Задачи для самостоятельного решения

1. Векторы иобразуют угол. Зная, чтовычислить.

Ответ. 15.

2. Даны ,. Вычислить.

Ответ. 16.

3. Векторы ивзаимно перпендикулярны. Зная, что, вычислить

1), 2).

Ответ. 1) 24, 2) 60.

4. Векторы иобразуют угол. Зная, что, вычислить

1) , 2), 3).

Ответ. 1) 3, 2) 27, 3) 300.

5. Найти орт , перпендикулярный векторами.

Ответ. .

6. Вычислить площадь треугольника с вершинами ,и.

Ответ. 14 кв. ед.

7. Сила приложена к точке. Найти момент этой силы относительно начала координат.

Указание: если – сила, прилаженная к точкеМ, то момент этой силы относительно точки А равен векторному произведению векторов и.

Ответ. .

8. Дана сила и точки ее приложения. Найти момент этой силы относительно точкии углы, составляемые им с координатными осями.

Ответ. ;,,.

9. Даны векторы и. Найти векторное произведение.

Ответ. .

10. Дан треугольник с вершинами ,и. Найти длину его высоты, проведенной из вершиныС.

Ответ. 10.

§ 4. Смешанное произведение векторов

Основные теоретические сведения

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называют число(векторно-скалярное произведение).

Свойства смешанного произведения:

1. . Это свойство позволяет ввести для смешанного произведения обозначение.

2. Циклическая перестановка векторов не меняет величины смешанного произведения, т.е.

3. гдеV – объем параллелепипеда, построенного на векторах , а– объем пирамиды, построенной на векторах.

4. Для того чтобы векторы были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Замечание. Из определения смешанного произведения следует, что смешанное произведение равно нулю, если среди сомножителей хотя бы два вектора коллинеарны.

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе :, то их смешанное произведение вычисляется в виде

.

5. Если – тройка векторов называется правой,– левой.

Примеры решения задач

Задача 4.1. Вычислить смешанное произведение векторов .

Решение. Способ 1.

или

Способ 2.

Ответ. –2

Задача 4.2. Упростить выражение:

Решение.

Ответ. 3.

Задача 4.3. Векторы образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны иВычислить.

Решение. по определению скалярного произведения векторови.

Из определения векторного произведения векторов иследует, что. Следовательно, угол между векторамииравен нулю и косинус этого угла равен 1. Тогда

Ответ. 24.

Задача 4.4. Дано: и. Вычислить.

Решение.

.

Ответ. –7.

Замечание. Векторы образуют левую тройку.

Задача 4.5. Установить, образуют ли векторы ибазис в множестве всех векторов.

Решение.

Смешанное произведение векторов оказалось равным нулю, следовательно, эти вектора компланарны, а значит, базисом в множестве всех векторов они быть не могут.

Ответ. Не образуют.

Задача 4.6. Доказать тождество .

Решение.

Все слагаемые – смешанные произведения; те из слагаемых, в которых два вектора совпадают, равны нулю.

Задача 4.7. Доказать, что если , причем хотя бы одно из чиселотлично от нуля, то векторы– компланарны.

Решение. Пусть . Умножим обе части данного равенства скалярно на вектор. Получим– компланарны. Что и требовалось доказать.

Задача 4.8. Вычислить объем тетраэдра OABC, если

.

Решение. Объем тетраэдра равен шестой части объема параллелепипеда, следовательно:

Ответ.

Задача 4.9. В тетраэдре с вершинами в точках A(1,1,1) B(2,0,2), C(2,2,2) и Dвычислить высоту.

Решение. (рис. 1.19).С другой стороны, Таким образом

Рис. 1.19

Ответ. .

Задача 4.10. Доказать, что четыре точки A(1,2,–1), B(0,1,5), C(–1,2,1) и D(2,1,3) лежат в одной плоскости.

Решение. Достаточно убедиться в том, что, например, векторы икомпланарны:

Что и требовалось доказать.