книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

Полная диаграмма Айнса — Стретта представлена на рис. 143. Как видно, в плоскости параметров a, q области устойчивости чередуются с областями неустойчивости, причем наиболее широ­ кая, а потому и наиболее важная область неустойчивости содер­ жит точку а = 1, q = 0. Диаграмма Айнса — Стретта полностью освобождает от выполнения каких-либо операций по решению уравнения Матье. Достаточно составить это уравнение, т. е. най­ ти значения параметров системы а и q; после этого диаграмма сразу дает ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости

системы.

Проследим за изменением свойств параметрических колеба­ ний при постепенном изменении частоты возбуждения. Возвра­

щаясь для примера к выражениям (463), видим, что с возрас­ танием частоты оба параметра а и q пропорционально уменьша­ ются. Так как отношение обоих параметров остается постоянным, то последовательные состояния системы определяются изобра­ жающими точками на штриховом луче q = ka, проходящем через начало координат. На рис. 143 отчетливо видно чередование ус­ тойчивых и неустойчивых состояний при возрастающих значени­ ях частоты возбуждения.

24. СЛУЧАИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ИЗМЕНЕНИЯ ЖЕСТКОСТИ

Эти случаи весьма часто встречаются в системах самого раз­ личного вида; приведем несколько примеров.

На рис. 144, а показана система, упругой частью которой яв­ ляется зубчатый (шлицевый) вал 1. На нижнем конце вала на­ ходится диск 2. С валом соединена зубчатая (шлицевая) мас­ сивная втулка 3, которая может скользить вдоль оси вала и со­ вершать гармонические колебания в вертикальном направлении.

282

В этой системе возможно возбуждение не только изгибных, но и крутильных колебаний. Пусть свободная длина вала в текущий момент времени t составляет

/ = /0 Acos шt.

При этом коэффициент жесткости вала на кручение

GJp GJp

(464)

Рис. 144

Если амплитуда колебаний А значительно меньше среднего значения длины /0, то выражение (464) можно представить в форме

что по структуре полностью совпадает с выражением (461). По­ этому крутильные колебания рассматриваемой системы также описываются уравнением Матье (460), причем

4GJp

2AGJP

Следовательно, рассматриваемая система при некоторых условиях, определяемых диаграммой Айнса—Стретта, может оказаться в состоянии параметрического резонанса. Конечно, то

283

же может быть и в случаях, когда ось вала не совпадает с вер­ тикалью.

Другой пример системы с периодическим изменением жестко­ сти представлен на рис. 144, б. Система содержит диск, закреп­ ленный посредине вертикального вала 2. На части длины вал имеет поперечное сечение с различными главными моментами, инерции; по этой причине жесткость вала неодинакова в двух главных направлениях х и у. Направляющие 3 фиксируют плос­ кость, в которой может происходить изгиб вала. Поэтому при вращении вала в подшипниках 4 его жесткость на изгиб в этой плоскости периодически меняется и возможно параметрическое возбуждение колебаний.

Заметим, что если направляющие отсутствуют, то, как было указано выше (см. стр. 171), вал неустойчив во всей области уг­ ловых скоростей:

Поучительный пример параметрического возбуждения коле­ баний представляет собой система, показанная на рис. 144, в. Шахтная клеть 1 равномерно движется по вертикальным направ­ ляющим 2, которые закреплены на шпалах 3. В этой системе по­ перечная жесткость, определяющая восстанавливающую упругую силу при поперечных колебаниях клети, переменна: если клеть находится на уровне очередной пары шпал, то эта жесткость до­ стигает максимума, если же клеть расположена против середи­ ны свободного пролета направляющих, жесткость минимальна. Частота изменения жесткости зависит от расстояния между шпа­ лами и от скорости движения клети:

отсюда ясно, что существует ряд «запретных» диапазонов скоро­ сти v, соответствующих условиям параметрического резонанса. Эти соображения полностью подтверждены экспериментальными исследованиями.

25. СЛУЧАИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ НАГРУЗОК

Простейший пример системы рассматриваемого типа пред­ ставлен на рис. 145, а. Масса 1 закреплена на верхнем конце вер­ тикального совершенно жесткого стержня 2\ внизу стержень име­ ет опору, упруго сопротивляющуюся повороту («упругий шар­ нир»). На верхний конец стержня действует вертикальная сила Р. Такая система представляет собой результат упрощенной схема­ тизации реального стержня, обладающего распределенными мас­ сой и упругостью.

284

Сила Р является параметрической нагрузкой, и, если она не­ изменна во времени, ее критическое значение можно найти при помощи метода Эйлера. Пусть <р — угол отклонения стержня от вертикали и с — коэффициент жесткости упругого шарнира. Тог­ да восстанавливающий момент (момент упругого шарнира) со-

Рис. 145

ставляет — Сф, и уравнение равновесия стержня в отклоненном

моментов относительно шарнира 3 содержит инерционный член и имеет вид

При с = Р1 частота свободных колебаний системы обращает­ ся в нуль, т. е. система становится неустойчивой. Для значения критической силы вновь следует прежний результат (466).

Рассмотрим теперь случай, когда сила Р изменяется во вре-

.мени, следуя гармоническому закону

-Р = Р0 + РгCO S oit.

это уравнение приводит к стандартной форме уравнения Матье

При возрастании частоты со параметры а и q пропорциональ­ но уменьшаются. Штриховой луч на рис. 143 указывает, что си­ стема проходит ряд последовательно чередующихся устойчивых и неустойчивых состояний. Наклон луча определяется отноше­ нием

а2 (Ркр — Р0) ’

критическому значению Ркр, тем круче проходит луч и тем шире пересекаемые им участки областей неустойчивости. Конечно, это естественно, так как приближение - силы Р0 к эйлеровой силе должно облегчить возникновение неустойчивости.

Важно заметить, что потеря устойчивости возможна при сколь угодно малых значениях сжимающей статической состав­ ляющей Р0 и даже при изменении ее знака (т. е. при растягиваю­ щей статической составляющей). Как видно из рис. 143, луч q = ka при Ро < 0 проходит весьма полого, но также пересекает ряд областей неустойчивости.

С другой стороны, диаграмма Айнса — Стретта позволяет ус­

286

но система остается устойчивой, если \q\ < 1. Согласно услови­ ям (468) для этого необходимо выполнение неравенства

При PQ> Ркр луч q = ka располагается во втором квадранте диаграммы Айнса — Стретта; на рис. 145, б видно, что и в этом случае возможна устойчивость системы в надлежаще выбранном диапазоне изменения частот со. Таким образом, вибрационная со­ ставляющая сжимающей силы может при известных условиях стабилизировать систему, которая неустойчива в отсутствие ко­ лебаний.

26. МАЯТНИК С КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ ТОЧКОЙ ПОДВЕСА

Рассмотрим маятник, изображенный на рис. 146, а. Если точ­ ка подвеса неподвижна, то единственной силой, создающей мо­

Рис. 146

мент относительно точки подвеса, является вес груза mg; соот­ ветственно уравнение малых колебаний маятника имеет вид

mgl<p = ml2<p.

Если же точка подвеса колеблется вдоль оси у по закону у — Acos ш/,

то при составлении уравнения моментов нужно учесть перенос­

ную силу инерции —ту = mAco2cos со/; ее момент составляет тАсо2/ф cos со/, и уравнение колебаний маятника запишется в виде

287

подвеса и сколь бы малой ни была амплитуда А, неустойчивость нижнего положения маятника наступает вблизи значений а — 1,

Обсудим теперь вопрос об устойчивости верхнего положения

маятника (рис. 146, б). При неподвижной опоре это положение, конечно, неустойчиво; однако вибрации основания могут придать этому положению устойчивость. Чтобы получить уравнение дви­ жения для данного случая, достаточно изменить знак перед чле­ ном, содержащим ускорение g в уравнении (469); соответствен­ но параметр а становится отрицательным:

(остальные величины останутся прежними).

Из рис. 146, в видно, что верхнее положение маятника может быть устойчивым. При небольших амплитудах А колебаний точ­

ки подвеса (когда |<?| < 1) устойчивость верхнего положе-

п2

ния достигается, если удовлетворяется неравенство |а| < — .

2

Согласно выражениям (470) это условие устойчивости принима­ ет вид

о) > V 2gl

А

27. СЛУЧАИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ИЗМЕНЕНИЯ ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ

Решим вспомогательную задачу о крутильных колебаниях си­ стемы, показанной на рис. 147, а. .Примем, что в этой системе массой обладают только диск 1 и груз 4, причем полярный мо­ мент инерции диска /; масса груза т . Вал 2 закреплен одним концом и может только закручиваться. Тяга 3 является совер­ шенно жесткой и служит лишь связью между диском 1 и грузом 4, который может перемещаться по горизонтали; длина тяги значи-

288

тельно больше радиуса диска. Такая система имеет одну степень свободы.

Положим, что диск совершает свободные колебания около положения равновесия; очевидно, что в этот процесс будет во­ влечен и груз 4, влияние инерции которого можно определить энергетическим методом.

Пусть <р — угол поворота диска в процессе колебаний, так что закон свободных колебаний диска имеет вид

Ф = a sin pt,

где р — собственная частота системы; а — амплитуда крутильных колебаний диска (рис. 147, б).

Максимальная угловая скорость вращения диска

фтах —" Яр,

и максимальная кинетическая энергия диска составляет

Из рис. 147, б видно, что углу поворота диска ф соответствует горизонтальное смещение точки М, равное гф sin а. При большой длине тяги 3 допустимо считать, что смещение груза 4 равно той

же величине

х = npsin а.

289

Скорость перемещения груза 4 имеет вид

х = r(psinct.

Максимальное значение скорости перемещения груза

J^max = № р S in Gt,

так что максимальная кинетическая энергия груза составляет

•2

_ тхтах _ т (rap sin g )2

Следовательно, максимальная кинетическая энергия системы

молсет быть истолкована как приведенный момент инерции массы диска и позволяет вместо системы (рис. 147, а) рассматривать эквивалентную систему (рис. 147, в) .

Из BbipanteHHH (471) видно, что влияние Инерции груЗа 4 на процесс колебаний зависит от угла а.

Основываясь на выражении (471), обратимся к задаче о колебаниях простейшего кривошипно-ползунного механизма (рис. 147, г).

Если массу шатуна заменить двумя массами, из которых од­ на (mi) вращается вместе с кривошипом, а другая движется вме­ сте с поршнем, то получится схема, показанная на рис. 147, д. Следовательно, к моменту инерции кривошипа 1кр должен быть прибавлен момент инерции присоединенной массы шатуна т\гл.

На основании приведенного выше решения вспомогательной

здесь m2 — общая масса поршня и соответствующей части ша­ туна.

Уравнение колебаний такой системы имеет вид {см. формулы (12) и (15)]

290