Лабораторная работа № 7 численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений Основные понятия

Дифференциальное уравнениеуравнение, содержащее искомую функцию, ее производные различных порядков и независимые переменные. Дифференциальные уравнения делятся наобыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные одной или нескольких функций от одной независимой переменной, иуравнения с частными производными(илиуравнения в частных производных), содержащие частные производные функций нескольких независимых переменных. Данный раздел посвящен методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения можно записать в виде

(1)

,

,

где x – независимая переменная.

Для краткости обыкновенное дифференциальное уравнение называют обычно «дифференциальным уравнением».

Порядком дифференциального уравненияназывается наивысший порядокnвходящей в уравнение (1) производной. В частности, уравнения первого и второго порядков в форме (1) запишутся так:

,.

Если из общей записи дифференциального уравнения (1) удается выразить старшую производную в явном виде, например,

,,

то такая форма записи называется дифференциальным уравнением в нормальной форме (илиуравнением, разрешенным относительно старшей производной).

Решениемдифференциального уравнения (1) называется всякая действительная или комплексная функция, которая после ее подстановки в уравнение превращает его в тождество. Функциядолжна обладать производными всех порядков до наивысшего порядка уравнения включительно. Процесс нахождения решения называетсяразрешением(илиинтегрированием)дифференциального уравнения.

Соотношение , (2)

содержащее nпроизвольных постоянных, называетсяобщим решениемобыкновенного дифференциального уравненияn-го порядка (1), если при соответствующем выборе постоянныхполучается решение с любыми начальными данными.

Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постояннымпридать определенные значения.

Например, дифференциальное уравнение первого порядка , т. е., имеет решением, гдеC> 0 – произвольная постоянная. При различных значениях постояннойCполучается семейство окружностей (рис. 1). Выбор начального значенияпри(обычно) позволяет выделить из этого семейства одну определенную кривую, т.е. найти частное решение (на рис.1 выделена окружность, которой принадлежит точкаA, имеющая координатыи).

Для уравнений высших порядков геометрическая интерпретация более сложная.

В зависимости от способа задания дополнительных условий для получения частного решения дифференциального уравнения существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. В качестве дополнительных условий могут задаваться значения искомой функции и ее производных при некоторых значениях независимой переменной, т.е. в некоторых точках.

Если эти условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называютсяначальными условиями, а точка, в которой они задаютсяначальной точкой.

Примеры:

y

A

x

Рис. 1. Семейство окружностей и поле направлений

Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при разных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются при этомграничными (иликраевыми)условиями. На практике обычно граничные условия задаются в двух точкахи, являющихся границами области решения дифференциального уравнения.

Примеры:

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные и численные.

Графические методыиспользуют геометрические построения. В частности, одним из них являетсяметод изоклиндля решения дифференциальных уравнений первого порядка (на рис.1 изоклины обозначены короткими отрезками, перпендикулярными радиальным линиям).

С некоторыми аналитическими методамивы знакомы по курсу дифференциальных уравнений. Для ряда уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородными, линейными и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Приближенные методыметоды получения аналитических выражений, приближающих искомое частное решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений.

Мы будем рассматривать численные методырешения дифференциальных уравнений, которые в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научно-технических задач, описываемых дифференциальными уравнениями.

Все численные методы можно разбить на две группы: в одной группе будут методы, при помощи которых решение получается как функция от непрерывных значений аргумента, т.е. решение получают в виде аналитического выражения, к другой группе относятся методы, дающие решение в виде зависимости от дискретных значений аргумента к ним относятся различныеметоды конечных разностей, которые являются наиболее распространенными и универсальными численными методами решения дифференциальных уравнений.

Сущность метода конечных разностей заключается в следующем.

Область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляютразностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называетсясеточной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение производных используются соответствующие конечно-разностные соотношения. Такая замена дифференциального уравнения разностным называется егоаппроксимациейна сетке (илиразностной аппроксимацией).

Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих исходное дифференциальное уравнение, начальные условия и дополнительные условия на границе, называется разностной (иликонечно-разностнойилишаговой) схемой.

Пусть дано дифференциальное уравнение вида

(k= 1, 2, …,n)

при заданных начальных условиях

(k= 1, 2, …,n).

При применении конечно-разностного метода искомое решение (k= 1, 2, …,n) последовательно строится в системе точек (узлов)(i= 1, 2, …,n), гдеh  выбранный шаг. Процесс вычислений расчленяется на однообразно повторяющиеся циклы, каждый из которых обеспечивает переход от значенияк значению, начиная с начального. Поэтому схема вычислений, вообще говоря, легко программируется и удобна для реализации на компьютерах.

Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.

Поэтому нужно сразу ясно представить себе, что решение с применением конечных разностей получается в виде зависимости искомой функции от дискретных значений аргумента,представляемой в виде таблицы.

Решение разностной задачи, в результате которого находятся значения сеточной функции в узлах сетки, приближенно заменяет решение исходной дифференциальной задачи. Для того чтобы получить величины искомой функции для значений аргументов, не совпадающих с координатами узлов, используютсяразличные интерполяционные формулы(см. п. 6 настоящей программы).