книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

Г Л А В А VI

ФРИКЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ

28. ПРИРОДА АВТОКОЛЕБАНИЙ

Во всех рассмотренных выше системах с неупругимн сопро­ тивлениями стационарные колебательные процессы оказывались возможными лишь постольку, поскольку существуют внешние воздействия периодического характера. Однако в некоторых си­ стемах стационарные колебания возможны и без периодических

воздействий извне; та­ кие системы называют­ ся автоколебательны­ ми или самовозбуждающимися. Так как © любом реальном коле­ бательном процессе не­ избежно происходит рассеяние энергии, то всякая автоколеба­ тельная система обла­ дает источником энер­

гии, пополняющим все энергетические потери, но по своей при­ роде источник энергии не обладает колебательными свойствами.

Самовозбуждение колебаний часто связано с тем, что состоя­ ние равновесия системы неустойчиво; поэтому после любого на­ рушения (возмущения) этого состояния колебания не носят за­ тухающего характера, а, напротив, раскачиваются все больше и больше; при этом силы, создающиеся источником энергии и спо­ собствующие раскачиванию системы, сами зависят от ее движе­ ния (в положении равновесия они равны нулю). Процесс само­ возбуждения иллюстрирован на рис. 148, а; соответствующая фа­ зовая траектория показана на рис. 148, б; в этом случае точка, изображающая положение равновесия, называется неустойчи­ вым фокусом.

292

Особого внимания заслуживают механические автоколебания, возникающие в системах с трением. Сила трения, которая в ра­ нее рассмотренных примерах оказывалась причиной затухания колебаний, может явиться причиной их раскачивания.

Чтобы выяснить причину такой возможности, остановимся на простейшей системе (рис. 149, а). Система состоит из двух вра­ щающихся барабанов, приводящих в движение бесконечную лен­ ту; на ленте лежит груз массы т , движение которого ограничено пружиной с жесткостью с. Развивающаяся при скольжении груза

Рис. 149

сила трения смещает груз вправо и вызывает некоторое удлине­ ние пружины. Пусть в положении равновесия груза сила трения равна Ro\ тогда статическое смещение груза составляет

(475)

Для дальнейших рассуждений необходимо учесть, что сила трения R зависит от относительной скорости движения v (при за­ данном нормальном давлении груза, которое будем считать по­ стоянным). Пусть характеристика трения имеет вид, показанный на рис. 149, б; значения v0 x Ro соответствуют состоянию равнове­ сия груза.

Положим, что вследствие какого-либо возмущения в мгнове­ ние t = 0 груз выведен из состояния покоя; выясним характер движения, которое возникает после такого возмущения, считая, что скорость движения ленты в процессе колебаний груза не ме­

В это мгновение на груз действуют три силы: реакция пру­ жины — сх, сила трения R и внешнее сопротивление, которое бу­

дем считать пропорциональным скорости и примем в виде —kx. Сила R отличается от силы R0, поскольку скорость относитель-

293

ного движения v отличается от скорости v0. При малых колеба­ ниях относительной скорости молено принять

где/?Q — тангенс угла наклона характеристики трения в точке с координатами v0>R0.

Уравнение движения груза

•• •

—сх— kx + R = тх.

Подставляя сюда выражение (476), получим

Сместим начало отсчета перемещений в точку х = х0, т. е. введем новую переменную Х\ = х — х0-

Тогда уравнение (477) будет иметь вид

тх1 + (Ro + k) х\ + схг + сх0— R0 = 0.

Согласно выражению (475) сумма двух последних слагаемых равна нулю, поэтому получим уравнение

Рассмотрение структуры этого уравнения показывает, что с возрастанием времени колебания должны исчезать, если сумма /? ' + k положительна. Это обязательно имеет место на восходя­

щем участке характеристики трения, где R ' > 0.

Однако при небольших значениях t>0 (падающий участок ха­ рактеристики трения) величина R'Q становится отрицательной (рис. 149, б). Если при этом k > \RQ |, то сумма (R'0 + k) остает­

ся положительной, и колебания будут затухающими. Если сумма (R'0 + k) обращается в нуль (т. е. k = \R^ |), то в уравнении

(478) исчезает член, соответствующий затуханию, и становятся возможными колебания с постоянной амплитудой. Еслй же сум­ ма (R'0 + k) отрицательна, то система обладает как бы «отрица­

тельным затуханием», и'.колебания с течением времени будут возрастать за счет энергии, передаваемой движущейся лентой.

Природу «отрицательного затухания» при падающей харак­ теристике можно уяснить из следующего рассуждения. Когда груз движется вправо, т. е. в сторону движения ленты, то отно­ сительная скорость скольжения уменьшается; вместе с этим сила трения увеличивается и ее приращение направлено вправо, т. е. в сторону движения. В другом интервале движения, когда груз движется влево, приращение силы трения направлено также влево, т. е. опять в сторону движения. Такой характер измене­ ния силы трения и является причиной возрастания колебаний.

294

Итак, для возрастания колебаний необходимо выполнение ус­ ловия Д'0 + k < 0, что возможно только при достаточной крутиз­

не падения характеристики. Обычно указанное условие выпол­ няется лишь при малой скорости v0.

При помощи тех же рассуждений можно прийти к выводу о возможности автоколебаний упруго-закрепленной колодки, при­ жатой к вращающемуся диску (рис. 150, я), а также груза на пружине, когда левому ее концу задано движение с постоянной скоростью (рис. 150, б), в этих случаях необходимым условием автоколебаний также яв­ ляется наличие падающе­ го участка характери­ стики трения.

По гипотезе А. П. СоколовскоТо к этому же классу явлений относятся автоколебания,. возни­ кающие при резании ме­ таллов на станках. Не вдаваясь в подробности, рассмотрим природу ав­ токолебаний, развиваю­

щихся при резании на токарном станке. Со стороны изделия на резец действует реакция Р, которая может быть разложена на составляющие Ру и Рг (рис. 151). Резец упруго закреплен и

его конец может совершать колебания как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях. Для выявления возможно­ сти автоколебаний достаточно рассмотреть колебания только в горизонтальном направлении у = у (t) и учесть важный экспе­ риментальный результат — горизонтальная составляющая Pv

зависит от скорости горизонтальных колебаний резца у.

сти); реакция изделия —Ру(у) и сумма различных неупругих со­ противлений, которая может быть объединена в одно слагаемое

вида —ky.

295

Таким образом, уравнение движения системы резец — суппорт имеет вид

— Ру (У)— су — ky — ту

(т — приведенная масса системы резец — суппорт). После ли­ неаризации силы Ру, согласно выражению (476) вновь придем к уравнению типа (478). Следовательно, и в этом случае автоко­ лебания возможны, если характеристика силы Ру падающая.

Как установлено, неустойчивость состояния равновесия может быть обнаружена в предположении малости колебаний, т. е. при помощи линейного приближения. Однако, если отказаться от это­ го предположения и проследить за дальнейшим течением процес­ са, то обнаруживается, что рост амплитуд постепенно замедляет­ ся и в конце концов амплитуда полностью стабилизируется. Этот процесс установившихся (стационарных) автоколебаний пред­ ставлен на рис. 152 и называется предельным циклом. Важной

особенностью предельного цикла является его полная независи­ мость от начальных условий; шосле любого возмущения состоя­ ния равновесия система приближается в одному и тому же предельному циклу. Для выявления 'Параметров (частоты, ампли­ туды) установившихся автоколебаний необходим анализ соот­ ветствующей нелинейной задачи.

В некоторых случаях стационарные автоколебания носят поч­ ти гармонический характер и совершаются с частотой свободных колебаний системы; соответствующие системы называются квази­ линейными. В других случаях стационарные автоколебания резко отличаются от гармонических, сопровождаются остановками и скачками скорости; такие автоколебания (и соответствующие системы) называются релаксационными или разрывными.

29. АВТОКОЛЕБАНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Основное уравнение

Для развивающейся при колебаниях силы трения выше было принято линейное приближение. Этого было достаточно для ис­ следования устойчивости состояния равновесия, но для анализа

296

процесса установления, а также процесса установившихся авто-

колебаний необходимо учесть нелинейные члены. Напишем развернутое разложение:

и ограничимся выписанными слагаемыми *. Тогда уравнение ко­ лебаний вместо (478) примет вид

дающему участку характеристики.

Стационарные автоколебания

Для решения уравнения (480) используем метод энергетиче­ ского баланса. Положим, что стационарные автоколебания мо­ гут быть приближенно описаны гармоническим законом

с частотой р свободных колебаний системы. Выражение (481) становится совершенно точным, если переменная часть силы тре­ ния R, выраженная тремя последними членами уравнения (479)

тождественно равна нулю. Конечно, вычисляя сумму этих членов при помощи выражения (481), убедимся, что это тождество не выполняется; однако можно для получения приближенного реше­ ния ограничиться смягченным требованием, чтобы работа сил трения оказалась равной нулю за один цикл колебания. Хотя такое решение не обеспечит постоянства энергии системы для любого мгновения, но соответствует постоянству энергии в сред­ нем за период.

Работа силы трения R за время dt составляет

Rdxx= R -^ - dt = Rxxdt\ dt

* Выражение (479) следует из разложения

R — Ro +

после замены До = —x t.

297

следовательно, работа силы трения за период Т т_ _

j Rxydt = О,

о

где Т — период автоколебаний, полагаемый равным собственно­ му периоду.

Так как сумма R'0 + k отрицательна, то подкоренное выраже­

ние положительно лишь при положительной третьей произволной Н0 .

Часто можно пренебречь всеми неупругими сопротивлениями, кроме силы трения R. Полагая k — 0, получим более простую формулу для амплитуды

Пример 30. Определить амплитуду автоколебаний для случая, когда ха­ рактеристика трения описывается уравнением (рис. 153)

где R * и v *— соответственно сила трения и скорость относительного движе' ния в точке минимума характеристики.

Номинальная скорость скольжения о0 находится на падающем участке ха­ рактеристики вблизи точки минимума v и равна 0,95 vm.

298

Соответственно этому работа силы трения за один период вы­ разится интегралом (483), в данном случае этот интеграл не ра­ вен нулю, а представляет собой приращение энергии системы

за один цикл:

т

:кра2 ( Ro + k -J— —R'o'ay] = ДУ7.

Приращение АП можно также рассчитать путем сопоставле­ ния потенциальной энергии в двух последовательных моментах времени, когда система имеет максимальные отклонения:

2

П + АД = _£<°_+Аа£ .

2

Вычитая, получаем

Приравнивая выражения (488) и (487), находим

Рассматривая теперь а как непрерывную функцию аргумен­ та t, заменим

Дa = * L T . dt

Тогда вместо выражения (489) получится дифференциальное уравнение

Интегрируя это дифференциальное уравнение при начальном условии а — а0 при t = 0, получим уравнение огибающей (урав­ нение установления):

(490)

где

р 8(*» + *)

300

При t оо отсюда ©новь следует формула (484) для ампли­ туды стационарных автоколебаний.

Процесс установления, а также предельный цикл можно по­ лучить на фазовой плоскости графо-аналитическим путем при помощи дельта-метода. Для этого обозначим Х\ = у

Совокупность интегральных кривых этого дифференциального уравнения образует фазовый портрет системы.

Введем безразмерное время х = pt и обозначим

В малых интервалах’ времени и соответственно при малых приращениях v величину б можно считать постоянной. При этом в дифференциальном уравнении (495) переменные у и v разде­ ляются, и после интегрирования получается конечное уравнение

v2 + (У + б)2 = const;

это уравнение описывает окружность, центр которой расположен на оси абсцисс в точке у = —б; v = 0. Таким образом, для мало­ го интервала времени отрезок фазовой траектории представляет собой дугу окружности с центром в указанной точке.

Построение фазовой траектории начинается с точки, имеющей координаты уо = У(0), vo = “v(O), определяемые начальными ус­ ловиями при т = 0. Значение v0 подставляют в выражение (496)

301