Задачи для самостоятельного решения

1. По данным векторам ипостроить каждый из следующих векторов:

1)+; 2)–; 3)–; 4) ––.

2. Векторы иобразуют угол, причёми. Определитьи.

Ответ. .

3. Какому условию должны удовлетворять векторы и, чтобы имели место следующие соотношения:

1) , 2), 3).

Ответ. 1) Векторы взаимно перпендикулярны.

2) Угол между векторами должен быть острым.

3) Угол между векторами должен быть тупым.

4. Какому условию должны удовлетворять векторы и, чтобы вектор+делил пополам угол междуи.

Ответ. .

5. По данным векторам ипостроить каждый из следующих векторов:

1) 3; 2); 3) ; 4) .

6. В параллелепипеде заданы векторы, совпадающие с его рёбрамиПостроить каждый из следующих векторов:

1) , 2).

7. Даны два вектора и. Определить проекции на координатные оси следующих векторов:

1) +; 2) -; 3) 2; 4) ; 5) 2+3; 6) .

Ответ. 1)2)3)4)5)6).

8. Определить при каких ,  векторы иколлинеарны.

Ответ. =4, =–1.

9. Принимая в качестве базиса векторы и, совпадающие со сторонами треугольникаABC, определить разложение векторов, приложенных вершинах треугольника и совпадающих с его медианами.

Ответ: ,, гдеM,N,P – середины сторон треугольника АВС.

10. Даны точки А(3,–1,2) и В(–1,2,1). Найти координаты векторов и.

Ответ.,.

11. Проверить коллинеарность векторов и. Установить, какой из них длиннее и во сколько раз, как они направлены: в одну или в противоположные стороны.

Ответ. длиннее в три раза,инаправлены в противоположные стороны.

12. Разложить вектор по трём некомпланарным векторам:.

Ответ. .

13. Доказать, что для любых заданных векторов векторы,,компланарны.

14. В тетраэдре OABC медиана AL грани ABC делится точкой М в отношении . Найти координаты векторав базисе из рёбер.

Ответ. .

15. В тетраэдре ABCD, DM– медиана грани BCD и Q– центр масс этой грани. Найти координаты векторов ив базисе.

Ответ. ,.

16. Заданы векторы и . Разложить вектор по базису векторов.

Ответ. .

17. Показать, что тройка векторов ,,образует базис в множестве всех векторов пространства. Найти координаты векторав базисе.

Ответ. .

18. Дан вектор . Найти, если,,.

Ответ. или.

§ 2. Скалярное произведение векторов

Основные теоретические сведения

Определение. Скалярным произведением векторов иназывается число, где– длины векторови, а– угол межу этими векторами.

Скалярное произведение обозначается или.

Из определения следует, что

Свойства скалярного произведения.

1. – коммутативность произведения.

2. – ассоциативность относительно числового множителя.

3. – дистрибутивность суммы.

4. Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектораи обозначается. Из определения скалярного произведения следует:, т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля (длины).

5.

6. Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе и, то.

Косинус угла между векторами: .

Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора, то работаА этой силы вдоль указанного пути, определяется равенством .