Разложение решения в ряд по собственным функциям. В об щем случае внешняя нагрузка произвольным образом распре делена по длине и является какой угодно функцией времени
я= д(х, О-
Вчастности, нагрузка может меняться во времени по закону, общему для всех точек:
Согласно рис. 61, учитывая элементарную внешнюю нагрузку qdx, получим при EF = const
EF — |
— 9F — |
= q (x , t). |
(441) |
da2 |
' дх* |
чк J |
v ; |
Далее нагрузка q(x, t) и перемещение и(х, t) представляют ся в виде рядов по собственным функциям соответствующей зада чи о свободных колебаниях [см. формулу (162)]:
Я= Х1 (х) Sj_ (t) + |
Х2 (я) 53 (t) -f- |
. . . ; |
1 |
(442) |
и — Xi(x)Tx (t) + |
Х 2(x)T2(t) |
. .. |
J |
|
Для определения функций времени Si(t) умножим обе части уравнения (441) на Xi(x) и проинтегрируем результат по всей длине стержня. При интегрировании в правой части исчезнут все слагаемые, кроме £-го (вследствие свойства ортогональности соб ственных функций), и для Si(t) получится формула
i
|
X t (x)dx |
|
Si (t) = |
---------------- . |
(443) |
^ X f(x)d x |
|
о |
|
|
Если нагрузка меняется по закону (440), то |
|
{ |
|
|
j |
Яо (х) Xi {х) dx |
|
St(it) = Я (0 1 — '---------------- , |
(443а) |
|
(x)dx |
|
|
о |
|
т. е. функции S{(t) для всех номеров i отличаются |
лишь мас |
штабом. |
|
|
Если нагружение осуществляется сосредоточенными силами Ра (Т) » Яь(0» — в сечениях с абсциссами а, 6, .... то формула (443) принимает вид
= Pa(QXt-(a) + P6(OXt-(b )-K .. ^ |
(444) |
JXJ(я)4я
Определение функций Г{(^) основано на том, что каждое сла гаемое в правой части верхнего ряда (442) вызывает движение, определяемое соответствующим слагаемым нижнего ряда (442). Поэтому в уравнение (441) можно подставить
Ь= Xt(х) St(t); и = Xt(х) Tt(t). (445)
Тогда получим уравнение
EFX't Tt-p F X tf t = XiSl
или после деления на рЕХгТг-
X Ti
Согласно первой формуле (159 а) левая часть полученного равенства постоянна и равна —pf . Следовательно, тому же равна
и правая часть; отсюда
Т,+ р1т= s‘
|
|
РЕ |
Как было указано выше (см. стр. 195), решение такого урав |
нения имеет вид |
|
|
Tt = — 5— |
f Si (т) sin pi (t — т) <h. |
РF p i |
J |
|
Эта формула и решает задачу, так как дает возможность об |
разовать вторую из сумм |
(442). |
|
Если нагрузка следует закону (440), то при учете выражения |
(443а) можно написать |
|
|
i |
|
|
j ЯоО) Xi (я) dx |
t |
Т, = —-------------------- J Н(х) sin р, « - т) А . |
pFp, j' Xf lx) dx |
° |
0 В случае произвольной периодической функции Я(т) следует
воспользоваться способами, изложенными выше (см. стр. 220— 225). Конечно, в простейшем случае (436) проще искать решение в виде (430), определяя U(х) по выражению (437).
Изгибные колебания балок
Гармоническое возмущение', непосредственное решение. Рас смотрим случай, когда возмущающая нагрузка задана в виде со
средоточенной силы |
|
Р = Р0sin at |
(446) |
или комбинации нескольких нагрузок того же вида с одинаковой частотой. Решение для прогибов будем разыскивать в виде
у{х, t) = Y(x) sin at, |
(447) |
сводя задачу к определению формы колебаний |
(кривой ампли |
туд прогибов) У(х). |
|
В случае m = const, подставив в уравнение (173) выражение |
(447), получим подобно уравнению (176) |
|
y iv -----= 0. |
(448) |
EJ |
|
Решение дифференциального уравнения (448) |
имеет вид, по |
добный выражению (178): |
|
Y = CXS + С2Т + С9и + С 4К, |
(449) |
где 5, Т, U и V — функции Крылова (179), в которых вместо вы ражения (177) нужно принять
Для определения постоянных С\, С2, С3 и С4, входящих в об щее решение (449), необходимо использовать граничные условия. Кроме сказанного выше [см. формулы (182а) — (185)], здесь необходимо рассмотреть, по крайней мере, еще два случая.
Возмущающая сила P^sinat приложена на конце балки (рис. 139, а, б). Тогда этой силе должна быть равна поперечная сила:
Q = EJy'” = EJY"'sinat,
и граничное условие принимает вид
у m_ Рр
~ EJ
(верхний знак соответствует силе, приложенной к правому концу, нижний знак — силе, приложенной к левому концу). Кроме того, здесь же должно быть Y" = 0.
|PBSlnut
Возмущающая сила Posin ai приложена в промежуточном се чении балки (рис. 139, в). В этом сечении должны выполняться четыре условия сопряжения:
Г(о_) = Г (а+); Y'(a_) = Y'(a+y,
Y" (а_) = (У” (а^ |
); У" (а_) - У" (aJ = -EАJ -, |
|
1 |
где а — абсцисса сечения, в котором приложена сила. Индексы — и + соответствуют сечениям, расположенным непосред ственно рядом слева и справа от сече ния а.
Первые три условия означают не прерывность прогиба, угла поворота сечения и изгибающего момента в точ ке приложения возмущающей силы; четвертое условие выражает разрыв функции поперечной силы в указанном сечении на величину Р0.
При большем числе возмущающих сил удобен предложенный Н. И. Безу ховым способ начальных параметров [6].
возмущающая
P0Sinut|
0)
6}
PgSlflUt
6)
Рис. 139
Пример 28. Определить кривую амплитуд колебаний консольной балки длиной I, если к ее свободному правому концу приложена возмущающая сила (446).
Граничные условия имеют вид
Y (0) = 0; У ' (0) = 0;
У" (/) = 0; У"(0 = EJ
Первые два условия дают Ci = С2 = 0, а третье и четвертое условия при водят к уравнениям
&(С35/ + С4Г/) = 0;
k3(D3Vi + CiS[) = |
P° |
■ |
|
EJ ’ |
отсюда находим |
|
|
Ti |
|
Р0’> |
tfEJiSf-Tfo) |
С ,= |
|
|
Si |
|
|
С4— --------2 ----- р0- |
k*EJ(Sf— TiVi) |
|
Подставив это в выражение (449), получим |
|
P0(StVx -T iU x) |
(450) |
У = • |
7 ^ ) |
&EJ(sf - |
* |
Амплитуда прогиба конца консоли равна
у ... P .(sp i-T ih )
Если подставить сюда выражения функций Крылова, то получится
Р0(sh kl cos kl — ch kl sin kl)
Отсюда видно, что при
ch kl cos kl -f- 1 = 0
наступает резонанс; этот случай соответствует совпадению частоты возмущаю щей силы с какой-либо из собственных частот. В то же время, если выполня
ется равенство
tg kl — th kl,
то конец консоли будет оставаться неподвижным (антирезонанс).
Разложение решения в ряд по собственным функциям. В об
щем случае, когда возмущающая |
поперечная нагрузка |
задана |
произвольным законом |
q = q(x, t), |
|
|
|
|
|
дифференциальное уравнение приобретает вид |
|
dt* |
m |
дх* |
m |
(451) |
4 ' |
и отличается от уравнения |
(173) наличием правой части. |
|
Как и выше, представим q(x, t) |
в виде ряда |
|
q(х>t) — Хх(х)Si (t) + Х2(JC)S2{t) -(-••• |
(452) |
и также в виде ряда будем разыскивать решение для прогиба
У {х, t) = Х х (х ) Tx(t)-{- Х2(х)T2(t) -{- . . . |
(453) |
Для определения функций времени Si(t) умножим обе части равенства (452) на Х{(х) и проинтегрируем результат по всей длине балки; ввиду ортогональности собственных функций в пра вой части остается только одно слагаемое, соответствующее но меру г, так что
J Я{х, t)Xi(x)dx
Si (t) = - — ----------------- |
. |
(454) |
jx?(x)dx
Эта формула совпадает по записи с формулой (443), выведен ной выше для случая продольных колебаний, но в выражении (454) Xi(x) представляют собой собственные формы задачи о свободных колебаниях балки («балочные функции»). Поэтому
здесь также справедлива формула (444), относящаяся к случаю сосредоточенных возмущающих сил.
Учитывая, что каждое слагаемое ряда (452) вызывает движе ние, описываемое соответствующим слагаемым ряда (453), мож но записать уравнение (451) в виде
X{f . + J L Х™г. =
тт
Разделив обе части на XiTit получим
т Xi Tt mTi
Левая часть этого равенства равна —pj; поэтому
J ± ___ Sf |
_ _ 2 |
Ti |
mTi |
Pt* |
Отсюда получим дифференциальное уравнение для Г*:
f , + p t r , = -ТП
Общее решение этого уравнения имеет вид
, |
* |
(455) |
Тi (t) = ------ Г Si (т) sin pi (t ~) dx. |
mpi |
J |
|
Пример 29. Построить решение для случая, когда конец консольной балки испытывает действие произвольно заданной сосредоточенной силы
В этом случае согласно формуле (454)
j Xf(x)dx
о
и формула (455) приобретает вид
Т,(/) = |
(т) sin pi (t — т) dx. |
При помощи последнего выражения может быть получено решение при любом законе Pi(t); в случае периодического воздействия (в частности, перио дических ударов) следует использовать способ, приведенный на стр. 221—222.
Изложенный способ позволяет получить решения и в случаях переменного сечения, если заранее найдены собственные формы Xi и собственные частоты /?*.
Г Л А В А V
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
23.ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ
Вряде случаев параметры механической системы (т. е. ее
жесткость или масса) не остаются неизменными, а являются не которыми заданными функциями времени (обычно периодиче скими) .
Если нарушить состояние равновесия такой системы, то будут
совершаться своеобразные колебания: с одной стороны, их нель зя назвать свободными, поскольку система испытывает опреде ленное внешнее воздействие в виде изменения жесткости, а с другой стороны, они не являются вынужденными, так как внеш нее воздействие не проявляется в виде заданной силы. Эти коле*> бания называются параметрическими и в зависимости от свойств системы и характера изменения ее параметров могут иметь ог раниченные или возрастающие амплитуды; последний, очевидно, опасный случай, называется параметрическим резонансом.
Простейшая система
Рассмотрим систему, показанную на рис. 140. Как видно, со средоточенная масса 1 закреплена на конце невесомого стерж ня 2, причем свобода перемещений стержня дополнительно огра ничена втулкой 5, удаленной от нижнего конца стержня на рас стояние I. Составим уравнение свободных колебаний груза, считая, что они происходят в плоскости чертежа. Если в текущий момент времени t -перемещение груза составляет х, то восстанав ливающая сила упругости стержня равна —сх и уравнение дви жения груза имеет вид
где с — коэффициент жесткости системы.
Втулка 3 при ее достаточной длине обеспечивает практически
полное защемление нижней части стержня, и коэффициент с мож
но определить по известной формуле с = |
Здесь предпо |
лагается, что стержень имеет постоянное |
поперечное |
сечение |
с моментом инерции /; Е — модуль упругости материала |
стерж |
ня. Таким образом, дифференциальное уравнение (456) прини мает вид
Если расстояние I постоянно, то уравнение (457) описывает свободные колебания массы около ее среднего положения, причем дробь 3EJ : ml3 представляет собой квадрат соб ственной частоты колебаний.
Допустим теперь, что втулка 3 скользит вдоль стержня 2 по заданному закону
Z — A COS соt,
т. е. совершает около среднего положения I гармонические колебания с амплитудой А и круговой частотой со. В этом случае коэффици ент жесткости оказывается функцией времени:
3£7____________ 3EJ
(458)
и дифференциальное уравнение (457) становится
переменными коэффициентами
|
х + |
3EJ |
х = 0, |
|
A cos at)3 |
|
m (I |
|
“ Т
х
Рис. 140
уравнением с
(459)
что типично для систем с параметрическим возбуждением коле баний.
Уравнение Матье
Существует много других механических систем, подвержен ных параметрическому возбуждению. Ряд примеров, приведен ных ниже, убеждает, что в большинстве практически важных случаев дифференциальное уравнение параметрических колеба ний можно привести к стандартной форме
dr2 + (а — 2q cos 2т) х — 0, |
(460) |
где а и q — некоторые постоянные.
_ Вернемся, для примера, к механической системе, показанной на рис. 140, и положим, что амплитуда А колебаний втулки весь-
ма мала по сравнению с длиной /; тогда вместо выражения (458) приближенно получается
с = |
3EJ |
|
3EJ |
|
|
^1-----COS(i)^, |
(461) |
(I + A cos о /)3 |
/3 -f- 3Alz cos cat |
|
|
l3 |
|
и дифференциальное уравнение (459) принимает вид |
|
|
х + |
-Щ - (1 — — |
cos шЛ = О. |
(462) |
|
|
ml3 |
\ |
I |
|
} |
|
Переходя теперь к «безразмерному» времени т |
|
|
|
|
2т = Оif, |
|
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2х |
|
©2 |
d2x |
|
|
|
|
dt2 |
~ |
~~4~ ' |
~dx2 |
’ |
|
и дифференциальное уравнение (462) |
приобретает стандартную |
форму (460), причем |
|
|
12EJ |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
-; |
|
|
|
т©2/3 |
(463) |
|
18AEJ |
|
|
|
а —---------. |
|
|
т®4* |
|
Преобразования этого рода типичны для случаев малой глу бины пульсации переменного параметра системы.
Обратимся теперь к основному уравнению рассматриваемых здесь задач (460), которое называется уравнением Матье. Реше ния уравнения Матье носят колебательный характер и решающим образом зависят от конкретных значений параметров а и q. В од них случаях данной комбинации а и q соответствуют колебания, ограниченные по амплитуде, а в других случаях — колебания с возрастающими амплитудами. В сущности,, дальнейшие подроб ности колебаний малосущественны, так как основную важность представляет именно тенденция колебательного процесса: если амплитуды остаются ограниченными, то система устойчива; в противном случае имеет место параметрический резонанс, и си стема неустойчива.
Результаты решения уравнения Матье для двух различных комбинаций а и q показаны на рис. 141 (эти решения получены при помощи электронного аналогового устройства). Хотя в обоих случаях параметр q системы одинаков (q = 0,1), но колебания имеют резко различный характер из-за различия между значе ниями параметра а (а = 1, а — 1,2); в первом случае они возрас тают, т. е. система неустойчива, а во втором случае остаются ог раниченными, т. е. система устойчива.
Для практических целей наибольшее значение имеют границы между областями устойчивых и неустойчивых решений. Этот во прос хорошо изучен, причем окончательные результаты представ ляются в виде диаграммы, построенной в плоскости параметров
а и q. Она называется диаграммой Айнса — Стретта; на рис. 142 изображена часть диаграммы Айнса — Стретта, относящаяся к малым значениям параметра q. Каждой данной системе, характе ризуемой параметрами а и q, соответствует точка с координата
ми a, q на диаграмме Айнса — Стретта (изображающая точка). Если изображающая точка находится в пределах заштрихован ных полей диаграммы, то система устойчива; неустойчивым си стемам соответствуют изображающие точки, расположенные на белых полях.
В качестве примера на диаграмме указаны точки 1 и 2, соот ветствующие параметрам at = 1, q\ = 0,1; а2 = 1,2, q%= 0,1 (ре шения уравнения Матье для этих случаев даны на рис. 141). Точ ка 1 находится в белой зоне (неустойчивость), и колебания про исходят с возрастающими амплитудами (рис. 141, а). Точка 2 находится в пределах заштрихованной зоны; ей отвечает движе ние с ограниченной амплитудой (рис. 141, б).
