книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

и находят 6 (v o ). Найденное значение 6 определяет абсциссу центра окружности (рис. 154).

Теперь можно провести малую дугу окружности из начальной точки фазовой траектории (г/о. So) по ходу часовой стрелки; та­ ким образом определяется первый элемент фазовой траектории. С чертежа можно снять новое значение фазовой координаты vi, вновь подставить ее в выражение (496) и найти 6(vi), т. е. определить на оси абсцисс положение нового центра окружности. При помощи это­ го центра строят второй элемент фа­

зовой траектории и т. д.

Конечно, при этом построении нуж­ но следовать общим правилам графи­ ческих решений и, в частности, не брать слишком больших длин последо­ вательных отрезков.

Пример 31. Построить фазовую кривую для процесса установления фрик­ ционных автоколебаний, описываемых дифференциальным уравнением (480), если сила трения дана в виде (486). Параметры системы: пг = 0,102 кГ •сек/см,

ЗЯ* (А _

U

6Я*У0

з

vi

и выражение (493) принимает вид

302

ке с координатами 0,015; 0; из этого центра проведена вторая дуга до точки С2, в которой v = 0,07, и т. д.

'Фазовая траектория в целом изображена на рис. 155, б и обозначена циф­ рой II. Она представляет собой ceep-i

тывающуюся спираль. Другая фазовая траектория, начинающаяся в точке 0; 0,045, является развертывающейся спи­ ралью; она обозначена цифрой I. Фазо­ вые траектории типа I и II неограничен­ но приближаются к замкнутой траекто­ рии А, являющейся предельным циклом.

Кривая А несимметрична, причем особенно значительно нарушение симмет­ рии относительно вертикальной оси. Мак­ симальное и минимальное отклонения системы при ее движении по предельно­ му циклу равны соответственно 0,06 и 0,05 см. Таким образом, центр колебаний песколько смещен в направлении оси х

иполуразмах колебаний составляет

В данном случае более точными сле­ дует считать результаты графо-аналити­ ческого решения при помощи дельта-ме­ тода; во всяком случае, оно свободно от

30. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ

Автоколебания безмассовой системы

Рассмотренный выше метод определения амплитуды автоко­ лебаний можно считать удовлетворительным только в случаях слабой нелинейности, когда сила трения невелика и колебания приближенно можно считать синусоидальными.

Ниже рассмотрен приближенный метод, относящийся к слу­ чаю весьма большой силы трения. Вернемся к схеме на рис. 149

ибудем считать, что движение определяется только этой силой

исилой упругости и что силой инерции груза можно пренебречь. Уравнение движения такой безмассовой вырожденной системы

имеет чисто статический вид

где сх — сила упругости пружины;

308

R{v) — сила трения, являющаяся функцией относительной скорости.

Нужно помнить, что соотношением (498) установлена про­ порциональность координаты х силе трения R\ поскольку коор­ дината х не может во времени изменяться скачком, то и сила трения должна оказаться непрерывной функцией времени t.

На рис. 156 точке О соответствует состояние равновесия гру­ за, при этом сила трения R0 уравновешивает силу упругости сх0

неподвижности груза относительная скорость движения равна о,-» и состояние системы характеризуется той же точкой О.

ным описанием весьма быстрого изменения скорости. Уменьшение относительной скорости до значения Vy означает

направленную также вправо скорость х. Это вызовет дальнейшее перемещение груза вправо от положения равновесия. Такому процессу соответствует участок характеристики 1—2; с кинема­ тической стороны он характеризуется непрерывным ростом как

координаты х, так и скорости х, а со статической стороны — од­ новременным (и одинаковым) возрастанием как силы упругости пружины, так и силы трения. В точке 2 относительная скорость

обращается в нуль, т. е. абсолютная скорость х становится рав­ ной скорости ленты v0 и груз перестает скользить по ленте.

304

Продолжение движения вправо означало бы рост силы упру­ гости сх, и соответственно формуле (498) потребовалось бы уве­ личение силы трения R.

Однако сила трения возрастать далее не может; поэтому, как только изображающая точка достигает положения 2, движение груза вправо мгновенно прекращается.

Для определения нового значения скорости х нужно иметь в виду, что сила трения R должна остаться неизменной. Следова­ тельно, новое значение скорости отвечает изображающей точ­ ке 3.

Так как о3 > о0, то скорость груза х меняет знак. Следова­ тельно, после мгновенного изменения скорости от значения х2до

значения хз начнется движение груза влево. При этом движении деформация пружины будет убывать и, следовательно, будут убывать как сила упругости, так и сила трения R. Убывание си­ лы R возможно лишь вследствие уменьшения относительной ско­ рости v и соответствует участку 3—4; на этом участке уменьше­ ние относительной скорости будет непрерывным до точки 4.

Однако дальнейшее движение не может описываться ветвью 4—0— / —2, так как этой ветви соответствует рост силы трения R. Это противоречит уравнению (498), показывающему, что при движении груза влево сила упругости должна убывать, а не воз­ растать.

Поэтому в точке 4 скорость вновь должна мгновенно изме­

скорости при неизменном значении R. Затем груз будет двигать­ ся вправо вместе с лентой без скольжения, и сила упругости вновь начнет увеличиваться; при этом будет увеличиваться и си­ ла трения R. Это увеличение соответствует участку 5—2.

В точке 2 вновь произойдет разрыв скорости, изображающая точка переместится в положение 3, и т. д. Таким образом устано­ вится периодическое движение по циклу 2—3—4—5—2—3... без возврата на ветвь 4—0—1—2.

Описанный автоколебательный цикл установится при всяком начальном возмущении, если исходная изображающая точка ле­ жит в любом месте -падающей ветви характеристики трения,, т. е. при достаточно малой рабочей скорости v0.

Весь автоколебательный цикл состоит из двух этапов (описа­ ние начинаем с точки 5).

П е р в ы й э тап. Движение груза с постоянной скоростью v0 вправо совместно с лентой (участок 5—2). Смещение х опре­ деляется через силу трения по формуле (498) и имеет следующие значения: в начале этапа (точка 5) х5 = R5 : с и в конце этапа (точка 2) х2 = R2 : с.

305

На рис. 157, а и б представлены графики движения х = x(t)

и скорости x = x(t). График движения имеет «пилообразный» характер и резко отличается от закона гармонического движе­ ния. Наибольшие отклонения от значения Хо неодинаковы в обе стороны; поэтому удоб­ нее говорить не об ам­ плитуде, а о размахе автоколебаний; он оп­

ределяется суммой

I Х 2 |+ |Х ь |— /?2 — Rb

(499)

и может быть вычис­ лен по характеристике трения.

Длительность пер­ вого этапа движения вычисляется по зако­ нам равномерного дви­ жения

Несколько сложнее Рис. 157 вычисление длительно­ сти второго этапа дви­

жения.

Рассмотрим производную

dR

dx

взятую по скорости движения х. Из уравнения (498) получим dR — cdx — cxdt.

Следовательно,

dR • dt

— - = cx — г- ; dx dx

отсюда находим длительность второго этапа движения

Х%

306

Нижний предел интегрирования соответствует изображающей

оказывается почти вдвое меньшей длительности первого этапа. Период автоколебаний

T= h + h~- 3,02Я*

cvn

Размах колебаний по формуле (499)

ЗЯ$ R^ 2Я»

сс

Автоколебания при упрощенной характеристике трения

Одновременный учет массы колеблющегося объекта и значи­ тельных сил трения оказывается в общем случае затруднитель­ ным. Но в некоторых случаях указанный учет необходим. Так, например, отмечено, что не всегда обеспечивается плавное дви-

307

жение с весьма малыми скоростями, необходимыми при подаче на металлорежущих станках. Вместо него получается движение с периодическими остановками. Этот вопрос важен для тяжелых станков, где применяются малые скорости подачи и перемещае­ мые узлы имеют очень большой вес. В подобных случаях имеет место существенная нелинейность процесса и в то же время раз­ меры колеблющихся объектов никак не допускают 'предположе­ ния о «безмассовости» системы.

Приближенное решение подобных вопросов возможно при помощи упрощенной характеристики трения, приведенной на рис. 158. Эта характеристика дает два значения силы трения:

максимальную силу трения по­ коя Ri и постоянную силу трения движения R2.

Рассмотрим движение мас­

тсивного груза 1 (рис. 150,6), свя­

занного пружиной 2 с ведущим звеном 3. Скорость движения по- Г следнего будем считать постоян­

ной и равной Do-

Пусть движение груза 1 и звена 3 совершается с общей ско­ ростью D0Сила упругости пружины Р равна силе трения /?2-

Если скорость Do весьма мала, то малое случайное препятствие может оказаться достаточным для остановки груза. Рассмот­ рим, что произойдет после этого.

Ведущее звено, продолжая движение вправо, будет сжимать пружину до тех пор, пока сила сжатия Р не сравняется с мак­ симальной силой трения покоя Ri. Так как после этого дальней­ ший рост силы трения невозможен, то произойдет «срыв» груза 1. При этом сила трения Ri мгновенно уменьшится до значения Rz, тогда как сила сжатия пружины Р = Ri мгновенно не может из­ мениться и в первое мгновение начавшегося движения будет попрежнему равна R\. Мгновение срыва примем за начало отсчета

Рассмотрим последующее движение груза. К текущему мгно­ вению длина пружины изменится на величину х — Dot и сила упругости пружины уменьшится до величины

* В данном случае нельзя предполагать мгновенного скачка скорости. Такому скачку соответствует бесконечно большое ускорение, а следовательно, и бесконечно большие силы; здесь на груз в первое мгновение движения дей­ ствует конечная сила Ri — R2.

308

Дифференциальное уравнение движения груза запишется в виде

Ri — с{х — v0t) — Rz = тх,

или

первое слагаемое правой части выражает движение со ско­ ростью ведущего звена, а остальные слагаемые — дополнитель­ ные колебания груза.

Следующая остановка груза произойдет в мгновение, когда х

вновь обратится в нуль. Условие остановки х = 0 приводит со­ гласно соотношению (505) к уравнению

где t\— время от момента срыва до новой остановки. Введем безразмерный параметр

где Af — разность коэффициентов трения покоя и движения. Условие остановки принимает вид

Решая это трансцендентное уравнение, находим

Получив отсюда значение t\, можно по формуле (504) опре­ делить абсциссу Х\ груза в момент новой остановки, т. е. путь, пройденный грузом за время tx:

С учетом выражений (508) найдем по формуле (503) силу сжатия пружины в момент остановки:

P(tx) = 2Rz- R x.

309

Так как # 2 < то P(t\) < R\; следовательно, после останов­ ки груз некоторое время будет оставаться на месте, пока сила упругости пружины вновь не достигнет значения предельной силы трения покоя Ri.

За время, в течение которого груз покоится, сила сжатия пру­ жины постепенно возрастает на величину

bP = R1- P ( t 1) = 2(R1- R z),

и соответствующее укорочение пружины составит д / = А Р = 2(RX- R 2)

сс

Этой же величине равен путь, который проходит ведущее зве­ но за время, пока груз стоит на месте. Следовательно, длитель­ ность состояния покоя груза равна

Тот же результат можно найти из условия t'o (к - г к ) =

выражающего равенство перемещений груза и ведущего звена за период.

Таким образом, период автоколебаний груза определяется формулой

Т — к + к,

для пользования которой нужно сначала найти t\ из выражения (508), а затем к — из формулы (509). В момент t = Т происхо­ дит следующий срыв груза и начинается новый цикл авто­ колебаний.

Чем меньше скорость ведущего звена, тем более резко выра­ жен процесс автоколебаний. Действительно, при малых значе­ ниях v0 безразмерный параметр а становится весьма большим, и из выражения (508) в этом случае приближенно следует

sin pty -s- 0; t1 — — .

P

При учете выражения (509) период автоколебаний прибли­ женно равняется

Т = я + 2а

Р

Значение второго слагаемого в числителе увеличивается с уменьшением скорости iv, характер движения при двух различ­ ных малых значениях v0 показан на рис. 159. С уменьшением

310