книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов

ется дифференциальное уравнение Эйнштейна—Фоккера— Планка (см. п. 1.4). 1£го получим, произведя в соотношении Смолуховского (6.5) разложение в левой части по At, а в пра­ вой части — разложение по I" с сохранением первой производ­ ной по времени и двух производных по координате:

что окончательно для Qt{l', /) дает

где средняя скорость дрейфа

VI = Yl"J l"Q* (*". 01At,

а коэффициент диффузии

Pi\i(t). Как было указано, функции Q и Р аналогичны в смысле

X />.-.,(f)exp(— £ г ) - £ г

с сохранением о хной производной по координате и двух произ­ водных по времени.

Полагая при интегрировании f->oo [в силу t~Mt^>Qi, см. ниже (6.55)], находим искомое уравнение

261

Уравнения (6.52) и (6.53) аналогичны, поскольку удержи­ вают при разложениях одну производную по фиксированному параметру и две производные по случайной величине. Оба урав­ нения осуществляют переход от дискретного к непрерывному

и дисперсии

i

2 \ e U i ,

г

что совпадает с точным значением Mi (6.34), но дает диспер­ сию в два раза больше истинной Dt (6.35).

Распределение (6.54) следовало ожидать согласно централь­ ной предельной теореме теории вероятностей, утверждающей, что сумма большого числа независимых одинаково распределен­ ных величин асимптотически подчиняется распределению Га­ усса. Выражение (6.54) является асимптотикой распределения (6.45) в области

достаточно велико по сравнению со временем единичного пе­ рехода 0 (большие значения т).

Чтобы убедиться в этом, прологарифмируем плотность (про­

262

лее разложение:

что совпадает с (6.54), если учесть отмеченное выше двукрат­ ное завышение дисперсии

j 0 - di = тв2/2.

Проведенное сопоставление позволяет выяснить характер найденного приближения для Pr, i(t) (6.45). Оно аналогично приближению Эйнштейна—Фоккера—Планка, но, не будучи связано с разложениями по времени /, справедливо во всей об­

критерий необратимости разрушения, моделируемого случайным марковским непрерывным во времени процессом термофлуктуационного преодоления стационарного рельефа. В самом деле, кинетика этого процесса характеризуется двумя функциями рас­

чивость (разрушение становится атермическим) после а шагов, так что Р г,а(т)— термофлуктуационная компонента функции распределения долговечности т. Пусть в момент /0 действие нагрузки прерывается на Д/о, а затем образец вновь нагружают вплоть до разрыва. Если процесс разрушения необратим, то не­ зависимо от продолжительности интервала разгрузки Д£0 веро­ ятность жизни образца в течение суммарного времени т дейст­ вия нагрузки

Верхний предел суммирования а — 1 в формуле полной ве­ роятности (6.57) является условием того, что к моменту раз­ грузки to разрушение продолжает оставаться термоакгивированным, т. е. разрыва тела еще не наступило. Дифференцируя

263

по т правую часть (6.57) с учетом (6.39) и используя уравне­ ние Смолуховского для определения Q (6.5), имеем

Таким образом, вследствие необратимости процесса разру­ шения термофлуктуационная компонента функции распределе­ ния долговечности инвариантна относительно прерывания на­ грузки. И наоборот сохранение полной функции распределения долговечности является статистическим критерием необратимо­ сти разрушения. Этот вывод находится в согласии с эксперимен­ тальными данными [29].

6.2. Термофлуктуационная компонента разброса статической долговечности

Хороню известно, что результаты испытаний на разрыв се­ рии номинально идентичных образцов в идентичных условиях обнаруживают статистический разброс. Величина разброса мо­ жет быть различной, приводя для долговечности к коэффици­ енту вариации, приблизительно равному единице. В силу раз­ броса идентичные лабораторные образцы могут проживать под нагрузкой несколько секунд или несколько часов. При большом разбросе знания одного среднего значения характеристики прочности недостаточно для опенки материала как конструкци­ онного. Необходимо выяснение функции статистического распре­ деления. Решение этой задачи эмпирическим путем нс дости­ гает цели, поскольку параметры распределения сложным обра­ зом изменяются в зависимости от свойсгв материала и условий испытаний, н в каждом конкретном случае на практике прихо­ дится проводить дорогостоящие специальные статистические испытания. Таким образом, необходимо понять природу раз­ броса, чего можно добиться, рассматривая его как свойство физического процесса разрушения.

При феноменологическом подходе к разрушению экспери­ ментально наблюдаемый статистический разброс обычно при­ нято объяснять тем, что невозможно добиться полной иден­ тичности структуры и условий испытаний серии образцов. Та­ кого рода «статистические теории» ограничиваются наилучшим подбором функций распределения характеристик прочности. Ими являются распределения Вейбулла, лог-нормальное, Г-рас- нрсдслснпе, распределения Пирсона, Коши и др. Неясно, чем обусловлено это многообразие функций — неоднозначностью

264

статистического описания наблюдаемого распределения или многообразием различных лимитирующих факторов разброса.

Структурный подход к разрушению, выдвигающий «статисти­ ческую теорию дефектов» (см. гл. 7), объясняет разброс стати­ стической вариацией опаснейшего дефекта, ответственного за прочность образца. Этот подход, намеченный в работе [43], развит в работах [120, 254]. Вообще библиография но стати­ стической теории прочности обширна: имеется множество публи­ каций тождественных по физическому смыслу и отличающихся лишь деталями. Типичной является работа [48]. Предполага­ ется, что разрушение возникает при слиянии отдельных трещин при достижении их определенной плотности. Трещины вызыва­ ются перенапряжениями в отдельных элементах объема струк­ турно-неоднородного гетерогенного материала. Считается, что внутренние напряжения а, действующие в этих элементах, рас­ пределены по нормальному закону с плотностью

Р ( а ) = - Д - ехр [— (5 — о)2/2оо],

Л/2яао

где а — приложенное напряжение; 05 = Ehn; Е — модуль упру­

гости; А— потенциальная энергия тела; к — характеристика не­ однородности материала.

Трещина образуется, если

® > <*th-

Тогда относительное количество трещин

оо

ф= J Р (о) da.

°с

Принимается, что разрыв тела наступает при достижении не­ которой критической меры поврежденности фс. Окончательно возникает следующее распределение прочностей а тела:

(стш-сг)/Л

Приведенное изложение указывает на отсутствие в статисти­ ческих теориях прочности явного учета механизма разрушения.

Существующая интерпретация природы разброса, опираю­ щаяся на представление о термоактивированном характере раз­ рушения применительно к формуле Журкова для долговечности

т = т0 exp [(U0— уо)/кГ],

дает следующее выражение для оценки основной характери­ стики разброса долговечности т на опыте — ширины «колокола разброса» на его полувысоте [29]

Ве= Дт/т « Д In т = Д7 (С/0 — уо)/кР + Доу/kТ + Дуо/кГ, (6.59)

265

где Д — величина статистической вариации компонент выраже­ ния (UQ—уст)/кТ с весом, определяемым его дифференцирова­ нием.

Первое и второе слагаемые в выражении (6.59) отражают то обстоятельство, что па опыте невозможно испытать серию образ­ цов в абсолютно одинаковых условиях, т. е. задать для каждого образца одинаковые значения а н Г, поскольку их значения меняются в некоторых интервалах Ао и Д7\ Разброс значений о обусловлен, главным образом, вариацией сечений образцов и погрешностями их изменения. Таким образом

где 5 — сечение образца; As — мера его разброса.

Третье слагаемое в (6.59) обусловлено невозможностью из­ готовить большую серию образцов с абсолютно одинаковой структурой. Структурная иеидентпчность приводит к изменению на некоторую величину Ау структурно-чувствительного пара­ метра у.

Итак, ни одна из описанных интерпретаций статистического разброса характеристик прочности не учитывает термофлуктуационной природы разрушения, а именно того, что вероятност­ ный характер тепловых флуктуаций превращает разрушение в статистический процесс, вследствие чего характеристики проч­ ности оказываются случайными величинами. Это является до­ полнительным (к указанным выше) фактором разброса резуль­ татов испытаний серии идентичных образцов в идентичных усло­ виях. Назовем его термофлуктуационным фактором. Для про­ тивопоставления ему всю совокупность причин, действующих в реальном опыте и приводящих к исидеитнчности в серии структуры образцов и условий их испытания, будем называть технологическим фактором.

Выражение для термофлуктуационной компоненты разброса долговечности получим, используя рассмотренное в н. 6.1 тсрмоактивпрованное прохождение цепочки барьеров, которое, как мы сейчас покажем, моделирует формирование укрупненной трещины (очага разрушения) при кинетически неоднородной генерации первичных трещин (см. п. 4.3). В этом случае трещипообразовсШне осуществляется путем последовательного вы­ мирания экстремальных мод, вследствие чего и процесс укруп­ нения идет последовательными (во времени, но не в простран­ стве) шагами. Рассмотрим отношение т времени т(0 , затрачен­ ного в таком процессе на формирование кластера размера г, требующего концентрации трещин С, и определяемого точным равенством (4.12) в виде

266

к продолжительности самого длительного (здесь последнего) шага

©/ = т (/) — т (/ — 1).

Имеем

то пыражснис (6.59) совпадает с (6.50). Такое совпадение яв­ ляется количественным свидетельством близости кинетик про­ цесса кластеризации и при кинетически неоднородном трещинообразовапии, и при движении по липейно-аппроксимировапиому энергетическому рельефу, описываемому выражением (6.50). Это позволяет формирование очага в кинетически неоднородном геле описывать Г-распределенпем (6.45) с параметрами 0 (6.48)

ление длинной цепочки состояний лимитируется практически

велик, т. е. закон больших чисел «нарушается».

Эта ситуация порождена затуханием со временем накопле­ ния начальных трещин вследствие истощения резервуара «сла­ бых мест» (см. п. 4.3).

В условиях кинетически однородного трещинообразовання генерация первичных трещин осуществляется путем статистиче­ ски независимого (т. е. параллельного) разрушения элементов с одинаковым распределением (6.1) времен их жизни. Вероят­ ность формирования очага разрушения — кластера размером i — описывается распределением Вейбулла (3.17), где в данном

267

случае С = Cot/Q и соответствующая компонента и функции рас­ пределения долговечности

лога (6.61) при кинетически неоднородном трещшюобразованпи. В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда функция рас­ пределения долговечности подчиняется Г-распределению Р(т) (6.45), а ее среднее значение — формуле Журкова. Здесь необ­ ходимо заметить что Р(т) описывает только разброс долговеч­ ности, обусловленный случайным характером тепловых разру­ шающих флуктуаций. При этом предполагается, что параметры энергетического рельефа в статистической серии образцов сохра­ няются. Вообще говоря, эти параметры могуг изменяться и да­ вать соответствующий вклад в разброс. Не учитывающую этого фактора (названного выше технологическим) функцию Р(т) будем называть термофлуктуационной компонентой функции

распределения долговечности.

Итак, теоретический анализ приводит к выводу, что термофлуктуационный разброс долговечности — термофуктуанионная

Р (т ) = ( хт~ 1еГх dxfT (т).

о

При этом процесс разрыва тела характеризуется двумя па­ раметрами: временем разрушения его самого прочного элемента

©= т0 exp [(t/0 — ут)/к71

исредней долговечностью тела Мх в единицах 0

т« [ 1- ехр (—Руст/кГ)]"1,

причем согласно (6.60в) р ~ 10-2.

Отвечающие Г-распрсделению среднее значение долговечно­ сти Мх = /п© и дисперсия Dx = mQ2 дают коэффициент ва­ риации

wp — д/Dx/Мх — т~'/2.

Вообще, как указывалось выше, основной статистической ха­ рактеристикой на опыте является полуширина В «колокола раз­ броса» lgx, связанная с коэффициентом вариации ад:

268

Всилу (6.61) и (6.63) величина т определяет уровень термофлуктуационного разброса.

Вобщем случае следует полагать, что наблюдаемый на опыте разброс обусловлен одновременным действием тер.мо-

флуктуационного и технологического факторов. Важно оценить вклад каждого из них. (Достаточно оценить вклад одного, тогда вклад другого равен экспериментально наблюдаемой величине за вычетом первого.)

Величина термофлуктуацпониой компоненты разброса дол­ говечности, зачаваемая формулой (6.61), нс может быть точно определена, поскольку известен лишь порядок f> (6.606). Можно однако ожидать, что при значениях уст/кТ~102, имеющих место при ускоренных статистических испытаниях, величина /;? ~ 1, так что термофлуктуацненная компонента может быть значи­ тельной.

Доля технологической компоненты разброса по формуле (6.59) надежно количественно также не может быть определена, поскольку из оценки погрешностей опыта нельзя найти правиль­ ные значения Ду, До* и \Т. Кроме того, расчет по формуле (6.59) дает завышенную оценку величины Ве (так как все сла­ гаемые берутся с одним знаком) и пс указывает связанную с нею величину доверительной вероятности. На несостоятель­ ность подобного способа количественного вычисления ошибки функции нескольких переменных указано в работе [90]. Однако,

то при характерных значениях уст/к7'~102 получим величину, примерно равную (по порядку величины) экспериментально наблюдаемом Пг~ 1. Эта опенка свидетельствует о том, что вклады термофлуктуаиионного п технологического факторов могут быть соизмеримы.

Для более точной оценки мы предлагаем следующую мето­ дику разделения термофлуктуацнонной п технологической ком­ понент разброса долговечности.

Наблюдаемое на опыте (эмпирическое) распределение дол­ говечности £(т) представим как наложение двух распределений Р и W, обусловленных соответственно термофлуктуацнонным н технологическим факторами. Функция Р в рассмотренном при­ ближении чается Г-распределенисм. Функцию W выберем из следующих соображений. Вследствие наличия технологического фактора значения о, у и 7 оказываются случайными величи­ нами, приводя к вариации Д зависящих от них (в комбинации уа/кТ) величин О и //? в выражении для среднего значения дол­ говечности Мх = ш0 :

269

После учета явных выражений для 0 (6.48) и т (6.50) видно, что при вариации yojkT относительное изменение ве­ личины © описывается выражением

В Д (угт/кГ) I 1

и велико по сравнению с относительным изменением не слиш­ ком больших ш:

Таким образом, наиболее существенным является технологи­ ческий разброс величины 0 , а разбросом пг можно пренебречь. Будем полагать, что технологический разброс обусловлен дей­ ствием достаточно большой группы факторов, приводящих к примерно равному изменению а, у и Т в сумме (6.59), вслед­ ствие чего выполняются условия центральной предельной тео­ ремы теории вероятностей (теоремы Ляпунова). Тогда величина (U0— уа/кТ) распределена нормально (подчиняется распреде­ лению Гаусса 1). Это приводит к логарифмически нормальному распределению величины 0. Таким образом, технологический фактор описывается распределением с плотностью

где а = Л11п0, b = DlnQ соответственно среднее значение и дисперсия.

Для распределения W коэффициент вариации

х = Л In (уа/кТ)

имеет смысл относительной ошибки при задании на опыте ве­ личины ya/kTf являющейся в силу сказанного выше в выра­ жении (6.67) свободным параметром.

270