книги / Радиолокационные измерители дальности и скорости. [Т.1]

формуле, аналогичной (3.6.10), даёт БуСТв 0. Таким образом, сле­ дящая система (3.6.6) имеет астатизм первого порядка.

Процесс установления ошибки слежения при воздействии х(к)=Хо описывается соотношением

е(к) = х0(1- к01)к

При заданном времени установления ty^^k^T,, переходного процесса требуемое значение коэффициента усиления определяет­ ся выражением

K01TP = 1 -(0 ,5 )-VI‘ *’ .

Здесь под временем установления переходного процесса понимает­ ся время, в течении которого начальная ошибка слежения умень­ шится в 20 раз.

При линейном воздействии (3.6.9) текущая ошибка слежения описывается соотношением

Определим понятие эквивалентной шумовой полосы пропуска­ ния следящей системы [50], под которой будем понимать величину AF3, равную полосе пропускания эквивалентной системы, имею­ щей прямоугольную амплитудно-частотную характеристику, оди­ наковое значение коэффициента передачи при z=l и одинаковую дисперсию выходного процесса, при отсутствии входного сигнала и действии на входах этих систем дискретного белого шума. Мож­ но показать, что эквивалентная шумовая полоса пропускания рас­ считывается по формуле

где j= V -l.

Подставляя (3.6.7) в (3.6.11) и вьгаолнив интегрирование, по-

Дисперсия флуктуационной опшбки слежения, под которой понимается дисперсия опшбки оценки информационного процесса, обусловленная действием на входе аддитивного дискретного белого шума с дисперсией единичного отсчета DH, определяется выраже­ нием:

( К01 +

Формулы (3.6.10), (3.6.13) можно использовать для нахожде­ ния оптимального коэффициента усиления системы, минимизи­ рующего средний квадрат опшбки слежения в установившемся режиме. Решение такой оптимизационной задачи приводит к ал­ гебраическому уравнению

У2Т„

где у = При достаточно малом шаге дискретной обработки 2 D „

(например, при Тн<0,1 мс) приближенное решение уравнения (3.6.14) имеет вид: к01(ШТ « ^4у

В формулах (3.6.10), (3.6.12) фигурирует параметр KO=K0I/T h, который, как можно показать, является коэффициентом усиления соответствующей непрерывной следящей системы, т.е. системы, получающейся из (3.6.6) при Тн-й ). При этом формулы (3.6.10), (3.6.12Н3.6.14) переходят в соответствующие формулы для не­ прерывной следящей системы.

При анализе различных фильтров в следящих системах, есте­ ственно возникает вопрос об их оптимальности, при слежении за информационными параметрами, меняющимися различным обра-

зом. Для ответа на этот вопрос рассмотрим задачу синтеза опти­ мальной следящей системы для информационного процесса, опи­ сываемого уравнением:

где £х(к) - дискретный гауссовский белый шум с дисперсией Dx, при наблюдении

z(k) = x(k) + 4H(k);

£и(к) - дискретный гауссовский белый шум с дисперсией DH. Ис­ пользуя общие уравнения оптимальной линейной фильтрации (1.4Л9Н1-4.23), запишем

Из сопоставления (3.6.16) с (3.6.6) видно, что они совпадают по структуре. Следовательно следящая система с одним интеграто­ ром в контуре слежения может быть оптимальной для фильтрации процесса вида (3.6.15). Коэффициент усиления к(к) в оптимальной системе (3.6.16) переменный. В установившемся режиме опти­ мальное значение коэффициента усиления равно

нал/шум по информационному сообщению.

Формула (3.6.18), также как и уравнение (3.6.14), может быть использована для выбора коэффициента усиления следящей сис­ темы в установившемся режиме.

Операторный коэффициент передачи замкнутой следящей сис­ темы (3.6.19), (3.6.21) равен

Из (3.6.22) следует, что коэффициент усиления разомкнутой следящей системы равен Ко=к02/Т н. Характеристическое уравне­ ние системы получается приравниванием нулю знаменателя коэф­ фициента передачи (3.6.22):

(z - 1)2 + (z - 1)(к01 + К02ТП) + К02ТН= О,

или

Используя алгебраический критерий устойчивости [50], из (3.6.23) получаем, что для обеспечения устойчивости дискретной следящей системы необходимо выполнение условий

Характеристическое уравнение (3.6.23) можно представить в виде

ц2 + 2 ^оэ0ц + (0о = 0 ,

где: Ц = (z - l)/T H; %= (к01 + к02Та)/(2 А/,к02Тв] - коэффициент

демпфирования; со0 = ^к02/Тн = - собственная частота сис­

темы.

Вид корней характеристического уравнения (3.6.23) определя­ ет тип переходного процесса в системе: критический, апериодиче­ ский или колебательный. Критический режим определяется усло­ вием равенства единице коэффициента демпфирования £=1 , или

Апериодический переходный процесс имеет место при

(к01 + к02Тн) > 4к02Тн, а колебательный - при обратном соот­

ношении.

При воздействии на входе следящей системы процесса х(к) с изображением x(z), изображение ошибки слежения определяется выражением

е (z) = x(z) - xx(z) - THx2(z) = [l - KUi(z) - TBKzia(z)]xx(z) =

(z -1 ) + (z - 1)(K 01 + K 02T h) + к02Тп

(3.6.26), несложно показать., что при постоянном и линейно ме­ няющемся во времени воздействии х(1с) ошибка в установившемся режиме равна нулю, а при квадратичном воздействии с ускорени-

^, v aT*z(z + 1)

ем «а*, имеющем изображение x(z) = ------ -— г-^, ошибка в уста- 2(г - 1)*

новившемся режиме

Таким образом, рассматриваемая следящая система имеет астатизм второго порядка.

Процессы установления ошибки слежения при различных воз­ действиях и в различных режимах работы следящей системы опи­ сываются формулами, приведенными в табл. 3.6.1 и 3.6.2.

Yl = _«oUt|o2^_+ 1 ^ K()i +KQ2Th)2 - 4K02TH;

Tz = - ^ - +2K°2TH~ |>/(Koi + K02TH)2 - 4K02T„ ;

(3.6.28) p = K o i + ^ A ; v = | Y/(K0I +K02TH)2 - 4K02TH;

Ф= arctg^j^-j; (pj = it- arctg^-j; ф2 = arctg^^-j.

Используя приведенные соотношения, можно рассчитать требуе­ мые значения параметров фильтра KQI, К02 при заданном значении времени установления При этом сначала определяют параметр К02» характеризующий собственную частоту системы, а после этого рассчитывают параметр KQI, исходя из условия обеспе­ чения требуемого режима переходного процесса. Так, например, при использовании критического режима и времени установления tyCT” 0,2 с (Тн= 1 мс, куст=200), требуемые значения коэффициентов усиления равны к<)2=0,014в с*1, K o i= 0 ,0 0 7 6 .

Расчет эквивалентной шумовой полосы пропускания по фор­ муле (3.6.11), с учетом (3.6.22), дает

При Тп-»0 (3.6.29) переходит в известное выражение для непре­ рывной следящей системы с двумя интеграторами и демпфирую­ щим звеном [50].

Дисперсия флуктуационной ошибки Бф оценки информацион­ ного процесса, обусловленная воздействием аддитивного дискрет­ ного белого шума на входе следящей системы, определяется об­ щим выражением (3.6.13) при подстановке в него AF3, вычислен­ ной в соответствии с (3.6.29).

Оптимальные значения параметров сглаживающего фильтра в установившемся режиме находится в результате решения задачи минимизации дисперсии общей ошибки

D = Оф+ БуСТ= 2DHTHAFa + Г

для чего целесообразно использовать численные методы нахожде­ ния экстремума функции по двум переменным.

Рассмотрим вопрос о том, для какого информационного про­ цесса фильтр с двумя интеграторами и демпфирующим звеном яв­ ляется оптимальным. Полагая, что наблюдения z(k) описываются

выражением (3.6.21), информационный процесс х(к) зададим уравнениями:

где £х(к) - дискретный гауссовский белый шум с нулевым матема­ тическим ожиданием и дисперсией Dx. Уравнения (3.6.30) описы­ вают процесс, эволюция которого обусловлена ускорением (второй производной процесса) в виде шума £х(к).

Используя общие уравнения оптимальной линейной фильтра­ ции (1.4.19Н1-4.28), запишем