книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

ние и скорость в начальный момент времени соответственно через я'о и и0.

В течение рассматриваемого периода (до приложения следую­

v — x = — px0sin pt + Щcos pt.

В конце этого периода, непосредственно перед следующим импульсом (мгновение ^i), получим

хх = х0 cos рТ + — sin рТ;

р

vx= — рх0sin рТ + v0cos рТ.

В результате действия очередного импульса скорость мгно­

Поэтому непосредственно после следующего импульса (мгнове­ ние ^)

хг — хх= xQcos рТ + — sin р7\

р

Вследствие периодичности процесса эти величины должны

^здесь произведена замена Т

222

Простая и замкнутая форма этого решения позволяет легко исследовать влияние периодических ударов; отметим, что способ разложения на гармонические составляющие и в данном случае привел бы к бесконечным суммам.

Амплитуда колебаний определяется формулой

На рис. 118 показано изменение коэффициента р в зависимо­ сти от отношения частот со : р. Из формулы (356) и рис. 118 вид­ но, что при совпадении частот или их кратности (р = мсо, п = = 1,2, ...) возникает резонанс. Наименьшее возможное значение коэффициента повторности равно 7г-

Действие произвольной периодической возмущающей силы (замкнутая форма решения)

Только что изложенный способ может быть использован для замкнутого решения задачи о действии произвольной периоди­ ческой силы.

Пусть на систему действует произвольно заданная периоди­ ческая сила с периодом Т (рис. 119). Разделим ось времени на интервалы длительностью Т (одна из точек, разделяющих эти

223

интервалы, выбирается произвольно). Закон изменения силы может быть записан в виде Р(х), где х — момент времени, от­ считываемый от начала какого-либо одного интервала; далее, в других интервалах закон Р(т) повторяется с соответствующим смещением начала отсчета времени.

Выделим из заданного закона изменения силы бесконечную серию одинаковых элементарных импульсов P(x)dx. Перемеще­ ние системы в момент t, вызываемое действием такой серии эле­ ментарных импульсов, может быть определено по формуле (355). Однако в этой формуле под буквой t понимается время от мо­ мента приложения очередного импульса до момента, для которо­ го определяется перемещение х\ в нашем случае это время дол­

о

Пусть, например, P(x) —bx в пределах (0, ... T) (рис. 120). Конечно, этот случай пилообразной возмущающей силы может

быть рассмотрен при помощи способа, изложенного на стр. 220, однако при этом решение потребовало бы учета большого числа слагаемых, причем, тем большего, чем строже требования точ­

224

ности. В данном случае выкладки совершенно элементарны и при­ водят к замкнутой форме решения:

19. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ ПРИ ДЕЙСТВИИ СИЛ НЕУПРУГОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

Влияние вязкого сопротивления

Общее решение. Если учесть вязкое сопротивление, то основ* иое уравнение вынужденных колебаний примет вид

Оно отличается от уравнения свободных затухающих колеба­ ний (56) правой частью, а от уравнения вынужденных колебаний

тельный процесс можно описать уравнением (57). Определим

и носят затухающий характер.

Как и выше, будем рассматривать возмущающую силу Р(х) в виде последовательности бесконечно малых импульсов P(x)dx.

225

В первой формуле принято

хст= Р0:с = Р0: тр2.

Введем, как и выше, динамический коэффициент

V l - y J

Динамический коэффициент р не обращается в бесконечность ни при каких значениях частоты возмущения со; этим найден­ ный результат существенно отличается от решения, полученного выше без учета неупругого сопротивления. Зависимость р от отношения частот со : р при различных значениях п : р приведена на рис. 12Г, а. Общий вид кривых напоминает рис. 105, а; од­ нако наибольшее значение динамического коэффициента остает­ ся при ш = р конечным. Максимум динамического коэффициента несколько смещен в сторону от абсциссы ш : р = 1. Однако это смещение мало, и можно приближенно определять ртах, подстав­

ляя в формулу (362) © = р, т. е. ртах = — .

2п

Отсюда видно, что максимум динамического коэффициента обратно пропорционален коэффициенту затухания п. Из графи­ ков на рис. 121, а видно, что силы вязкого сопротивления ока­ зывают заметное действие лишь в околорезонансной области. Это позволяет в удалении от резонанса принимать для р кри­

226

вую, построенную без учета вязкого сопротивления (рис. 105, а)у а во всей околорезонансной области принимать р, = ртал (рис. 121,6).

Рассмотрим вопрос о «запаздывании» колебаний. Фазовый угол у определяется формулой (361) и зависит от отношения частот to : р, как это показано на рис. 121, в. Как видно, при ма­ лых частотах со угол у невелик. При резонансе (to = р) фазовый

V

227

Для максимального значения N найдем

где

Величина [i* называется коэффициентом передачи силы. На рис. 122 показано изменение этого коэффициента в зависимости

от отношения со : р при различных значениях 2п : р. Все кривые

с ростом затухания увеличивается коэффициент передачи силы. Поэтому в случаях, когда конструкция работает в зарезонансной области, сила, передающаяся основанию, возрастает вследствие затухания.

Физический смысл этого явления можно понять по рис. 115, а. При колебаниях основанию передаются как бы две силы — по «упругому пути» и по «вязкому пути»; при высокой частоте воз­ мущения имеют место относительно большие скорости и соот­ ветственно возникает относительно большая сила вязкого сопро­ тивления.

228

Находим период свободных колебаний

Г = — = А ? ! = 0,856 сек.

р7,33

Подставив в выражение логарифмического декремента (58) значение пе риода Т и отношение амплитуд, получим

In 3,1

п = ----- — 1,32.

0,856

Максимальный динамический коэффициент [см. формулу (363)]

П ри м еч а н и е. При решении этой задачи не учитывалось различие между частотой р *, обнаруженной в эксперименте, и частотой р , которая должна быть подставлена в формулу для ртах. Эта разница не очень велика; действи­ тельно, если

р* = |/р2— 1,322 = 7,33 сек \ то р = 7,45се/с *.

Влияние энергетических особенностей источника возбужде­ ния. Во многих случаях резонансные явления вредны и нужно принимать специальные меры, чтобы в рабочем режиме система была достаточно далека от резонанса. Но существуют техноло­ гические процессы (например, вибротранспорт), которые основа­ ны на использовании колебаний. Для эффективности таких про­ цессов желательны возможно большие амплитуды колеба­ ний; это может быть достигнуто путем создания резонансных или околорезонансных режимов.

Практически установлено, что иногда работа подобных си­ стем в резонансной области оказывается неустойчивой и систе­ ма как бы самопроизвольно выходит из этой области. Эти явле­ ния были объяснены сравнительно недавно и, как оказалось, связаны с энергетическими свойствами источников возбуждения.

На рис. 123, а изображено семейство характеристик, типич­ ных для шунтового электродвигателя. Здесь по оси абсцисс от­ ложена угловая скорость со вращения якоря, а по оси ординат — крутящий момент, который может создать двигатель при данной угловой скорости со. При изменении положения регулировоч­ ного органа (путем изменения сопротивления в цепи возбужде­ ния) фиксируется та или иная характеристика (1, 2, 3...).

Характеристики позволяют перейти к определению мощности по формуле N = Мш. На рис. 122, б приведены кривые мощности,

соответствующие характеристикам на рис. 123, а. Каждому по­ ложению регулировочного органа (реостата) также соответству­ ет своя кривая U 2,3...

Обратимся теперь к определению энергетических потерь. Для простоты примем, что эти потери имеются только в самой колеба­ тельной системе, причем трение носит вязкий характер. При этом за один цикл рассеивается энергия ф, определяемая формулой

(63); если в нее подставить п = 1 , 5 = it и частоту © вместо соб­ ственной частоты р, то получим Ч? = nkma2. Разделив эту вели­

чину на период вынужденных колебаний — , получим мощность,

В случае, когда амплитуда возмущающей силы пропорцио­ нальна <о2 (см. стр„ 205—206), хег также пропорционально со2 и кривая #*(© ) приобретает вид, показанный на рис. 123, в.

230

Теперь можно сопоставить величины N и /V*; это сделано на рис. 123, г. Допустим, что реостат находится в таком положении, что характеристикой двигателя является кривая /; тогда уста­ новится режим, которому соответствует точка 1.

Пусть далее производится медленное выведение реостата и происходит постепенный разгон системы. На рис. 123, г видно, что при постепенном выведении реостата кривые N (<а) будут подниматься все вышей выше.Соответственно после состояний/, 2. в точке 3 произойдет быстрый разгон системы до режима 4. Затем, с дальнейшим выведением реостата, осуществятся режи­ мы 5, 6 и т. д.

будет последовательно проходить состояния 6, 5, 4, 7, 2, 1 и т. д., причем переход из состояния 7 в состояние 2 будет происходить в виде быстрого падения частоты со.

Как видно, в обоих случаях разгона и остановки ветвь кри­ вой 3—7 остается нереализованной. Режимы на этой ветви прак­ тически нереализуемы даже если при разгоне после достижения точки 3 снижать мощность N; как оказывается, они неустойчивы

исистема уходит от этих режимов на устойчивые режимы. Та­ ким образом, диапазон частот (шз; (0 7) вообще неосуществим.

Ясно, что такое явление будет возникать во всех тех случа­ ях, когда кривые располагаемых мощностей N могут пересекать кривую необходимых мощностей JV* более чем в одной точке. Необходимо заметить, что в подобных случаях точка вверху ре­ зонансного пика всегда будет точкой неустойчивого режима; это

ислужит причиной явлений, о которых было сказано выше.

Действие периодических импульсов. В качестве исходного вы­ ражения примем вместо выражения (354) закон свободных зату­ хающих колебаний (57а) и образуем выражение скорости

где 5 — величина импульса.

231

8*