ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

Тема. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ.

1. Постановка задачи. Определения

Результаты экспериментов обычно бывают представлены ограниченным числом в виде таблиц, отражающих зависимость величины исследуемого явления y от фактора x. Для практического же применения, как правило, необходимо знать и промежуточные, по отношению к табличным, значения y. На практике явная связь между y и x обычно неизвестна, поэтому возникает необходимость приближенной замены данной функции некоторой функцией. Процедура нахождения функциидля данной функцииназываетсяприближением функций. Интерполяция есть восстановление функции (точное или приближенное) по известным ее значениям. Другими словами, интерполяция есть действие, обратное табулированию функции.

Как правило, для вычисления внетабличных значений искомой функции применяют интерполирующую функцию в виде

. (1)

2. Конечные разности Рассмотрим функцию , заданную таблично в узловых точках : , , . . ., .

Если шаг – разность между соседними значениями аргумента – постоянный и равен h , тогда, очевидно, (i = 1, 2, …, n).

Выражение вида

называется конечной разностью первого порядка (или первой конечной разностью).

Разности любого порядка k равны (формально полагая )

(i = 0, 1, …; k = 1, 2, … ). (2)

Для удобства конечные разности обычно представляют в виде таблицы, в которую выписываются также значения аргумента x и функции y. Такую таблицу называют таблицей разностей (в табл. 6.1 представлены конечные разности 3-го порядка): диагональная таблица – столбцы 1, 2, 3, 4, 5, а горизонтальная – столбцы 1, 2, 6, 7, 8. Все табличные разности принято записывать целыми числами в единицах последнего знака без нулей впереди.

Конечные разности через значения функции.

. (3)

Значения функции через конечные разности.

. (4)

Т а б л и ц а 1

x	y
1	2	3	4	5	6	7	8

Для таблиц разностей справедливы следующие утверждения:

а) если значения независимой переменной заданы равными интервалами, то n-я разность полинома n-й степени (1) есть постоянная величина: ;

б) (обратное утверждению (а)) если разности какого-либо порядка в пределах округления вычислений становятся постоянными, порядок этих разностей и будет порядком интерполирующего полинома(1).

На практике определяют степень полинома n = k, если выполняются неравенства для (k+ 1)-й разности

(5)

3. Исправление ошибки в табличном значении

Предположим, что i-е значение функции заключает ошибку :, т.е. в табл. 1 произойдет скачок значений разностей. В этом случае ошибку исправляют так:

==, (6)

где

; (7)

. (8)