Задача Коши. Общие замечания

Задача Коши(впервые изучавшаяся О. Коши) является одной из основных задач теории дифференциальных уравнений и заключается в отыскании решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным данным (начальным условиям). В задаче Коши область, в которой должно быть определено решение, заранее не указывается.

Так как задача Коши возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом и начальным состоянием, математическим выражением которых является уравнение и начальное условие (откуда терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при x = 0, а решение отыскивается при), то еслиxинтерпретировать как время, акак обобщенные координаты некоторой механической системы, то получим следующий аспект задачи Коши:зная дифференциальные уравнения, управляющие механической системой, а также состояние ее в начальный момент времени ,определить состояние системы в любой момент времени х.

Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением является уравнение первого порядка

. (3)

Основная задача, относящаяся к этому уравнению, есть задача Коши: найти решение уравнения (3)

,

удовлетворяющее начальному условию(иными словами, требуется найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку(рис.2)).

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Эйлера

Метод Эйлера является простейшим конечно-разностным численным методом решения задачи Коши. Этот метод относится к так называемым одношаговым методам. Особенность одношаговых методов заключается в следующем.

Пусть дано дифференциальное уравнение

(4)

с начальным условием

. (5)

Выбирая достаточно малый шаг h, на оси абсцисс построим систему равноотстоящих точек (узлов)

, (i = 0, 1, 2, . . .). (6)

и для каждой точки получим решение уравнения (4).

y

y

0xx

Рис.2

Такое решение можно получить различными способами.

В том случае, если будем находить решения уравнения (4) в точках так, что для каждого нового значениядостаточно знать значение функции лишь в предыдущем узле, т.е. достаточно знать значение лишь у, то такой способ нахождения значений в узлахи будет называтьсяодношаговым методом.

Теперь рассмотрим, в чем заключается метод Эйлера.

Пусть дано дифференциальное уравнение (4) с начальным условием (5). Тогда алгоритм метода Эйлера выразится рекуррентной формулой:

, (i= 0, 1, 3, …). (7)

Как видим, по этим формулам значение сеточной функции в любом узлевычисляется по ее значениюв предыдущем узле. Поэтому результатом решения по методу Эйлера будет табличное представление искомой функции.

Рассмотрим ход вычисления по формуле (7). Очевидно, вычисление с применением (7) можно начинать с любого известного значения , в том числе и с начального. Поэтому положимi = 0, тогда значение определится так:

. (8)

В правой части этого выражения все величины известны: заданы по условию (2),правая часть уравнения (4), вычисленная при, а величинуhмы задаем сами.

Аналогично

, (9)

и так как , аизвестная величина, вычисленная через (8), в правой части выражения опять получаем известную величину. Точно так жеможно получить значение для , и этот процесс можно продолжить и дальше.

Теперь дадим геометрическую интерпретацию метода Эйлера (рис. 3). На рис. 3 кривая изображает искомую функцию; точкасоответствует начальному условию (5).

Обратимся к выражению (8). Смысл его состоит в том, что для получения значения искомой функции в точке мы должны к начальному значениюприбавить величину, но последняя величина есть, с другой стороны,(т.е. отрезок), гдеугол наклона касательной к искомой кривой в точке(рис.3). Исходя из этого, выражение (8) геометрически означает, что мы получаем отрезок=О+. Это осуществляется следующим образом. Точкана искомой кривойнам известна из начальных условий. Проведем через нее касательнуюк кривой, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс определяется как, до пересечения с прямой. Тем самым мы получаем точку, расстояние которой от оси абсцисс равняется длине отрезка.

Чтобы получить отрезок , обратимся к (9). За отправную точку береми проводим из нее касательную, тангенс угла наклона которой равен, до пересечения с ординатой.