- •Лабораторная работа № 7 численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений Основные понятия
- •Задача Коши. Общие замечания
- •Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Эйлера
- •Аналогично определяем отрезки ,, …
- •Метод РунгеКутта
- •Отсюда (11)
- •Интегрирование дифференциального уравнения (13) методом РунгеКутта
- •Задание
Отсюда (11)
,
и, следовательно (10),
.
Аналогично вычисляются дальнейшие приближения. Результаты вычислений приведены в табл.1 (искомые значения функции выделены жирным шрифтом).
Таблица 1.
Интегрирование дифференциального уравнения (13) методом РунгеКутта
-
i
x
y
0
0
1
0,1
0,1000
0,05
1,05
0,11
0,2200
0,05
1,055
0,1105
0,2210
0
1,1105
0,1210
0,1210
1
0,1
1,1103
0,1210
0,1210
0,15
1,1708
0,1321
0,2642
0,15
1,1763
0,1356
0,2652
0,2
1,2429
0,1443
0,1445
2
0,2
1,2427
0,1443
0,1443
0,25
1,3149
0,1565
0,3130
0,25
1,3209
0,1571
0,3142
0,3
1,3998
0,1700
0,1700
3
0,3
1,3996
0,1700
0,1700
0,35
1,4846
0,1835
0,3670
0,35
1,4904
0,1840
0,3680
0,4
1,5836
0,1984
0,1984
4
0,4
1,5836
0,1984
0,1982
0,45
1,6826
0,2133
0,4266
0,45
1,6902
0,2140
0,4280
0,5
1,7976
0,2298
0,2298
5
0,5
1,7974
Таким образом, . Уравнение (4.14) имеет точное решение, откуда
Метод Рунге Кутта применим также для приближенного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пример.б. Методом Эйлера проинтегрировать уравнение (13), т.е.
на отрезке [0; 0.1] с шагом h= 0,05, при начальном условии.
Решение.
Определяем значение производной при = 0:
.
Теперь по формуле (4.8) вычисляем прих= 0,05
Вычисляем производную при =+h=0 + 0,05 = 0,05:
Искомое значение функции при =+h= 0,05 + 0,05 = 0,1 будет (см. (8))= 1,1050.
Дальнейшие вычисления продолжаем по формуле (7). Результаты представим в табличном виде (табл.2) (в графе 4 табл. 2 для сравнения приведены результаты точного решения уравнения (13), т.е. , для соответствующих значений аргументов, а в графе 5 приведены результаты имеющихся решений уравнения по методу Рунге-Кутта из табл.1;замечание: при выполнениизадания граф 4 и 5 составлятьне нужно).
Таблица 2.
Интегрирование дифференциального уравнения (13) методом Эйлера
i |
|
|
|
(Р.- К.) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
0,05 |
1,0500 |
1,0525 |
– |
2 |
0,10 |
1,1050 |
1,1103 |
1,1103 |
3 |
0,15 |
1,1652 |
1,1738 |
– |
4 |
0,20 |
1,2310 |
1,2428 |
1,2427 |
5 |
0,25 |
1,3026 |
1,3180 |
– |
6 |
0,30 |
1,3802 |
1,3997 |
1,3996 |
7 |
0,35 |
1,4642 |
1,4881 |
– |
8 |
0,40 |
1,5549 |
1,5836 |
1,5836 |
9 |
0,45 |
1,6527 |
1,6866 |
– |
10 |
0,50 |
1,7578 |
1,7974 |
1,7974 |