5. Сплайны

Сейчас широкое распространение для интерполирования получило использование специальным образом построенных многочленов третьей степени – кубических сплайн-функций.

Пусть интерполируемая функция fзадана своими значениямив узлах(i= 0, 1, 2, …,n). Тогдакубический сплайнна каждом отрезке [,] можно представить в следующем виде:

S(x) =+(x –) ++, (16)

где ,,,– четверка неизвестных коэффициентов (всего их 4n).

Таким образом, задача нахождения значения функции в каждом интервале [;] сводится к вычислению значений,,,.

Длину отрезка [,] обозначим=–, гдеi= 1, 2, …,n.

Потребуем совпадения значений S(x) в узлах с табличными значениями функцииf:

S() ==, (17)

S() ==+++. (18)

6. Алгоритм вычисления ,,и

1. Из условия (17) ==находим все.

2. Вычисление .

Используя выражения

;; (19)

;, (20)

систему (18) преобразуем относительно неизвестных :

= 0,= 0, (21)

++= 3. (22)

Обозначив

=;

=;=;=;= 3,

вместо (21)–( 22) получаем следующую систему относительно :

= 0,= 0, (23)

++=, (i=2, 3, …,n). (24)

Матрица системы (24) трехдиагональная, и из данной системы неизвестные=(i= 2, 3, …,n) определяютсяметодом прогонки(смотри лабораторную работу).

3. Из выражений (19) и (20) находим ,и.

6. Задания

Задание 1. Найти ошибку в табличном значении (табл.3) и в таблице заменить ошибочное значение исправленным; составить таблицу конечных разностей с исправленным значением.

Т а б л и ц а 3

	Варианты №
	1–10	11–20	21–30
i
1	48440		13,260
2	50898		14,144
3	53355		15,028
4	55800		15,912
5	58268		16,792
6	60724		17,680
7	63179		18,564
8	65634		19,448
9	68089		20,332

Задание 2. Для варианта (,) (табл.4, столбец 1) построить график функции(табл.4, столбец 3) на отрезке ее определения [a;b] с шагом, не большимh(табл.4, столбец 2).

Задание 3.Необходимо построить таблицу разностей и вычислить внетабличные значения функции, применяя формулы Ньютона и Бесселя, с точностью 0,000001:

а) нечетные номера вычисления проводят на отрезке [a; (a+ +b)/2] для значения=;

б) четные номера вычисления проводят на отрезке [(a+b)/2;b] для значения=.

Задание 4.

а); для четырех интервалов [;] =h+№/(100i) построить сплайн функции (точкувыбрать произвольно, но так, что один из интервалов должен заключать точку(или));

б) вычислить значения функции в узловых точках и сравнить результаты, полученные смежными сплайн-функциями;

в) вычислить значение функции в точке (или) с применением сплайн-функции и сравнить с результатом задания 3.

Т а б л и ц а.4

,	[a; b]; h	Функции
1	2	3
1, 2	[0,9; 28,1]; 0,1
3, 4	[50,0; 58,7]; 0,3
5, 6	[1,1; 4,0]; 0,1
7, 8	[1,0; 1,9]; 0,1
9, 10	[3,2; 0,3]; 0,1
11, 12	[0,7; 3,6]; 0,1
13, 14	[1,0; 3,9]; 0,1
15, 16	[3,5; 0,6]; 0,1
17, 18	[1,6; 1,3]; 0,1
19, 20	[3,0; 2,8]; 0,2
21, 22	[1,0; 3,9]; 0,1
23, 24	[0,5; 3,4]; 0,1
25, 26	[0,5; 3,4]; 0,1
27, 28	[0,0; 5,8]; 0,2
29, 30	[0,0; 2,9]; 0,1