегрирования (7.9) предполагает учет обрыва спектра на значении у (см. далее). Вид г£(у) опреде­ ляется статистикой максимума в случайной выборке объема N из генеральной совокупности <р подобно (7.2), а именно

Из выражения (7.10) следует, что характерное значение у, задающее предел интегрирования в (7.9), находится из у с л о в и я

То + АТо

Результат (7.11) позволяет в выражении (7.9) при интегри­ ровании выделить две области (уо, у) и (у, уо+Ауо), причем во второй согласно (7.11) Мр(у') ведет себя как дельта-функ­ ция аргумента у'—у. Таким образом, в (7.9) имеем

с учетом как статистики дефектов, так и статистики разруша­ ющих термофлуктуаций, что в принципе решает поставленную выше задачу построения термофлуктуациопно-структурпо-ста- тистической теории РЭ.

Очевидно, возможны две предельные ситуации, когда ос­ новную роль играет какой-либо один из указанных статистиче­ ских факторов. Для нас сейчас наибольший интерес представ­ ляет случай, когда доминирует термофлуктуационная стати­ стика. Произведем оценку параметров, позволяющую оценить возможность возникновения такой ситуации.

Выберем распределение <р(у') равномерным, т. е. положим

Для простоты примем также линейную аппроксимацию рас­ пределения Р(т), задав параметры аппроксимирующего распре­ деления так, чтобы оно правильно давало истинные значения

286

срсчпсго m0 ii дисперсии m0 2. Таким образом, в области из­ менения Р положим

*>-тг»к й г+т О- V D -* wr+*-

(7.15)

При условиях (7.13—7.15) с учетом в (7.15) только наибо­ лее сильной зависимости 0(у') выражение (7.12) после интегри­ рований принимает вид

т. е. Pi не зависит (асимптотически) от величины у. Это озна­ чает нечувствительность прочностных характеристик к стати­

Таким образом, распределение (7.19) долговечности серии образцов, обусловленное статистикой тепловых разрушающих флуктуаций, в области РЭ является вейбулловским. Начальные моменты k-то порядка распределения (7.19)

Мт* = Г (1 + -А -)[г <» + 1} ]fe/m в*, k = 1, 2, .. . (7.20)

Откуда среднее значение

Каков физический итог проведенного рассмотрения? Мы рас­ сматриваем тело как «цепь» из N разнопрочпых звеньев, проч­ ность которых характеризуется величиной у' с плотностью функции распределения ср(у')> оборванной на максимальном значении y(N). При детерминированном разрушении «звеньев» (термоактивироваином, но лишенном термофлуктуационной ста­ тистики) разрыв «цени» контролируется ее слабейшим звеном и долговечность тела

287

Такой разрыв является кинетическим аналогом модели, ос­ нованной на концепции предельного состояния и постулируемой в структурно-статистической теории РЭ. В этой связи соответ­ ствующее выражение для долговечности (7.22) снабжено индек­ сом s.

Учет термофлуктуационной статистики меняет ситуацию. Из-за случайного характера развития необходимо учесть весь ансамбль очагов (с весом фСу')* отражающим их опасность). Тогда оказывается, что при оо <С 1 структурные различия «звеньев цепи» нивелированы термофлуктуационной статисти­ кой, и разрушение обусловлено параллельным развитием N рав­ ноправных очагов с одинаковой в среднем опасностью уо, каж­ дый из которых может стать ответственным за разрыв тела. Этот тип разрушения и РЭ является принципиально термофлуктуационным. Описывающие его характеристики будем снабжать индексом Т.

Таким образом, представления о разрушении как о кинети­ ческом процессе, протекающем в нагруженном теле, учет слу­ чайного характера тепловых разрушающих флуктуаций на де­ фектах структуры и статистика дефектов приводят к возмож­ ности двух предельных механизмов разрыва образца и соот­ ветственно двух типов РЭ, которые мы называем структурным и термофлуктуационным (названия не слишком удачные, но более адекватная терминология встречает семантические трудности).

Структурный РЭ возникает при одноочаговом механизме раз­ рыва образца, он обусловлен статистической вариацией опас­ нейшего структурного дефекта в образцах разного размера и

Термофлуктуацноинып РЭ возникает при многоочаговом ме­ ханизме, обусловлен статистикой тепловых флуктуации и дается формулой (7.21) прно>о<^1.

Итак, кинетический подход приводит к новому взгляду на РЭ: предсказанию нового типа РЭ — термофлуктуациоиного, обусловленного термофлуктуационной статистикой [186]. В го же время сохраняется старый тип РЭ — структурный, связан­ ный с опаснейшим дефектом, принимающий кинетическую форму, но он оказывается ограниченным частным случаем об­ щей закономерности. В данном случае мы сталкиваемся с дей­ ствием общего философского принципа соответствия: новое не отменяет старое, а лишь ограничивает его. Здесь принцип соот­ ветствия проявляется в том, что структурно-статистическая ин­ терпретация РЭ тоже остается справедливой в рамках концеп­ ции термофлуктуациоиного разрушения, но только в области достаточно высоких напряжений и низких температур [см. (7.37)].

Как видно- -из выражения (7-.21), интенсивность термофлуктуационного РЭ зависит от величины m (эффективного числа

288

тепловых разрушающих флуктуаций, характеризующего уровень проявления термофлуктуационной статистики при разрушении), убывая с ростом /??. При т -> о о , когда проявления термофлук­ туационной статистики исчезающе малы, естественно, исчезает и термофлуктуационнып РЭ. Согласно (6.76)

/и « [1 — схр(—Руа/кГ)]-1.

Оценгм средний уклон энергетического рельефа р при раз­ витии очага разрушения. Как отмечалось выше, в области РЭ

и его уклон определяется перенапряжением ог вблизи очага разрушения. Выбирая сг как функцию размера трещины R в виде выражения (3.1), перепишем его в форме

ос= о (1 + 2 R/R±),

где радиус кривизны ^ заменен соотношением c>= R2L/R на

величину раскрытия трещины R±, причем для простоты поло­ жим R± = const ~ г.

Полагая далее R = /г, находим, что

Эта оценка р в силу больших значений уст/кГ » 1 позволяет ожидать малых величин т ^ 1 и соответственно высокого уровня проявления термофлуктуационного РЭ.

7.2. Эксперименты по обнаружению термофлуктуационного размерного эффекта

Реализуется ли предсказанный новый тип РЭ — термофлуктуациониый — на опыте? Неопределенность показателя неодно­ родности поля внутренних напряжений Ду0 не позволяет апри­ ори оцепить величину ton (7.17) и предсказать тип РЭ в кон­ кретном случае. Тип РЭ может быть определен на опыте и>тем выбора из двух возможностей (если исключены все другие при­ чины РЭ, в частности, технологические, указанные в гг. 7.1) при сравнении характеристик структурного и термофлуктуацион­ ного РЭ.

Первое различие между типами РЭ, сразу бросающееся

вглаза при сравнении выражений (7.21) и (7.22), заключается

в«поведении» графиков 1£т(сг) для образцов одного и того же материала, значительно различающихся по данным L. В слу­ чае структурного РЭ следует ожидать, что при переходе к об­ разцам большего размера увеличится коэффициент у, т. е. из­ менится наклон прямых lgx(a). Величина изменения угла

наклона при этом зависит от вида функции y(L) и в теории ко­

Поскольку разброс очень большой, то трудно сделать однознач­ ный вывод о прямых, приведенных на рис. 7.3, а следовательно, и об изменчивости или постоянстве их наклона и соответственно о величине у. Однако сме­

щения прямых Д lg т, подсчитанные при т — 1 близки к наблюдаемым на опыте. Результаты этого сравнения представ­ лены в таблице 7.1.

Эта неоднозначность делает изучение смеще­ ния прямых lg r(a), ко­ торым ограничивались в работах [33, 157], припи­ сывая при этом РЭ изме­ нению величины у> недо­ статочным для выяснения характера РЭ. Поэтому далее мы отказались от рассмотрения статической долговечности и перешли к РЭ разрушающего на­ пряжения а* при дина­ мическом нагружении

290