Глава 1. Векторная алгебра

§ 1. Линейные операции над векторами. Базис. Координаты вектора

Основные теоретические сведения

Линейные операции над векторами

Сложение векторов. Суммой векторов называется вектор (рис.1.1), представляющий замыкающую многоугольника, построенного на слагаемых векторах (правило многоугольника). Из этого правила для суммы двух векторов получается правило параллелограмма (рис. 1.2).

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Свойства суммы векторов:

1. .

2.

Вычитание векторов: Разностью называется вектор, такой что. Для построения вектораприводим к общему началу

векторы и, затем по правилу многоугольника находим

так, чтобы (рис. 1.3)

Рис. 1.3

Замечания

1. Вектор направлен от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого вектора.

2. Векторы исовпадают с диагоналями параллелограмма, построенного на векторахи(рис. 1.2, рис. 1.3)

Умножение вектора на число (скаляр). Произведением вектора на числоназывается новый вектортакой, чтоипри(вектора сонаправлены),при(вектора противоположно направлены).

В частном случае при векторназывается противоположным векторуи обозначается.

Свойства умножения вектора на скаляр:

1.

2.

Имеет место утверждение: , где– число.

Линейная зависимость векторов. Сумма называется линейной комбинацией векторов; числаназываются коэффициентами линейной комбинации.

Векторы называютсялинейно зависимыми, если существуют числа такие, чтои.

Векторы называютсялинейно независимыми, если только при.

Два вектора зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Три вектора зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Четыре вектора всегда линейно зависимы.

Разложение вектора на составляющие. Если инезависимы (неколлинеарны), то любой третий вектор, лежащий в плоскостии, единственным образом раскладывается на составляющие по направлениями:. Еслинезависимы (некомпланарны), то любой четвертый векторединственным образом раскладывается по направлениям векторов:.

Векторный базис и координаты вектора. Упорядоченная система любых трех линейно независимых векторов называется базисом трехмерного пространства. Предположим, что в качестве базиса выбраны 3 некомпланарных вектора , тогда любой векторможно представить в виде:.

Числа называются координатами векторав выбранном базисе. Наряду с записьюбудем пользоваться символической записью:.

Аналогично, упорядоченная пара линейно независимых векторов называется базисом двухмерного пространства.

Базис называется ортонормированным, если базисные векторы являются взаимно перпендикулярными ортами. В этом случае базисные векторы обозначаются буквами и наряду с записьюпользуются символической записью:В ортонормированном базисе координаты вектора совпадают с проекциями этого вектора на направления базисных векторов:.

В любом базисе при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Прямоугольная система координат и радиус-вектор.

Если в пространстве выбрана прямоугольная система координат, (рис. 1.4), то координатами точки называются координаты радиус-вектора этой точки.

z M 0 y x Рис. 1.4

Если вектор имеет координатыx, y, z, то координатами точки М будут числа x, y, z, что записывается в виде М(x,y,z). Если даны две точки , тои