книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

шениями (собственные формы колебаний). Подставив выраже­ ния (404) в уравнения (396), получим систему уравнений относи­ тельно новых функций ft и f2

На первый взгляд эта система уравнений ничуть не проще си­ стемы уравнений (396). Однако последующие выкладки покажут, что возможно существенное упрощение уравнений (405).

Предеде всего при помощи соотношений (402) и (403) пере­ пишем уравнения (405):

Дальнейшие упрощения вытекают из свойств ортогональности собственных форм колебаний. Умножим первое уравнение (406) на ац, а второе на а2ь сложив затем полученные уравнения, найдем

и из записанного уравнения выпадает функция f2 и ее вторая

производная f2; в результате получается дифференциальное уравнение для одной функции ft

m jafj -j- т 2«21

Совершенно так же может быть получено дифференциальное уравнение относительно функции /2; для этого нужно первое уравнение (406) умножить на а\2, второе уравнение на а22 и сло­ жить полученные уравнения. Используя затем то же свойство ор­ тогональности, получим

Таким образом, способ разложения по собственным формам колебаний приводит к раздельным уравнениям (407) и (408), каждое из которых описывает колебания некоторой системы с од­ ной степенью свободы.

252

Если обозначить правые части дифференциальных уравнений (407) и (408) соответственно через F\sin о / и F2sin со/, где

то стационарная часть решения имеет вид

Теперь при помощи соотношений (404) образуем решения для координат *i и дг2:

Заметим, что указанные приемы обеспечивают разделение уравнений и при большем числе степеней свободы.

Разложение решения по собственным формам колебаний при сохранении заданного вида периодических нагрузок. Основное преимущество рассмотренного выше способа — разделение урав­ нений — никак не связано с тем или иным конкретным видом воз­ мущающих сил. Иными словами, разделение уравнений столь же легко достигается в случае произвольно заданных возмущающих сил P\(t), P2(t), как и в рассмотренном случае гармонических возмущающих сил Pi sin to/ и /*2sin©/. Не повторяя выкладок, приведем сразу окончательные уравнения для общего случая:

ml a l2~\~ m 2a 22

В§ 18 мы видели, что подобные уравнения без особых затруд­ нений интегрируются при любом виде правых частей; там же был рассмотрен случай произвольной периодической возмущающей силы. Таким образом, способ разложения решения по собствен­ ным формам колебаний вовсе не требует предварительного раз­ ложения возмущающих сил на гармонические составляющие.

Определение гармонических составляющих является громоздкой операцией и требует учета иногда большого числа гармоник; эта операция оправдана, когда намечено вести решение первым спо­ собом, но представляется необязательной или даже излишней, если используется разложение по собственным формам коле­ баний.

Крутильные колебания валов

Общие сведения. Вынужденные колебания валов являются неизбежным следствием переменности вращающих моментов, действующих на вал; эти моменты носят периодический характер и обусловлены как давлением газа © цилиндрах, так и силами инерции движущихся частей.

Рассмотрим наиболее общий случай, когда иа отдельные дис­ ки эквивалентной системы (см. рис. 46, а) действуют любым об­ разом заданные переменные моменты. Средние во времени зна­ чения этих моментов вызывают также постоянную во времени деформацию вала; поэтому для анализа колебаний достаточно учесть влияние лишь переменных частей каждого момента. Эти части обозначим через Mi(t), ..., Mn(t) и будем называть

возмущающими моментами.

Если считать неупругие сопротивления отсутствующими, то уравнения вынужденных колебаний будут отличаться от уравне­ ний свободных колебаний (124) наличием возмущающих мо­ ментов:

М „ (0 — Сп- i (фп — ф я - 0 = /пфя •

Для решения полученной системы уравнений могут быть ис­ пользованы все три указанные выше способа.

Непосредственное решение. Для применения первого спосо­ ба необходимо предварительно разложить периодические возму­ щающие моменты в ряды Фурье. После этого уравнения (409) решаются несколько раз — отдельно для каждой гармоники 'воз­ мущения. Это приводит к ряду однотипных частных задач, каж­ дая из которых требует анализа действия возмущающих момен­ тов одинаковой частоты sco:

254

При возмущении этого типа стационарные колебания будут происходить с частотой возмущения

ф! = ахsin scu/;

ср2 = й2 sin so)/;

(411)

Ф„ = апsin sco/.,

Подставив выражения (410) и (411) в уравнения (409), полу­ чим систему алгебраических уравнений

— /js2^ — сг(а2— ах) = Mls;

— 12S 2O)2а2 + а (а2— аг) — сг (а3— а2) = M2s;

(412)

^nS2U)2fl/t -}- Cn_i (&п— йп—i) — Mtt$ •

Решая эту систему, находим амплитуды ah а% ..., ап, а затем и крутящие моменты в сечениях вала: С\(а2— й\) — на первом участке, c2(az — а2) — на втором участке и т. д.

При решении системы алгебраических уравнений (412) целе­ сообразно использовать особенности ее цепной структуры, по­ скольку в каждое из уравнений входит не более трех неизвест­ ных. В литературе можно встретить ряд рекомендаций по упрощению процесса вычислений (способы динамических жест­ костей, цепных дробей и др.).

В частности, возможна следующая модификация способа

Каждое такое соотношение выражает равенство крутящего момента в сечении i-ro участка вала (левая часть) сумме момен­ тов сил инерции и внешних моментов всех расположенных слева дисков (правая часть); разумеется, здесь речь идет об ампли­ тудных значениях всех упомянутых величин. Из выражения (413) следует формула, подобная выражению (132а),

При пользовании этим способом в задаче свободных колеба­ ний отмечалось, что амплитудой колебаний первого диска можно произвольно задаться и что искомой является частота. В рас­ сматриваемой задаче вынужденных колебаний нужно считать

255

частоту ш известной и принять за основную неизвестную первую амплитуду а,\. Последовательно принимая i = 1, i = 2, можно из формулы (414) выразить сначала ог через аь затем о3 через щ и т. д. Последняя формула системы уравнений (412) позволит определить неизвестную а.\, после этого легко вычисляются ос­ тальные амплитуды.

Указанные выкладки ведут обычно при помощи таблицы, фор­ ма которой близка к табл, на стр. 99.

Разложение решения по собственным формам колебаний.

Этот способ требует предварительного расчета частот и форм свободных колебаний, после чего определение вынужденных ко­ лебаний становится сравнительно простым. Обоснование расчет­ ного способа может показаться несколько громоздким, но по су­ ществу очень несложно и совпадает с данным выше. Будем счи­ тать, что известны как собственные частоты р2, —,Рп-и так и соответствующие собственные формы колебаний (т. е. отноше­

Система функций, определяющая любое t-e главное коле­

Фл = ani sin {Pit + a*)>

удовлетворяет системе уравнений свободных колебаний (124). Подставив выражения (415) в систему уравнений (124), получим вспомогательные соотношения

Произведем замену переменных в системе уравнений (416), введя новые функции U(t),. ..., связанные с функ­ циями <pi (г), ф г(0,..., фп (/,) следующим образом:

^ fo~Ь Gufy -f- 012/2 • • • -Ь ai ,ri—\fn—1;

Фя fo H"Q-nlfl 4“ On2/2 “H••■#л,я—l/я—1•

256

Функция f0(£), общая для всех уравнений системы (417), со­ ответствует вращению системы как жесткого целого, т. е. нулевой собственной форме колебаний. Коэффициенты первой строки Дц, 3i2, ...» ai,n-i принимаются любыми (например, аи = а12 = = ... = 1); тогда остальные коэффициенты определяются соот­ ветствующими собственными формами.

Подставив выражения (417) в систему уравнений (409), по­ лучим

М-1+ Ci[(a2i — Оц) fi + (Ягг — ^ia)f2 + — (02,п—i tfi,n-t)fn-t] —

= Л (foНaufiЧ* auh “Ь •*• Ч" ai,п—ifn—i);

Mn— Cn—l [(#/t_l — On- 1,n) fi 4- (On2— Art—l .2 ) fi 4~ •••4- (flrt n-1

» • «4 • » .

— On- 1,n-l) fn-l] — К (fo 4- flnlfl 4- Onzfz Ч- •••Ч- Оп'П-lfnJ-

Запись уравнений упрощается при учете соотношений (416):

Mi — Iiipioufi Ч" P^Oizfz Ч" •••Ч- Рп—\0\ ,п—\fn—1 ) = = / 1 (fo Ч- o-iifi + 0x2(2 Ч* ... Ч* о\ ,n~ifn—i)'>

М3 — liipiozifi Ч" P2O22.fi Ч“ •••Ч* Pn—l02,n—\fn—\) == = ^2 (/о 4“ #2ifi Ч- O22J2 Ч" •••Ч" Ог.п—ifn—i)‘t

М„ — In (pionxfi Ч* P2anih + •••Ч" Pn-lOn,n-\fn-l) =

— /« (fo Ч" flnifi Ч- cn2f2 4“ ••♦Ч- on,n—\fn—\)

M„ = In[fo 4“ #nl (fl 4“ plfl) 4“ On2 (f2 4- P2fi) +

4" • • • + Яя.П—l(fn—1 4“ P/t—ifn—l)l •

257

Эта система уравнений распадается на независимые уравне­ ния, если, как и выше, воспользоваться свойством ортогонально­

сти нормальных форм. Сложим все уравнения (418). Тогда пер-

Ш

как сумма в первой скобке обращается в нуль вследствие орто­ гональности первой нормальной и нулевой форм колебаний. Точ­ но так же обращаются в нуль результаты суммирования всех следующих слагаемых, входящих в правые части уравнений (418). Поэтому после сложения всех уравнений (418) получим

JWI + М2+ . . . + Мп = (1г -j- / 2 + ... + I n)f0]

отсюда, интегрируя, можно найти функцию f0.

Далее, умножив первое уравнение (418) на aiU второе урав­ нение на а2и третье уравнение на а2\и т. д., сложим все получен­ ные уравнения.

Первые слагаемые правых частей образуют произведение

{al J 1 + a2l h + •••+ anl^n) /о»

причем сумма в скобках равна нулю. Суммирование вторых сла­ гаемых даст отличное от нуля выражение

(япЛ. + o |i/2 + •••Н~ Q n ilп) ( h "Ь Р?/х)•

При суммировании третьих слагаемых образуется выражение

(Я11Я12Л. + 021022^2 + •••+ anianzlп) (h "Ь P%h) •

Вследствие ортогональности первых двух форм колебаний сумма в первой скобке, а вместе с этим и все это выражение рав­ но нулю. Также равна нулю сумма четвертых слагаемых и т. д.

Левые части уравнений (418) после этих операций дадут сумму

+ М2а21-Т ••• + Mnani.

Окончательно получим дифференциальное уравнение, содер­ жащее только одну функцию fь

M1Q1 1 Н-M2a2l+ ... + Mnanl

аи П + а21^2 + ••• + anl^n

Аналогичным путем можно получить уравнение для функ­ ции /2 . Для этого нужно умножить первое уравнение (418) на alit второе уравнение на a22i третье уравнение на а32 и т. д., лос-

258

ле чего снова сложить все уравнения. Тогда получим дифферен­ циальное уравнение

Последовательно применяя тот же прием, можно образовать отдельные уравнения для остальных неизвестных функций. Для i-й функции fi получим

простыми задачами о колебаниях системы с одной степенью сво­ боды. Каждая из таких задач решается при помощи методов, рассмотренных в § 18.

При практическом расчете крутильных колебаний валов су­ щественными оказываются решения, соответствующие первым двум-трем собственным формам колебаний; это значит, что до­ статочно решение двух-трех уравнений типа (419), когда i = 1,2,3.

При периодичности внешних возмущающих моментов правые части дифференциальных уравнений также будут периодически­ ми функциями. Для дальнейшего решения обычно производят разложение каждого из возмущающих моментов в ряд Фурье, после этого анализируется влияние каждой гармоники, а затем производится сложение всех найденных результатов.

В принципе все эти выкладки сравнительно просты, но не сле­ дует забывать, что они должны быть повторены для всех важ­ нейших гармонических составляющих возмущения; расчет обыч­ но осложнен тем, что число гармоник довольно велико. Следую­ щий пример дает представление об относительной важности раз­ личных гармоник возмущения в частном случае одного четырех­ тактного двигателя внутреннего сгорания:

Как видно, амплитуды гармоник убывают очень медленно, и в данном случае в расчете нужно учесть не менее 13— 15 гармо­ ник. Еще раз подчеркнем, что разложение возмущающих момен­ тов в ряд Фурье необязательно, если решение находится при по­ мощи уравнения (419).

Ввиду того, что угловая скорость вращения вала может ме­ няться в процессе эксплуатации, частоты возмущения cos = so

259

непостоянны; вместе с изменением режима вращения меняются и частоты возмущения. При этом становится реальной возмож­ ность совпадения частоты какой-либо гармоники возмущения с одной из собственных частот. В случае такого совпадения система оказывается в резонансном режиме и в расчет амплитуд колеба­ ний следует ввести силы неупругого сопротивления.

Полное решение задачи, даже в простейшем предположении вязких сил трения, оказывается-очень громоздким. Поэтому прак­ тические расчеты производят приближенными способами. Основ­ ное упрощение состоит обычно в том, что форма колебаний при резонансе принимается совпадающей с соответствующей собст­ венной формой, определенной без учета сил затухания.

Пусть, например, одна из гармоник возмущающей силы име­ ет частоту cos, равную i-й собственной частоте; тогда в расчете колебаний учитывается только i-я собственная форма, и если за­ тухание носит вязкий характер, то вместо уравнения (419) по­ лучится

}] + 2n,f, + pift = Qi sin p^,

где Щ— коэффициент затухания (зависящий от номера резони­ рующей гармоники);

Qi — приведенная амплитуда возмущающей силы.

Это уравнение по смыслу совпадает с уравнением (357). Со­ гласно формуле (360) резонансная амплитуда в данном случае2

2npi

После вычисления резонансного значения а* следует образо­ вать резонансные значения амплитуд углов поворота; при помо­ щи формулы (417) получим (в каждой строке опущены как ма­ лые все слагаемые, кроме г-го)

<Pi = alfa*; ф3 = в ь а*> ••♦Ф« = ania * .

Изгибные колебания балок

Исследование вынужденных колебаний многомассовых си­ стем, подобных изображенной на рис. 47, б, можно вести любым из способов, указанных выше (см. стр. 248). Если возмущающие силы заданы в виде одной-двух гармоник, то предпочтительнее первый способ, не требующий предварительного исследования свободных колебаний.

Допустим, что на k-ю массу многомассовой системы действу­ ет возмущающая сила

где Pk — амплитуда силы; © — ее частота.

260

Тогда в уравнениях (134) появятся дополнительные слагае­ мые, соответствующие этому возмущению:

Уп = — МхУхЬпх — ЩУ>Аъ — . .. — т„упЬпп+ рА ь sinш*.

Стационарная часть решения имеет вид

Ух = а± sin <ot;

у2= агsin оit;

(422)

уп —artsinarf.

Подстановка выражений (422) в уравнения (421) приводит к системе уравнений, служащих для определения амплитуд коле­ баний аи а2, ..., ап:

В этих уравнениях известны все коэффициенты (массы /я*, перемещения 6 ^, частота со), и для определения п амплитуд нуж­ но решить полученную систему п алгебраических уравнений. Эта задача облегчается яри использовании алгоритма Гаусса [51].

Однако этот алгоритм применим лишь в тех случаях, когда коэф­ фициенты при неизвестных обладают свойством взаимности: ко­ эффициент при r-м неизвестном в s-й строке равен коэффициенту при 5 -м неизвестном в r-й строке. При неравных массах mi систе­ ма уравнений (423) этим свойством не обладает; так, например, коэффициент при а2 в первой строке (т2Ь\2ю2) отличается от коэффициента при а\ во второй строке (m^ia)2) . Можно добить­ ся выполнения условия взаимности, если ввести новые неиз­ вестные:

Ах = тгах, Аг = т2а2; ... Ап = тпап.

261