Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ЛАБ-7-числ.решениеОДУ.doc
Скачиваний:
20
Добавлен:
12.03.2015
Размер:
531.46 Кб
Скачать

Отсюда (11)

,

и, следовательно (10),

.

Аналогично вычисляются дальнейшие приближения. Результаты вычислений приведены в табл.1 (искомые значения функции выделены жирным шрифтом).

Таблица 1.

Интегрирование дифференциального уравнения (13) методом РунгеКутта

i

x

y

0

0

1

0,1

0,1000

0,05

1,05

0,11

0,2200

0,05

1,055

0,1105

0,2210

0

1,1105

0,1210

0,1210

1

0,1

1,1103

0,1210

0,1210

0,15

1,1708

0,1321

0,2642

0,15

1,1763

0,1356

0,2652

0,2

1,2429

0,1443

0,1445

2

0,2

1,2427

0,1443

0,1443

0,25

1,3149

0,1565

0,3130

0,25

1,3209

0,1571

0,3142

0,3

1,3998

0,1700

0,1700

3

0,3

1,3996

0,1700

0,1700

0,35

1,4846

0,1835

0,3670

0,35

1,4904

0,1840

0,3680

0,4

1,5836

0,1984

0,1984

4

0,4

1,5836

0,1984

0,1982

0,45

1,6826

0,2133

0,4266

0,45

1,6902

0,2140

0,4280

0,5

1,7976

0,2298

0,2298

5

0,5

1,7974

Таким образом, . Уравнение (4.14) имеет точное решение, откуда

Метод Рунге Кутта применим также для приближенного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пример.б. Методом Эйлера проинтегрировать уравнение (13), т.е.

на отрезке [0; 0.1] с шагом h= 0,05, при начальном условии.

Решение.

Определяем значение производной при = 0:

.

Теперь по формуле (4.8) вычисляем прих= 0,05

Вычисляем производную при =+h=0 + 0,05 = 0,05:

Искомое значение функции при =+h= 0,05 + 0,05 = 0,1 будет (см. (8))= 1,1050.

Дальнейшие вычисления продолжаем по формуле (7). Результаты представим в табличном виде (табл.2) (в графе 4 табл. 2 для сравнения приведены результаты точного решения уравнения (13), т.е. , для соответствующих значений аргументов, а в графе 5 приведены результаты имеющихся решений уравнения по методу Рунге-Кутта из табл.1;замечание: при выполнениизадания граф 4 и 5 составлятьне нужно).

Таблица 2.

Интегрирование дифференциального уравнения (13) методом Эйлера

i

(Р.- К.)

1

2

3

4

5

1

0,05

1,0500

1,0525

2

0,10

1,1050

1,1103

1,1103

3

0,15

1,1652

1,1738

4

0,20

1,2310

1,2428

1,2427

5

0,25

1,3026

1,3180

6

0,30

1,3802

1,3997

1,3996

7

0,35

1,4642

1,4881

8

0,40

1,5549

1,5836

1,5836

9

0,45

1,6527

1,6866

10

0,50

1,7578

1,7974

1,7974

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]